基于自然齿面活动标架的点啮合齿面设计方法

摘要

本发明提供一种基于自然齿面活动标架的点啮合齿面的齿轮设计方法，所述设计方法包括步骤，S10：齿面沿接触点迹线的局部结构的设计；S20：基于自然活动标架的齿面接触点迹线以外的齿面整体设计。本发明提供的设计方法引入曲面自然活动标架作为齿面设计的坐标系，将点啮合齿面的设计问题，归结为以第一齿面上的包络特征曲线作为样条曲线的曲面拟合逼近问题，通过第一齿面的运动不变量描述和设计点啮合齿面的参数，使点啮合齿面的整体设计摆脱对于特定机床结构的依赖，因而具有通用性和精确性。

说明书

技术领域

本发明涉及齿轮技术领域，尤其涉及到相互啮合齿轮的啮合齿面，具体为一种基于自然齿面活动标架的点啮合齿面的设计方法。

背景技术

点啮合齿面是为了满足高精高速重载的机械动力传递要求，通过修形将共轭齿面失配为点接触齿面而得到的，它的设计必须考虑齿轮承载弹性变形、制造和安装误差对齿面啮合特性的影响，它的类型包括圆柱鼓形齿面齿轮、蜗轮蜗杆和螺旋锥齿轮等等。当前点啮合齿面的主动设计仅止于上述沿齿面接触点迹线的局部设计，而接触点迹线以外的大范围齿面结构则通过齿面接触分析(Tooth Contact Analysis，TCA)来确定；但是，这种方法通过所谓“齿面修形”将点啮合齿面的描述与特定机床上齿面的加工调整参数联系在一起，以模拟“试切”的方式最终确定齿面的整体结构。这种齿面设计方法以满足特定摇台式齿轮加工机床的加工可行性为优先目标，因而，不具通用性，更无法据此对齿面啮合特性进行全局优化设计，造成这种情况的原因在于：当前的点啮合齿面的设计是在特定机床坐标系下以特定机床的加工调整参数描述和设计齿面。

发明内容

本发明旨在解决现有技术中存在的技术问题。

本发明通过引入第一齿面上的自然活动标架作为描述和设计点啮合齿面的坐标系，将点啮合齿面的设计问题，归结为以第一齿面上的包络特征曲线作为样条曲线的曲面拟合逼近问题，通过第一齿面的运动不变量描述和设计点啮合齿面的参数，使点啮合齿面的整体设计摆脱对于特定机床结构的依赖，因而具有通用性和精确性，并能够据此方法对齿面啮合特性进行整体优化设计。

本发明提出的一种基于自然齿面活动标架的点啮合齿面的齿轮设计方法，所述齿轮包括互相点啮合的第一齿轮和第二齿轮，所述第一齿轮上具有第一齿面，所述第二齿轮上具有第二齿面，所述设计方法包括以下步骤：

S10：齿面沿接触点迹线的局部结构的设计

S11：给定第一齿面Σ₁：r⁽¹⁾＝r⁽¹⁾(u₁,v₁)并在所述第一齿面上指定一条接触点迹线L₁：由齿面共轭原理设计第二齿面Σ₂上与接触点迹线L₁共轭的接触点迹线L₂：及所述接触点迹线L2的单位法线矢量参数方程使所述第一齿面Σ₁与所述第二齿面Σ₂沿着接触点迹线L₁啮合传动，并满足式(1)给定的相对运动关系

式中为使啮合的起始位置与第二齿轮转动的起始位置重合，即时，第一齿面Σ₁相对固定坐标系S₁[O¹；x¹y¹z¹]转过的角度；c_i(i＝2,…,n)为多项式系数，按预定的两齿轮的相对运动规律给出；为第二齿轮与第一齿轮的齿数比±Z₂/Z₁；是第一齿面Σ₁自转的角位移；是第二齿面Σ₂自转的角位移；

