基于大质量法的随机加速度激励下结构拓扑优化设计方法

摘要

本发明公开了一种基于大质量法的随机加速度激励下结构拓扑优化设计方法，用于解决现有随机载荷下的结构拓扑优化方法实用性差的技术问题。技术方案是采用大质量法将多点加速度激励转化为力激励施加到结构上，采用虚拟激励法结合模态加速度法计算随机激励下位移响应均方根，然后以结构指定位置位移响应均方根最小为目标，以结构质量为约束进行设计。相比背景技术的设计方法，本发明方法可以实现多点加速度随机激励，不局限于对结构进行单点加载。最终能够设计得到清晰有效的结构构型，从而能满足工程实际中考虑多点加速度加载的设计需求，实用性强。

说明书

技术领域

本发明涉及一种随机载荷下的结构拓扑优化方法，特别涉及一种基于大质量法的随机加速度激励下结构拓扑优化设计方法。

背景技术

实际工程中的结构经常受到各种峰值和谷值大小及序列随机出现的变频变幅载荷，即随机载荷。如自然界中存在的风激励，航空航天飞行器在服役时受到的气动激励，汽车在行驶过程中由于路面不平整受到的路面激励，地震激励等。随机激励对结构的正常工作产生很大影响，甚至使结构破坏。因此在结构构型设计时考虑结构在随机激励下的性能表现非常重要。

文献1“Zhang W.H.,Liu H,Gao T.Topology optimization of large-scalestructures subjected to stationary random excitation:An efficientoptimization procedure integrating pseudo excitation method and modeacceleration method[J].Computers&Structures,2015,158:61-70.”公开了一种随机载荷下的结构拓扑优化方法。该方法应用最为广泛的完全二次结合法(CQC)进行随机响应分析，当结构的自由度规模非常大时，其计算量会非常庞大，这给完全二次结合法在实际工程中的应用造成极大的困扰。虚拟激励法(PEM)极大地提高了随机振动问题的求解效率，很好地解决了完全二次结合法在计算效率上的问题。文献中对比了传统的虚拟激励法和将虚拟激励法与模态加速度法进行结合得到的改进的虚拟激励法。虚拟激励法将随机响应功率谱密度的求解转换为虚拟简谐响应的求解，传统的虚拟激励法用模态位移法(MDM)进行虚拟简谐响应分析，在处理实际中的大规模自由度结构时，面临模态位移法的模态截断误差明显增加，导致优化失败的问题。改进的虚拟激励法用计算效率非常接近，但计算精度远远高于模态位移法的模态加速度(MAM)来进行虚拟简谐响应分析，因此可以大大提高随机响应的精度。

文献1公开的方法虽然能够实现随机激励结构拓扑优化，但是由于其激励是施加在单个点的力类型随机激励，不能施加类似于地震激励的多点加速度随机激励。

发明内容

为了克服现有随机载荷下的结构拓扑优化方法实用性差的不足，本发明提供一种基于大质量法的随机加速度激励下结构拓扑优化设计方法。该方法采用大质量法将多点加速度激励转化为力激励施加到结构上，采用虚拟激励法结合模态加速度法计算随机激励下位移响应均方根，然后以结构指定位置位移响应均方根最小为目标，以结构质量为约束进行设计。相比背景技术的设计方法，本发明方法可以实现多点加速度随机激励，不局限于对结构进行单点加载。最终能够设计得到清晰有效的结构构型，从而能满足工程实际中考虑多点加速度加载的设计需求，实用性强。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案：一种基于大质量法的随机加速度激励下结构拓扑优化设计方法，其特点是包括以下步骤：

步骤一、建立有限元模型，在拟施加激励位置外建立一大质量点，大质量点取结构重量的10⁶倍，作为载荷的实际施加处，在大质量点与拟施加激励处的所有节点之间建立刚性连接，设置拓扑设计变量η_h初始值，h是正整数表示单元编号，1≤h≤N_h，N_h表示结构单元总数量，给定材料密度ρ和杨氏模量E，给定质量约束上限

