双随机相位加密系统部分密文的压缩感知重构方法

摘要

本发明公开了一种双随机相位加密系统部分密文的压缩感知重构方法。将双随机相位加密编码系统视为压缩感知系统，对双随机相位加密系统的加密过程进行矩阵化，构建对密文实行部分密文采样的测量矩阵，在已知部分密文和密钥的条件下，利用压缩感知重构算法，精确重构原始明文。本发明技术方案突破了传统Nyquist采样方式对采样频率的限制，能有效减小密文数据量，提高系统鲁棒性。

说明书

技术领域

本发明涉及光学信息安全技术领域的密文重构方法，特别涉及一种双随机相位加密系统部分密文的压缩感知重构方法。

背景技术

信息安全时刻影响着国家安全、经济发展和社会稳定。光学信息安全技术凭借处理速度快，并行维度高及数据存储容量大等优势而倍受研究者们的青睐。

光学信息安全技术领域的研究大部分都是围绕双随机相位加密技术(DRPE)展开的，美国专利US5903648、US6002773、US20020150242和US6519340都是关于该系统的。其具体实现系统如附图1所示，把待加密的明文f(x,y)置于输入面上，随机相位板RPM1紧贴在输入面后，在平行光照射下，f(x,y)先经过RPM1的随机相位调制，然后经过第一个光学透镜L1到达傅里叶频谱面，再经过RPM2的相位exp[jψ(u,v)]调制，最后经过第二个透镜L2，把在输出面上得到的具有白噪声性质的空间域信息g(x',y')作为密文，参见附图2，为现有技术采用的双随机相位加密系统的明文与密文信息图像，(a)图为明文，(b)图为密文。

在加密系统中，随机相位板RPM1和RPM2是系统的核心器件，它们分别在空间域和频率域对入射光进行的随机相位调制，起到了加密的效果，相位板的相位调制信息即为秘钥。

按照B.Javidi等人的研究结果，如果已知密文和秘钥，解密过程即为加密过程的逆过程，当部分秘钥丢失时，解密结果如图3所示。若要无误差的解密明文，密文采样率需达到100％，如图4所示。根据传统的Nyquist采样定理，采样频率需大于原始信号最高频率的两倍，采样后的数字信号才能完整保留原始信号中的信息。而在实际应用中，采样频域一般需达到原始信号最高频率的5～10倍，这给信号的采集和传输带来了很大的压力。

2006年提出的压缩感知理论为解决这一问题引入一种新的思路。根据压缩感知理论，对于稀疏信号的采样量不只取决于信号的带宽也决定于信号的结构和内容。如果信号是稀疏的，或者在某个变换域内是稀疏的，用与稀疏基不相关且满足约束等距性(RIP)的测量矩阵可以将高维信号投影至低维空间，然后通过求解最小l₀-范数问题就能够以很高的概率从少量的测量数据重构原始信号，参见附图5，为压缩感知原理图。虽然这一问题是NP难解的，但已经出现多种近似解法，如：OMP算法、TwIST算法等。OMP算法属于贪婪算法中的一种，基本思想是迭代地从字典中选择原子，并计算相应的系数，使得这些原子的线性组合与测量数据之间的差别逐渐减小；TwIST算法属于凸优化算法中的一种，基本思想是将l₀-范数问题“松弛”为凸优化问题，利用凸函数性质，实现多项式时间内的稀疏重构。

发明内容

本发明针对双随机相位加密系统所存在的不足，利用部分密文重构明文的方法，提供一种能有效的减小数据量，提高鲁棒性的对双随机相位加密系统部分密文进行压缩感知重构的方法。

实现本发明目的的技术方案是提供一种双随机相位加密系统部分密文的压缩感知重构方法，将双随机相位加密编码系统视为压缩感知系统，在已知部分密文和密钥的条件下，精确重构原始明文，包括如下步骤：

1、双随机相位编码系统的矩阵化：

构建双随机相位加密矩阵g＝IFTM2×R2×FTM2×R1×f，

其中，f为按式f((x-1)×n+y)＝f(x,y)降维后的明文，x,y＝1,2,…,n的正整数；R1、R2分别为以密钥exp[jψ(x,y)]和为对角元素的随机相位调制矩阵N×N,N＝n2，和ψ(x,y)是双随机相位加密系统中两次加密的随机相位；FTM2与IFTM2分别为二维傅里叶变换矩阵、二维逆傅里叶变换矩阵；

2、建立测量矩阵Φ＝S×IFTM 2×R2×FTM 2×R1，部分密文g'＝Φ·f，将双随机相位加密编码系统视为压缩感知系统，其中，S为随机采样矩阵，构建方法为：从1～N中随机取M{M≤N}个数记作{M}，若{M}中的第m(1≤m≤M)个数的值为i(1≤i≤N)，S即为第m行第i列的元素为1，其他元素为0的M×N维矩阵；