S12：给定啮合点的位置对安装误差的敏感度ε和齿面接触许用应力值[σ],再设计第二齿面Σ₂沿接触点迹线L₂的二阶微分结构参数：接触点迹线L2上各点沿其切线方向的法曲率及其短程挠率接触点迹线L2的切线在第二齿面Σ₂切平面上的垂直方向的法曲率(如何设计二阶微分结构参数？请补充)

S20：基于自然活动标架的齿面接触点迹线以外的齿面整体设计

S21：第一齿面Σ₁与第二齿面Σ₂的相对运动速度的曲面运动不变量参数描述

根据第一齿面Σ₁:r⁽¹⁾＝r⁽¹⁾(u₁,υ₁)，则参数u₁,υ₁构成正交参数网，在第一齿面Σ₁上任意一点M(u_1M,υ_1M)取定一个活动标架场

当点M沿正交参数网线u₁,υ₁以速度移动时，活动标架S_ft也随之移动并绕点M转动，由微分几何的曲面论的基本定理，活动标架S_ft的角速度运动方程如式(2)

ω₁＝ω₂₃e₁-ω₁₃e₂+ω₁₂n_1M(2)

式中，

设L₂是第一齿面Σ₁在相对运动下的共轭齿面Σ_p:r^(p)＝r^(p)(u_p,υ_p)上的一条曲线，其方程为s_p为曲线L₂的弧长参数；曲线L₂上任意一点M的单位切向量为α，曲面在M点的单位法向量为n_pM，在曲线L₂上点M处取定一个正交的活动标架S_fp[M；α>pM×α>pM]；

当点M沿曲线L₂以速度移动时，活动标架S_fp[M；α>pM×α>pM]也随之移动并绕点M转动，由微分几何的曲面论的基本定理，活动标架S_fp[M；α>pM×α>pM]的角速度运动方程如式(3)

式中，分别是第二齿面Σ₂在点M沿α方向的短程挠率和法曲率，是第二齿面Σ₂在点M沿α方向的短程曲率；

与固定坐标系S₍₁₎[O⁽¹⁾；x⁽¹⁾>(1)>(1)]固结的第一齿面Σ₁通过相对于与固定坐标系S₍₂₎[O⁽²⁾；x⁽²⁾>(2)>(2)]固结的共轭曲面Σ_p的运动Ψ包络出第二齿面Σ₂；设定L_g是形成包络共轭曲面Σ_p的特征线，则在第一齿面Σ₁沿接触点迹线L₂相对共轭曲面Σ_p按Ψ运动的任意时刻，第一齿面Σ₁与第二齿面Σ₂相切于特征线L_g，特征线L_g和接触点迹线L₂交于点M，而在点M，对于第一齿面Σ₁与第二齿面Σ₂分别有活动标架S_ft和活动标架S_fp，共轭曲面Σ_p与第二曲面Σ₂同固结于坐标系S₍₂₎[O⁽²⁾；x⁽²⁾>(2)>(2)]，共轭曲面Σ_p是第二齿面Σ₂的拟合逼近目标，由式(2)和式(3)知第一齿面Σ₁相对第二齿面Σ₂的角速度为式(4)

考虑S₍₁₎、S_ft、S_fp和S₍₂₎之间的相对运动，则在点M处第一曲面Σ₁相对第二齿面Σ₂的速度为式(5)

按式(5)的方式，将式(4)中的因子提出来，并将因子指定为基准速率，不失一般性，令而由于接触点迹线L₂的方程已经由与L₁相对运动的共轭条件确定，故也是已经确定的函数量，则在第一齿面Σ₁上任意点P(u₁,υ₁)处，第一齿面Σ₁相对第二齿面Σ₂的速度函数表示为式(6)