步骤二、设置激励载荷，给出随机激励f(t)的功率谱密度矩阵S_f(ω)，f(t)为p维列向量，p为载荷中力的个数，t表示时间，S_f(ω)为p维方阵，其下标f表示其为激励f(t)的功率谱矩阵。ω为激励角频率，载荷的激励频段为ω表示激励角频率的下限，表示激励角频率的上限。根据矩阵LDLT分解，存在下式。

其中Q为矩阵S_f(ω)的秩，γ_q为p维列向量表示第q个虚拟简谐激励，1≤q≤Q，上标T表示向量或矩阵的转置。

根据大质量法原理存在下式：

其中，M、C、K分别表示质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵，U分别表示加速度、速度、位移，下标s表示结构非支撑处的自由度，下标g表示结构支撑处的自由度，M_gg是基底大质量矩阵，为地震激励，γ_q为虚拟简谐激励向量。>

将式(3)左右两端左乘M_gg^-1，由于M_gg^-1中对角元素趋近于零，得到基础激励处的加速度：

步骤三、根据当前设计变量值，采用以下材料插值模型分别计算每一个有限元单元的材料密度ρ_h和杨氏模量E_h

ρ_h＝ρη_h(5)

更新结构有限元模型中的相应材料属性并进行结构有限元分析。

步骤四、从有限元分析结果中提取每个单元的刚度矩阵K_h和质量矩阵M_h，结构的前l阶模态频率值ωi，1≤i≤l，模态振型为n行l列矩阵，n为结构总自由度数目，设结构前l阶阻尼比为ξ_i，ξ_i为Rayleigh阻尼，按下式计算：

α与β为Rayleigh阻尼系数。

采用虚拟激励法结合模态加速度法计算结构自由度r的随机位移响应均方根公式为

式中u表示位移，||(g_q(t))_r||表示复数(g_q(t))_r的模，g_q(t)为n维列向量表示结构在第q个虚拟简谐激励γ_q下的位移响应，其第r项的计算公式为

式中不考虑结构刚体模态，计算所得位移为自由度r相对基础点的相对位移。式中a为n维列向量，只有第r项为1，其它项均为0。为的第i列。b为n行p列由0、1组成 的载荷分布矩阵，假如f(t)中第d个力施加在第z个自由度上，则b的第d列中只有第z个元素值是1，d列中其它元素值均为0。e^jωt表示以自然常数e为底数的指数函数，ω为激励频率，j²＝-1。式(10)中，

x_q＝K^-1(bγ_q)(12)

式中K为结构有限元整体刚度矩阵，x_q是第q个静力载荷bγ_q下的相对位移向量，利用惯性释放分析计算。

步骤五、定义拓扑优化模型：

式中η为设计变量下限值，取0.001。表示结构自由度r的随机位移响应均方值。M表示结构质量。

步骤六、将模型进行一次有限元分析；通过优化灵敏度分析，求得目标函数和约束条件的灵敏度，选取梯度优化算法进行优化设计，得到优化结果。

本发明的有益效果是：采用大质量法将多点加速度激励转化为力激励施加到结构上，采用虚拟激励法结合模态加速度法计算随机激励下位移响应均方根，然后以结构指定位置位移响应均方根最小为目标，以结构质量为约束进行设计。相比背景技术的设计方法，本发明方法可以实现多点加速度随机激励，不局限于对结构进行单点加载。最终能够设计得到清晰有效的结构构型，从而能满足工程实际中考虑多点加速度加载的设计需求。

本发明方法经过实施例225步迭代后得到设计结果。初始结构指定自由度r＝204的随机位移响应均方根为1.409mm，设计得到结构的指定自由度r＝204的随机位移响应均方根为0.093mm，随机位移响应均方根降幅达到93.4％。由图1可见设计得到的结构构型清晰有效，易于在实际工程中使用，实用性强。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。