3、对建立的测量矩阵Φ，依据压缩感知基原理，得到重构明文。

本发明所述的双随机相位加密系统部分密文的压缩感知重构方法，适用于稀疏加密信号与非稀疏加密信号的压缩感知重构；对于非稀疏加密信号，测量矩阵Φ＝S×IFTM2×R2×FTM2×R1×IWSM，其中，IWSM为离散逆小波稀疏矩阵。

本发明的原理是：

为实现双随机相位编码系统的矩阵化，首先构建二维离散(逆)傅里叶变换矩阵。

一维离散傅里叶变换可以表示为结果等价于一维离散傅里叶变换矩阵与f(x)的乘积，即F(u)＝W·f(x)，W为：

其中，w＝exp(-j2π/n)；

二维离散傅里叶变换可以表示为：

$>\begin{array}{c}F(u,v)=\frac{1}{n}\underset{x=0}{\overset{n-1}{\Sigma }}\underset{y=0}{\overset{n-1}{\Sigma }}f(x,y)e^{-j2\pi \left(\frac{ux+vy}{n}\right)}\\ =\frac{1}{n}\underset{x=0}{\overset{n-1}{\Sigma }}{e}^{-j2\pi \left(\frac{ux}{n}\right)}\underset{y=0}{\overset{n-1}{\Sigma }}f{(x,y)}^{-j2\pi \left(\frac{vy}{n}\right)}\end{array};$>

根据二维离散傅里叶变换的分离性可知，对二维信号f(x,y)的离散傅里叶变换FT2可以由两次一维离散傅里叶变换FT求得：

FT2{f(x,y)}＝FT{FT{f(x,y)}'}'

＝(W×(W×f(x,y))')'

＝W×f(x,y)×W'；

其中，W为一维离散傅里叶变换矩阵。

将二维原始图像f(x,y)按f((x-1)×n+y)＝f(x,y)，x,y＝1,2,…,n降维为一维信号f后，可以把二维离散傅里叶变换变为：

FT2(f(x,y))＝Dr(W1×W2×f)；

Dr表示升维过程，是降维过程的逆过程。W1是由n×n维的对角矩阵w1(x,y)＝{diag_n,n(W(x,y))}_{x,y＝1,2,…,n}拼成的N×N(N＝n×n)维的矩阵，W2是以W为对角子矩阵的准对角矩阵。另外，还需要把低频信息的位置移动到图像中心。

二维离散傅里叶变换矩阵FTM2＝W1×W2，二维离散逆傅里叶变换矩阵(IFTM2)与二维离散傅里叶变换矩阵(FTM2)的区别为w＝exp(j2πn)。

再构建双随机相位加密矩阵，双随机相位加密系统可以表示为：

g＝IFTM2×R2×FTM2×R1×f；

其中，R1、R2分别为以密钥exp[jψ(x,y)]和exp[jφ(x,y)]为对角元素的N×N维矩阵，称为随机相位加密矩阵。定义双随机相位加密矩阵为：

DRPEM＝IFTM2×R2×FTM2×R1；

记S为随机采样矩阵，形式如下：从1～N中随机取M{M≤N}个数记作{M}，若{M}中的第m(1≤m≤M)个数的值为i(1≤i≤N)，S即为第m行第i列的元素为1，其他元素为0的M×N维矩阵。

随机取样过程可由随机取样矩阵S与g相乘实现：

g'＝S×g＝S×IFTM2×R2×FTM2×R1×f；

由此实现了对双随机相位加密系统的矩阵化处理，双随机相位加密系统得到的密文g(x,y)等于双随机相位加密矩阵与明文f乘积g的升维结果。

依据上述结果，采用压缩感知重构能够实现利用部分密文精确重构明文。具体方法是：令Φ＝S×IFTM2×R2×FTM2×R1为测量矩阵，又由于相位掩膜的随机性，易知Φ满足约束等距性，所以，双随机相位编码系统可以表示为压缩感知系统。在已知部分密文和密钥的情况下，即对已建立的测量矩阵Φ，依据压缩感知基原理，利用现有技术如OMP或TwIST等算法，就可以高概率的重构f。最后再把重构的信号升维就可以得到原始明文。

对于非稀疏图像，可以利用小波变换等稀疏基增强图像稀疏度。离散小波稀疏矩阵类似于二维离散傅里叶变换矩阵，只是其w为小波变换基。以S×IFTM2×R2×FTM2×R1×IWSM作为测量矩阵就可以重构原始明文的小波变换，其中IWSM为离散逆小波稀疏矩阵。对所得的图像进行逆小波变换就可以得到原始明文。