式(6)中的表示点P(u_t,υ_t)在活动标架S_ft下的位置矢量，Δ是活动标架S_ft与活动标架S_fp之间的夹角；

S22：从第一齿面Σ₁到第二齿面Σ₂的运动变换及第二齿面Σ₂方程的曲面运动不变几何量描述

从第一齿面Σ₁出发，分别由运动变换Ψ展成第二齿面Σ₂和由运动变换(1)展成共轭曲面Σ_p的坐标变换过程以及第二齿面Σ₂的设计思路；其中运动变换Ψ是在第一齿面Σ₁和共轭曲面Σ_p的活动标架下由第一齿面Σ₁和共轭曲面Σ_p的运动不变量描述；运动变换(1)是在点啮合齿轮副固定坐标系下由齿轮副结构参数描述的；沿运动变换Ψ和运动变换(1)，从固定坐标系S₍₁₎到固定坐标系S₍₂₎的变换矩阵为式(7)

式中

其中，表示第一齿面Σ₁上任意点M在固定坐标系S₍₁₎[O⁽¹⁾；x⁽¹⁾>(1)>(1)]中的位置矢量函数，此点M与共轭曲面Σ_p上的曲线L₂上的点M关于运动Ψ共轭；表示接触点迹线L₂在固定坐标系S₂[O⁽²⁾；x⁽²⁾>(2)>(2)]中的矢量参数方程；

第一齿面Σ₁在相对运动Ψ下的第二齿面Σ₂在固定坐标系S₍₂₎[O⁽²⁾；x⁽²⁾>(2)>(2)]下的方程为式(8)

式中，表示曲面Σ₁在固定坐标系S₍₁₎[O⁽¹⁾；x⁽¹⁾>(1)>(1)]下的矢量参数方程，N₁(u₁,υ₁)是第一齿面Σ₁上任意一点P处单位法矢的矢量参数方程，此点P是曲面Σ₁上不同于点M的另一任意点；

S23：运动参数Δ的确定

设第一齿面Σ₁和第二齿面Σ₂间的，与最小相对曲率对应的相对主方向为α_m，沿α_m的第一齿面Σ₁、第二齿面Σ₂的法曲率为短程挠率为则沿相对主方向α_m的第一齿面Σ₁、第二齿面Σ₂的相对短程挠率为零，即满足式(9)

由欧拉—贝特朗公式，对于共轭齿面Σ_p沿相对主方向α_m满足式(10)、(11)

其中，φ₂和φ₃满足式(12)，

φ₂-φ₃＝arccos(α₁·α)(12)

对于第一齿面Σ₁沿相对主方向α_m有式(13)

在式(10)至式(13)中，分别是第一齿面Σ₁在点M沿e_i(i＝1,2)方向的短程挠率和法曲率；和分别是共轭曲面Σ_p在点M沿接触点迹线L₂的切线方向即单位切矢α方向的短程挠率和法曲率及α方向在公切平面上的垂直方向ν的法曲率；和分别是共轭曲面Σ_p在点M沿接触点迹线L₁的切线方向即单位切矢α₁方向的短程挠率和法曲率及α₁方向在公切平面上的垂直方向ν₁的法曲率；由于在步骤S10中已经确定了接触点迹线L₁和接触点迹线L₂，那么接触点迹线L₁的单位切矢α₁和接触点迹线L₂的单位切矢α就已经确定，故φ₂-φ₃是已经确定的已知量；

基于最终形成的第二齿面Σ₂需满足步骤S10的设计要求，故对于第二齿面Σ₂，沿相对主方向α_m满足式(14)

活动标架S_ft与活动标架S_fp之间的夹角Δ满足式(15)

Δ(u_1M，υ_1M，s_p)＝φ₂(s_p)-φ₁(u_1M，υ_1M)(15)

对式(9)～(14)联立求解，用点M处第一齿面Σ₁和第二齿面Σ₂的各个方向的法曲率和短程挠率表示φ₁、φ₂和φ₃，具体表示为φ₁(u_tM，υ_tM)，φ₂(s_p)和φ₃(s₁)，从而确定相对主方向α_m，将φ₁(u_tM，υ_tM)，φ₂(s_p)代入式(15)，即可将夹角Δ表达为运动不变量u_tM，υ_tM，s_p的函数；