附图说明

图1是本发明方法实施例的设计结果图。

具体实施方式

参照图1。本发明基于大质量法的随机加速度激励下结构拓扑优化设计方法具体步骤如下：

(a)建立设计空间有限元模型：将长宽厚分别为0.8m，0.4m和0.005m的矩形平面结构划分为80×40的正方形网格，在大质量点所在节点上施加质量为3×10⁷kg的大质量点，约束大质量点处除竖直方向以外的所有自由度。设置拓扑设计变量η_h初始值均为0.5。结构单元总数目N_h＝3200。给定材料密度ρ＝7800kg/m³，杨氏模量E＝200GPa，质量约束上限

(b)设置激励载荷为作用在施加大质量点处节点竖直向上的随机载荷f(t)，结构只有p＝1个力载荷，因此随机载荷的功率谱密度矩阵S_f(ω)为1维矩阵，其值设为2500N²/(rad/s)，载荷的激励频段为[0，5027]rad/s。根据矩阵LDLT分解，存在下式。

此处Q＝1为矩阵S_f(ω)的秩，γ₁＝50表示第1个虚拟简谐激励。

(c)根据大质量法原理存在下式：

其中，M、C、K分别表示质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵，U分别表示加速度、速度、位移，下标s表示结构非支撑处的自由度，下标g表示结构支撑处的自由度，M_gg是基底大质量矩阵，为地震激励(地震动加速度)，γ_q为虚拟简谐激励向量。将式(2)的第2行展开，得下式：

将式(3)左右两端左乘M_gg^-1，由于M_gg^-1中对角元素趋近于零，可得基础激励处的加速度：

这样就将加速度载荷等效为虚拟简谐力载荷施加到结构上了。

(d)根据当前设计变量值，采用以下材料插值模型分别计算每一个有限元单元的材料密度ρ_h和杨氏模量E_h

ρ_h＝ρη_h(5)

更新结构有限元模型中的相应材料属性并进行结构有限元分析。

(e)从有限元分析结果中提取每个单元的刚度矩阵K_h和质量矩阵M_h，结构的前l＝30阶模态频率值ω_i，模态振型为n＝6642行l＝30列矩阵。设结构前l＝30阶模态的阻尼比为ξ_i，ξ_i为Rayleigh阻尼，按下式计算：

Rayleigh阻尼系数α＝0.01与β＝0.00001。

采用虚拟激励法结合模态加速度法计算结构自由度r＝204(右端中点竖直方向对应的自由度)的随机位移响应均方根的公式为

式中u表示位移，||(g_q(t))₂₀₄||表示复数(g_q(t))₂₀₄的模，g_q(t)为6642维列向量表示结构在第q个虚拟简谐激励γ_q下的位移响应，其第r＝204项的计算公式为

式中不考虑结构刚体模态，计算所得位移为自由度r＝204相对基础点的相对位移。式中a为6642维列向量，只有第r＝204项元素值为1，其它项均为0。b为6642行1列由0，1组成的载荷分布矩阵，f(t)中只有1个力施加在第z＝204个自由度上，因此b的第1列中只有第204个元素值是1，其它元素值均为0。e^jωt表示以自然常数e为底数的指数函数，j²＝-1。式(9)中

H_i＝(ω²_i-ω²+2jξ_iω_iω)^-1(10)

x_q＝K^-1(bγ_q)(11)

式中K为结构有限元整体刚度矩阵，x_q是第q个静力载荷bγ_q下的相对位移向量，利用惯性释放分析计算。

(f)定义拓扑优化模型：

式中η为设计变量下限值，取0.001。表示自由度r＝204的随机位移响应均方根。M表示结构质量。

(g)将模型进行一次有限元分析；通过优化灵敏度分析，求得目标函数和约束条件的灵敏度，选取梯度优化算法进行优化设计，得到优化结果。

本发明方法经过实施例225步迭代后得到设计结果。初始结构指定自由度r＝204的随机位移响应均方根为1.409mm，设计得到结构的指定自由度r＝204的随机位移响应均方根为0.093mm，随机位移响应均方根降幅达到93.4％。由图1可见设计得到的结构构型有效。本实施例中将载荷由背景文献中的单点随机力加载变化为更加符合实际情况的多点随机加速度载荷，能更好地模拟工程实际中的受载情况。本实施例表明了本发明方法在处理多点随机加速度激励下结构设计问题上的有效性。