一种基于费歇尔信息的行星表面导航信标布局优化方法

摘要

本发明涉及一种基于费歇尔信息的行星表面导航信标布局优化方法，属于深空探测领域。该方法在行星大气进入段，根据探测器的大气进入点初始状态及动力学模型，确定大气进入段飞行轨迹；针对无线电信标导航方案，建立导航系统观测模型；以最大似然估计理论为理论基础，根据观测方程及观测噪声特性，建立导航系统各状态变量的费歇尔信息量模型；基于状态费歇尔信息量，考虑探测器大气进入过程中的信标可见性约束，建立信标位置优化模型；利用现代优化算法求解得到无线电信标的布局，达到充分利用信标的测量信息以提高无线电导航系统导航性能的目的。

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于费歇尔信息的行星表面导航信标布局优化方法，属于深空探测领域。

背景技术

从着陆安全和科学探索价值方面考虑，NASA提出了未来火星着陆任务的关键技术是精确着陆。目前为止，已经有七颗探测器在火星表面成功着陆，这些探测器的着陆过程均沿用第一代成功着陆任务(海盗号)的着陆方案，分为大气进入段、伞降段、动力下降段和最终着陆段。大气进入段是着陆过程的重要阶段，其导航、制导精度对最终着陆精度有决定性影响。由于大气进入过程探测器速度大，其会产生严重的热流及过载等威胁自身安全的情况，着陆装置一般包裹在较厚的隔热层中，这导致探测器在大气进入过程的导航手段严重受限。已完成的着陆任务在大气进入段均采用惯性测量单元(IMU)航位递推的方式获得状态信息，由于IMU在大气进入点存在较大的漂移和偏差，需要新的测量信息对其进行校正。目前学者研究较多并有极大可能性运用于下一代火星着陆任务的大气进入段导航方式是基于信标的无线电导航。已有学者研究证明了无线电导航系统的导航性能依赖于信标的数量及信标和探测器之间的相对位置关系。

已有研究针对三颗及以上的火星表面信标，利用李导数及可观测矩阵条件数的方法，对信标布局进行了优化分析，并利用费歇尔信息矩阵对三颗及以上的轨道器信标进行了优化分析。由于目前行星周围可利用的无线电信标数量有限，例如火星表面可用的信标主要为着陆车及火星周围的环绕器，它们的数量均较少，在一个特定的火星大气进入过程中，可见的信标数量极容易出现小于三颗甚至不存在可见信标的情况。

发明内容

本发明的目的是为了解决无线电导航方案下现有技术仅针对三颗及以上的行星表面信标提出布局优化模型，该模型不适用于小于三颗信标的情况，即存在局限性的问题，提供一种基于费歇尔信息的行星表面导航信标布局优化方法。该方法通过分别考虑每个状态的费歇尔信息量，建立一种适用于任意颗信标的位置布局优化方法，并利用现代优化算法求解优化问题。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的。

一种基于费歇尔信息的行星表面导航信标布局优化方法，具体步骤如下：

步骤一、建立行星大气进入段探测器动力学模型，确定进入轨迹；

在行星惯性坐标系下，忽略行星自转，取探测器的三自由度状态为X＝[x,y,z,v_x,v_y,v_z]^T，其中r＝(x,y,z)^T为位置向量，x，y和z分别为位置在三个方向的分量，v＝(v_x,v_y,v_z)^T为速度向量，v_x，v_y和v_z分别为速度在三个方向的分量。则大气进入段三自由度动力学方程为：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{r}\\ \stackrel{·}{\nu }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}v\\ -g{i}_r-\frac{D}{m}{i}_v+\frac{L}{m}cos\sigma (i_{v\times r}\times i_v)+\frac{L}{m}sin\sigma i_{v\times r}\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中σ为倾侧角，m为探测器质量，g为重力加速度，L和D分别为探测器受到的升力和阻力，代表行星质心与着陆器连线方向，-gi_r为重力加速度，代表速度方向，为气动阻力加速度，为垂直于位置和速度平面的法向量，代表升力加速度的侧向分量，代表升力加速度的纵向分量，重力加速度、升力和阻力分别具有如下形式：

$g=\frac{\mu }{r^2},L=\frac{1}{2}{\mathrm{\rho V}}^2{\mathrm{SC}}_L,D=\frac{1}{2}{\mathrm{\rho V}}^2{\mathrm{SC}}_D---\left(2\right)$

式中μ为行星引力常数，V为速度v的大小，S为探测器的参考面积，C_L和C_D分别为探测器的升力和阻力系数，ρ为行星大气密度，采用如下指数模型：

$\rho ={\rho }_0\exp \left(\frac{r_0-r}{h_s}\right)---\left(3\right)$

其中，ρ₀为参考密度，r₀为参考半径，h_s为标高。根据已知的探测器大气进入点状态及控制输入，通过对三自由度动力学方程进行积分即可得到进入轨迹。

步骤二、建立导航系统观测模型；

无线电信标测距模型下的观测量是信标和探测器之间的相对距离：

$R_i\left(X\right)=\sqrt{{(x-x_{Bi})}^2+{(y-y_{Bi})}^2+{(z-z_{Bi})}^2},i=1,\mathrm{...},N---\left(4\right)$

其中N为信标个数，r_B＝(x_Bi,y_Bi,z_Bi)^T为第i颗信标的位置坐标，各位置分量分别为x_Bi＝R₀cosφ_Bicosθ_Bi，y_Bi＝R₀cosφ_Bisinθ_Bi，z_Bi＝R₀sinφ_Bi，(θ_Bi,φ_Bi)为第i颗信标的经纬度坐标，R₀为行星半径，对于行星表面信标，满足