将上述方法中求得的Δ分别代入式(6)和(7)，分别求得在任意点P(u₁,υ₁)处第一齿面Σ₁相对第二齿面Σ₂的速度函数和从第一齿面Σ₁到第二齿面Σ₂的变换矩阵函数，再将式(6)和式(7)代入式(8)并消去参数u₁，就得到第一齿面Σ₁在运动Ψ下的第二齿面Σ₂在与包络曲面Σ_p固结的固定坐标系S₍₂₎[O⁽²⁾；x⁽²⁾>(2)>(2)]下的矢量函数方程(16)

S24：第二齿面Σ₂在接触点迹线以外的区域与第一齿面Σ₁的间隙

在包络曲面Σ_p上任意一点Q_g点处第二齿面Σ₂对包络曲面Σ_p的间隙满足式(17)

式中是包络曲面Σ_p上任意一点Q_g处单位法矢的矢量参数方程，如果选定了点Q_p，即确定了矢量则式(17)所表达的三个标量方程正好可以求解参数u₁、和δ_k，从而确定第二齿面Σ₂与包络曲面Σ_p在任意位置的间隙δ_k以及点Q_g的位置矢量

S25：第二齿面Σ₂整体优化设计模型

在过任意接触点M的第一齿面Σ₁在相对运动(1)下的包络特征线L_g上,分别位于接触点M的两侧的取两点和其对应的曲坐标分别设为(s_p，υ₁₁)、(s_p，υ₁₂),L_g上点和之间的各点到曲面Σ₂的距离δ_k与该点到接触点M的距离成正比，设曲线L_gp、点和分别是曲线L_g、点和在曲面Σ₂上的投影，当第一齿面Σ₁对第二齿面Σ₂的间隙小于一个给定值时，第一齿面Σ₁上点和之间的狭长齿面与第二齿面Σ₂上和点之间的狭长曲面在承受满载的情况下将贴合在一起,并在第二齿面Σ₂上形成一个瞬时接触区，从啮合的起始点M₁到啮合的终点M₂的整个啮合过程将在第二齿面Σ₂上连续形成一系列这样的瞬时接触区，并拼接成齿面接触区，在齿面承受满载的情况下，控制齿面接触区的面积大小占整个第二齿面面积满足式(18)

式中是用参数(s_p，υ₁)表示的包络曲面Σ_p方程，并由式(17)求得的并代入方程得到；而式中

再按式(19)进行优化设计约束：

式中δ₀是啮合的第一齿面Σ₁和第二齿面Σ₂在承受满载的情况下的齿面接触区的边界各点在齿面无载接触时的间隙；

求解由式(18)和(19)组成的不等式方程式组，得到两个函数闭区间u_1M(s_p)∈[u_1M1(s_p)u_1M2(s_p)]和υ_1M(s_p)∈[υ_1M1(s_p)υ_1M2(s_p)]，将其代入式(16)即可求得待求的第二齿面Σ₂的方程的设计区间

本发明基于齿面自然活动标架，由第一齿面运动不变量参数描述的点啮合齿面整体设计方法，通过引入曲面自然活动标架作为齿面设计的坐标系，将点啮合齿面的设计问题，转换归结为以第一齿面上的包络特征曲线作为样条曲线的曲面拟合逼近问题，通过第一齿面的运动不变量描述和设计点啮合齿面的参数，使点啮合齿面的整体设计摆脱对于特定机床结构的依赖，因而具有通用性和精确性，并能够据此方法对齿面啮合特性进行全局优化设计。