采用上述技术方案，分别实现了稀疏信号与非稀疏信号的压缩感知重构，利用随机的部分密文实现了明文的精确重构。实现大量密文丢失时的明文重构，提高了鲁棒性；同时降低了密文的必需采样率，减小了数据量。

与现有技术相比，本发明提出的用于部分密文解密的压缩感知重构的优点在于：本发明提出了一种基于压缩感知原理，由双随机相位加密系统的部分密文精确重构明文的算法，突破Nyquist采样定理的限制，降低密文的必须采样率。双随机相位编码系统的压缩感知重构相比于直接解密，只需要随机部分密文就可以实现明文的精确重构，减小数据采集的压力，实现大量密文丢失后明文的精确重构，提高了鲁棒性，同时为信号的采集提供了新的思路。

附图说明

图1为现有技术采用的双随机相位加密系统的原理示意图；

图2为现有技术采用的双随机相位加密系统的明文与密文图像；

图3为现有技术采用的双随机相位加密系统部分密文的解密结果图；

图4为现有技术采用的双随机相位加密系统部分密文解密的误差分析图；

图5为压缩感知原理图；

图6为本发明实施例提供的双随机相位加密系统的压缩感知重构图；

图7为本发明实施例提供的解密和压缩感知重构与密文采样点的关系对比图；

图8为本发明实施例提供的压缩感知重构与直接解密的峰值信噪比对比图；

图9为本发明实施例提供的压缩感知重构临界采样点的重构成功率结果图；

图10为本发明实施例提供的非稀疏信号与其小波变换信号图；

图11为本发明实施例提供的非稀疏信号部分密文的解密结果图；

图12为本发明实施例提供的非稀疏信号的压缩感知重构结果图；

图13为本发明实施例提供的非稀疏信号的直接解密与压缩感知重构误差对比图；

图14为本发明实施例提供的稀疏信号是否采用小波变换的压缩感知重构误差对比。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明技术方案作进一步描述。

实施例1

在本实施例中，利用MATLAB软件进行该光学加密系统的建模与仿真，为方便实现快速傅里叶变换，光波的波长与透镜的焦距都归并到正、逆傅里叶变换的因子中，并且输入输出面及频谱面都采用与待加密图像相同大小的口径。

为便于计算，本实施例选择64×64像素稀疏度为k＝720的灰度图作为原始明文，利用双随机相位编码系统进行加密，只采集密文中央的1200个数据点进行压缩感知重构。以Φ＝S×IFTM2×R2×FTM2×R1作为测量矩阵，其中R1、R2分别为以密钥exp[jψ(x,y)]和exp[jφ(x,y)]为对角元素的N×N维矩阵，FTM2、IFTM2分别为二维离散傅里叶变换矩阵和二维离散逆傅里叶变换矩阵。部分密文g'＝Φ·f，f为二维原始图像f(x,y)按f((x-1)×n+y)＝f(x,y)，x,y＝1,2,…,n降维为一维信号。由压缩感知原理可知，当已知测量矩阵Φ时，高维的明文f可由低维测量信号g'精确重构。如图6所示，为本实施例提供的双随机相位加密系统的压缩感知重构图；(a)图中框内为采样的部分密文，(b)图为重构结果。只要达能到最低采样率的要求，可以利用任意位置处的密文进行重构，与采样位置无关，其对比结果如图7所示。

参见附图8，为本实施例提供的压缩感知重构与直接解密的峰值信噪比对比图；由图8可知，当密文采样率大于0.29时，达到最低采样率的要求(klog(n),k为明文稀疏度)，峰值信噪比大于240，明显优于直接解密得到的明文情况，此时误差已经几乎不存在，可以认为利用压缩感知重构的图像与明文是无差别的。图9为密文采样率达到最低采样率临界值时的重构成功率。

对于非稀疏信号，图10表示二次小波变换过程，(a)图为任意非稀疏明文，(b)图为其小波变换。以S×IFTM2×R2×FTM2×R1×IWSM作为测量矩阵就可以重构原始明文的小波变换，其中IWSM为离散逆小波稀疏矩阵。对所得的图像进行逆小波变换就可以得到原始明文。图11为取样数为2800时非稀疏信号的解密结果，图12为相同采样率时的压缩感知重构结果。

参见附图13，为本实施例提供的非稀疏信号的直接解密与压缩感知重构误差对比图；由图13可以看出，压缩感知重构的峰值信噪比明显优于直接解密，即其误差小于直接解密误差。参见附图14，为对稀疏信号采用小波稀疏矩阵时的峰值信噪比与不采用小波稀疏矩阵时峰值信噪比的对比图，由图14可见，稀疏信号是否采用小波变换需视不同情况而定。

因此，无论是稀疏信号或者非稀疏信号，采用本发明提供的压缩感知重构均可以有效的降低必需采样率，减小数据量，提高鲁棒性。