附图说明

本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

图1本发明方案中的点啮合齿轮传动运动描述所涉及的坐标系及其相对位置关系图；

图2本发明方案中的第一齿面上沿接触点迹线的自然活动标架相对齿面的运动关系示意图；

图3是本发明方案中的第二齿面上沿接触点迹线的自然活动标架相对齿面的运动关系示意图；

图4是本发明方案中的点啮合齿面沿接触点迹线相互啮合时的相对运动关系示意图；

图5是本发明方案中的齿面坐标系运动变换及齿面设计流程图；

图6是本发明方案中的第一齿面与第二齿面在啮合点M处的公切平面上活动标架的相互关系示意图；

图7是本发明方案中的第二齿面Σ₂沿接触线L_g与共轭曲面Σ_p的间隙关系示意图；

图8是本发明方案中的点啮合齿面接触区的控制关系示意图。

具体实施方式

为了能够更清楚地理解本发明的上述目的、特征和优点，下面结合附图和具体实施方式对本发明进行进一步的详细描述。需要说明的是，在不冲突的情况下，本申请的实施例及实施例中的特征可以相互组合。

在下面的描述中阐述了很多具体细节以便于充分理解本发明，但是，本发明还可以采用其他不同于在此描述的方式来实施，因此，本发明的保护范围并不受下面公开的具体实施例的限制。

下面参照图1至图7对本发明实施例作进一步的描述。

一种基于自然齿面活动标架的点啮合齿面的齿轮设计方法，所述齿轮包括互相点啮合的第一齿轮和第二齿轮，所述第一齿轮上具有第一齿面，所述第二齿轮上具有第二齿面，所述第一齿面与第二齿面实现点啮合，如图1所示，引入了一个自然齿面活动标架体系，包括固定标架S₁[O¹；x¹y¹z¹]，固定标架S₍₂₎[O⁽²⁾；x⁽²⁾>(2)>(2)]，所述设计方法包括以下步骤：

S10：齿面沿接触点迹线的局部结构的设计

S11：给定第一齿面Σ₁：r⁽¹⁾＝r⁽¹⁾(u₁,v₁)并在所述第一齿面上指定一条接触点迹线L₁：由齿面共轭原理设计第二齿面Σ₂上与接触点迹线L₁共轭的接触点迹线L₂：及所述接触点迹线L2的单位法线矢量参数方程使所述第一齿面Σ₁与所述第二齿面Σ₂沿着接触点迹线L₁啮合传动，并满足式(1)给定的相对运动关系

式中为使啮合的起始位置与第二齿轮转动的起始位置重合，即时，第一齿面Σ₁相对固定坐标系S₁[O¹；x¹y¹z¹]转过的角度，正如图1所示；c_i(i＝2,…,n)为多项式系数，按预定的两齿轮的相对运动规律给出；为第二齿轮与第一齿轮的齿数比±Z₂/Z₁；是第一齿面Σ₁自转的角位移；是第二齿面Σ₂自转的角位移；

S12：给定啮合点的位置对安装误差的敏感度ε和齿面接触许用应力值[σ],再设计第二齿面Σ₂沿接触点迹线L₂的二阶微分结构参数：接触点迹线L2上各点沿其切线方向的法曲率及其短程挠率接触点迹线L2的切线在第二齿面Σ₂切平面上的垂直方向的法曲率其中设计二阶微分结构参数可以参照现有技术进行，可以参阅吴训成的文章，《基于功能需求的弧齿锥齿轮齿面主动设计与先进制造技术研究》([D].西安：西安交通大学，2000)。

S20：基于自然活动标架的齿面接触点迹线以外的齿面整体设计

S21：第一齿面Σ₁与第二齿面Σ₂的相对运动速度的曲面运动不变量参数描述

如图2所示，根据第一齿面Σ₁:r⁽¹⁾＝r⁽¹⁾(u₁,υ₁)，则参数u₁,υ₁构成正交参数网，在第一齿面Σ₁上任意一点M(u_1M,υ_1M)取定一个活动标架场

当点M沿正交参数网线u₁,υ₁以速度移动时，活动标架S_ft也随之移动并绕点M转动，由微分几何的曲面论的基本定理，活动标架S_ft的角速度运动方程如式(2)

ω₁＝ω₂₃e₁-ω₁₃e₂+ω₁₂n_1M(2)

式中，

如图3所示，设L₂是第一齿面Σ₁在相对运动(1)下的共轭齿面Σ_p:r^(p)＝r^(p)(u_p,υ_p)上的一条曲线，其方程为s_p为曲线L₂的弧长参数；曲线L₂上任意一点M的单位切向量为α，曲面在M点的单位法向量为n_pM，在曲线L₂上点M处取定一个正交的活动标架S_fp[M；α>pM×α>pM]；

当点M沿曲线L₂以速度移动时，活动标架S_fp[M；α>pM×α>pM]也随之移动并绕点M转动，由微分几何的曲面论的基本定理，活动标架S_fp[M；α>pM×α>pM]的角速度运动方程如式(3)

式中，分别是第二齿面Σ₂在点M沿α方向的短程挠率和法曲率，是第二齿面Σ₂在点M沿α方向的短程曲率；

如图4所示，与固定坐标系S₍₁₎[O⁽¹⁾；x⁽¹⁾>(1)>(1)]固结的第一齿面Σ₁通过相对于与固定坐标系S₍₂₎[O⁽²⁾；x⁽²⁾>(2)>(2)]固结的共轭曲面Σ_p的运动Ψ包络出第二齿面Σ₂；设定L_g是形成包络共轭曲面Σ_p的特征线，则在第一齿面Σ₁沿接触点迹线L₂相对共轭曲面Σ_p按Ψ运动的任意时刻，第一齿面Σ₁与第二齿面Σ₂相切于特征线L_g，特征线L_g和接触点迹线L₂交于点M，而在点M，对于第一齿面Σ₁与第二齿面Σ₂分别有活动标架S_ft和活动标架S_fp，共轭曲面Σ_p与第二曲面Σ₂同固结于坐标系S₍₂₎[O⁽²⁾；x⁽²⁾>(2)>(2)]，共轭曲面Σ_p是第二齿面Σ₂的拟合逼近目标，由式(2)和式(3)知第一齿面Σ₁相对第二齿面Σ₂的角速度为式(4)

考虑S₍₁₎、S_ft、S_fp和S₍₂₎之间的相对运动，则在点M处第一曲面Σ₁相对第二齿面Σ₂的速度为式(5)

按式(5)的方式，将式(4)中的因子提出来，并将因子指定为基准速率，不失一般性，令而由于接触点迹线L₂的方程已经由与L₁相对运动的共轭条件确定，故也是已经确定的函数量，则在第一齿面Σ₁上任意点P(u₁,υ₁)处，第一齿面Σ₁相对第二齿面Σ₂的速度函数表示为式(6)

式(6)中的表示点P(u_t,υ_t)在活动标架S_ft下的位置矢量，Δ是活动标架S_ft与活动标架S_fp之间的夹角；

S22：从第一齿面Σ₁到第二齿面Σ₂的运动变换及第二齿面Σ₂方程的曲面运动不变几何量描述

如图5所示，从第一齿面Σ₁出发，分别由运动变换Ψ展成(拟合)第二齿面Σ₂和由运动变换(1)展成共轭曲面Σ_p的坐标变换过程以及第二齿面Σ₂的设计思路；图5中两个虚线方框内的内容分别描述的是运动变换Ψ和运动变换(1)的坐标变换过程，其中运动变换Ψ是如图4所示的在第一齿面Σ₁和共轭曲面Σ_p的活动标架下由第一齿面Σ₁和共轭曲面Σ_p的运动不变量描述；运动变换(1)是如图1所示的在点啮合齿轮副固定坐标系下由齿轮副结构参数描述的；沿运动变换Ψ和运动变换(1)，由图3可知，沿运动变换Ψ和运动变换(1)，从固定坐标系S₍₁₎到固定坐标系S₍₂₎的变换矩阵为式(7)

式中

其中，表示第一齿面Σ₁上任意点M在固定坐标系S₍₁₎[O⁽¹⁾；x⁽¹⁾>(1)>(1)]中的位置矢量函数，此点M与共轭曲面Σ_p上的曲线L₂上的点M关于运动Ψ共轭；表示接触点迹线L₂在固定坐标系S₂[O⁽²⁾；x⁽²⁾>(2)>(2)]中的矢量参数方程；

第一齿面Σ₁在相对运动Ψ下的第二齿面Σ₂在固定坐标系S₍₂₎[O⁽²⁾；x⁽²⁾>(2)>(2)]下的方程为式(8)

式中，表示曲面Σ₁在固定坐标系S₍₁₎[O⁽¹⁾；x⁽¹⁾>(1)>(1)]下的矢量参数方程，N₁(u₁,υ₁)是第一齿面Σ₁上任意一点P处单位法矢的矢量参数方程，如图2所示，此点P是曲面Σ₁上不同于点M的另一任意点；

S23：运动参数Δ的确定

如图6所示，设第一齿面Σ₁和第二齿面Σ₂间的，与最小相对曲率对应的相对主方向为α_m，沿α_m的第一齿面Σ₁、第二齿面Σ₂的法曲率为短程挠率为则沿相对主方向α_m的第一齿面Σ₁、第二齿面Σ₂的相对短程挠率为零，即满足式(9)

由欧拉—贝特朗公式，对于共轭齿面Σ_p沿相对主方向α_m满足式(10)、(11)

其中，φ₂和φ₃满足式(12)，

φ₂-φ₃＝arccos(α₁·α)(12)

对于第一齿面Σ₁沿相对主方向α_m有式(13)

在式(10)至式(13)中，分别是第一齿面Σ₁在点M沿e_i(i＝1,2)方向的短程挠率和法曲率；和分别是共轭曲面Σ_p在点M沿接触点迹线L₂的切线方向即单位切矢α方向的短程挠率和法曲率及α方向在公切平面上的垂直方向ν的法曲率；和分别是共轭曲面Σ_p在点M沿接触点迹线L₁的切线方向即单位切矢α₁方向的短程挠率和法曲率及α₁方向在公切平面上的垂直方向ν₁的法曲率；由于在步骤S10中已经确定了接触点迹线L₁和接触点迹线L₂，那么接触点迹线L₁的单位切矢α₁和接触点迹线L₂的单位切矢α就已经确定，故φ₂-φ₃是已经确定的已知量；

基于最终形成的第二齿面Σ₂需满足步骤S10的设计要求，故对于第二齿面Σ₂，沿相对主方向α_m满足式(14)

活动标架S_ft与活动标架S_fp之间的夹角Δ满足式(15)

Δ(u_1M，υ_1M，s_p)＝φ₂(s_p)-φ₁(u_1M，υ_1M)(15)

对式(9)～(14)联立求解，用点M处第一齿面Σ₁和第二齿面Σ₂的各个方向的法曲率和短程挠率表示φ₁、φ₂和φ₃，具体表示为φ₁(u_tM，υ_tM)，φ₂(s_p)和φ₃(s₁)，从而确定相对主方向α_m，将φ₁(u_tM，υ_tM)，φ₂(s_p)代入式(15)，即可将夹角Δ表达为运动不变量u_tM，υ_tM，s_p的函数；

将上述方法中求得的Δ分别代入式(6)和(7)，分别求得在任意点P(u₁,υ₁)处第一齿面Σ₁相对第二齿面Σ₂的速度函数和从第一齿面Σ₁到第二齿面Σ₂的变换矩阵函数，再将式(6)和式(7)代入式(8)并消去参数u₁，就得到第一齿面Σ₁在运动Ψ下的第二齿面Σ₂在与包络曲面Σ_p固结的固定坐标系S₍₂₎[O⁽²⁾；x⁽²⁾>(2)>(2)]下的矢量函数方程(16)

S24：第二齿面Σ₂在接触点迹线以外的区域与第一齿面Σ₁的间隙

如图7所示，在包络曲面Σ_p上任意一点Q_g点处第二齿面Σ₂对包络曲面Σ_p的间隙满足式(17)

式中是包络曲面Σ_p上任意一点Q_g处单位法矢的矢量参数方程，如果选定了点Q_p，即确定了矢量则式(17)所表达的三个标量方程正好可以求解参数u₁、和δ_k，从而确定第二齿面Σ₂与包络曲面Σ_p在任意位置的间隙δ_k以及点Q_g的位置矢量

S25：第二齿面Σ₂整体优化设计模型

如图8所示，在过任意接触点M的第一齿面Σ₁在相对运动(1)下的包络特征线L_g上,分别位于接触点M的两侧的取两点和其对应的曲坐标分别设为(s_p，υ₁₁)、(s_p，υ₁₂),L_g上点和之间的各点到曲面Σ₂的距离δ_k与该点到接触点M的距离成正比，设曲线L_gp、点和分别是曲线L_g、点和在曲面Σ₂上的投影，根据齿面弹性力学实验可知，当第一齿面Σ₁对第二齿面Σ₂的间隙小于一个给定值时，第一齿面Σ₁上点和之间的狭长齿面与第二齿面Σ₂上和点之间的狭长曲面在承受满载的情况下将贴合在一起,并在第二齿面Σ₂上形成一个瞬时接触区，逐点控制每一个接触点所形成的瞬时接触区的大小、形状和方向显然是不可行的，因为这样设计的第二齿面将很可能不是连续可微的。由图8分析可知：从啮合的起始点M₁到啮合的终点M₂的整个啮合过程将在第二齿面Σ₂上连续形成一系列这样的瞬时接触区，并拼接成如图8阴影区域所示的齿面接触区，控制整个齿面啮合过程中在第二齿面Σ₂上所形成的接触区，并获得连续可微的第二齿面是可能的。因此，齿面优化设计目标是：在齿面承受满载的情况下，接触区的面积应在实际齿面的范围内尽量大，但不能超出实际齿面。因此，控制齿面接触区的面积大小占整个第二齿面面积满足式(18)

式中是用参数(s_p，υ₁)表示的包络曲面Σ_p方程，并由式(17)求得的并代入方程得到；而式中齿面优化设计目标是：在齿面承受满载的情况下，接触区的面积应在实际齿面的范围内尽量大，但不能超出实际齿面。因此，控制接触区的面积大小占整个齿面面积的2/3至8/9为宜；

再按式(19)进行优化设计约束：

式中δ₀是啮合的第一齿面Σ₁和第二齿面Σ₂在承受满载的情况下的齿面接触区的边界各点在齿面无载接触时的间隙；

求解由式(18)和(19)组成的不等式方程式组，得到两个函数闭区间u_1M(s_p)∈[u_1M1(s_p)u_1M2(s_p)]和υ_1M(s_p)∈[υ_1M1(s_p)υ_1M2(s_p)]，将其代入式(16)即可求得待求的第二齿面Σ₂的方程的设计区间

本发明的有益效果在于：

本发明是一种基于齿面自然活动标架的由第一齿面运动不变量参数描述的点啮合齿面整体设计方法，与现有技术相比，本发明引入曲面自然活动标架作为齿面设计的坐标系，将点啮合齿面的设计问题，转换归结为以第一齿面上的包络特征曲线作为样条曲线的曲面拟合逼近问题，通过第一齿面的运动不变量描述和设计点啮合齿面的参数，使点啮合齿面的整体设计摆脱对于特定机床结构的依赖，因而具有通用性和精确性，并能够据此方法对齿面啮合特性进行全局优化设计。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征及本发明的优点，本行业的技术人员应该了解，以上仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的创造性精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。