根据式(4)可建立无线电导航系统观测模型如式(5)、式(6)所示：

ω_i(X)＝R_i(X)+δ_i,i＝1,...,N>

Ω(X)＝[ω₁(X)…ω_N(X)]^T(6)

其中，ω_i代表真实测量值。根据实际工程经验，各信标的测量噪声近似满足δ_i相互独立，且满足高斯白噪声分布(均值为零，方差为)，则观测噪声模型如式(7)所示：

$E\left[{\delta }_i\right]=0,E\left[{\delta }_i{\delta }_j^T\right]=\left(\begin{array}{c}0,i\ne j\\ {\sigma }_{R_i}^2,i=j\end{array}\right),i,j=1,\mathrm{...},N---\left(7\right)$

步骤三、建立导航系统费歇尔信息量模型；

根据步骤二得到的式(5)～(7)所对应的观测模型和观测噪声模型，得到关于状态X的似然函数为：

$LF({\omega }_1,{\omega }_2,\mathrm{...},{\omega }_N|X)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Pi }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_{R_i}}\exp (-\frac{1}{2}{\sigma }_{R_i}^{-2}||{\omega }_i-R_i\left(x\right)|{|}^2)---\left(8\right)$

其中LF代表似然函数，求取似然函数的对数，并保留与状态相关的项，能够得到对数似然函数DF具有如下形式：

$DF\left(X\right)=-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\sigma }_{R_i}^{-2}\left|\right|{\omega }_i-R_i\left(x\right)|{|}^2---\left(9\right)$

费歇尔信息矩阵：

$F=E\left(\frac{\partial DF\left(X\right)}{\partial X}\times \frac{\partial DF\left(X\right)}{\partial X^T}\right)---\left(10\right)$

分别对位置r＝(x,y,z)^T的三个分量求偏导，x，y和z分别带入X的位置，得到三个方向的信息量模型，即导航系统各状态费歇尔信息量模型：

$\left(\begin{array}{c}{F}_x=E\left\{\frac{{\partial }^{2}DF\left(X\right)}{\partial x\partial x^T}\right\}=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\sigma }_{R_i}^{-2}{\left(\frac{x-x_{B_i}}{R_i}\right)}^2\\ F_y=E\left\{\frac{{\partial }^{2}DF\left(X\right)}{\partial y\partial y^T}\right\}=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\sigma }_{R_i}^{-2}{\left(\frac{y-y_{B_i}}{R_i}\right)}^2\\ F_z=E\left\{\frac{{\partial }^{2}DF\left(X\right)}{\partial z\partial z^T}\right\}=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\sigma }_{R_i}^{-2}{\left(\frac{z-z_{B_i}}{R_i}\right)}^2\end{array}\right)---\left(11\right)$

由式(11)可以推导得出导航系统各状态的信息量具有性质：且

步骤四、建立信标布局优化模型；

当满足信标与探测器之间的连线不会被遮挡时，才能得到测量信息，信标可见性约束的数学模型为：

$R_i^2\le l^2-R_0^2,i=1,\mathrm{...},N---\left(12\right)$

其中，l为探测器距行星质心的距离，即l²＝x²+y²+z²。

根据步骤三的式(11)，为了综合考虑三个方向的信息量水平，性能指标为：

J＝min[ave(F_x),ave(F_y),ave(F_z)](13)

其中ave(F_x)，ave(F_y)，ave(F_z)分别为三个方向的信息量在整个进入过程的均值：

$ave\left(F_j\right)=\frac{{\int }_{t_0}^{t_f}{F}_j\left(t\right)dt}{\left(t_f-t_0\right)},j=x,y,z---\left(14\right)$

t₀和t_f分别为大气进入段的初始和结束时刻。由于导航系统所能提供的信息量有限，为了权衡三个方向的估计精度，性能指标J的意义为通过优化信标位置，使三个方向信息量均值的最小值最大化。

为了减小初始状态估计偏差的影响，对信息量的最大值施加约束，如式(15)所示：

$\left(\begin{array}{c}\max \left(F_x\left(t\right)\right)\ge k_x\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\sigma }_{R_i}^{-2}\\ \max \left(F_y\left(t\right)\right)\ge k_y\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\sigma }_{R_i}^{-2}\\ \max \left(F_z\left(t\right)\right)\ge k_z\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\sigma }_{R_i}^{-2}\end{array}\right)---\left(15\right)$

根据步骤三中导航系统费歇尔信息量总和恒定的性质，式(15)中的系数满足0≤k_j(j＝x,y,z)≤1，定义k_j(j＝x,y,z)为信息水平因子，则可代表信息量的水平。由于状态的费歇尔信息随时间是连续变化的，k_j的选取一方面应使max(F_j(t)),j＝x,y,z能尽量大以更好的修正初始偏差，另一方面应保证优化问题的解存在。

综上，信标布局优化模型如下：

最大化：J＝min[ave(F_x),ave(F_y),ave(F_z)]>

满足约束：

由于该模型不要求系统状态全可观，故其适用于包含任意颗信标的无线电导航系统。

最终，根据步骤一得到的行星大气进入段轨迹和式(16)所建立的信标布局优化模型，利用现代优化算法即可求解得到信标位置，以实现提高无线电导航系导航性能的目的。

有益效果

1、本发明的一种基于费歇尔信息的行星表面导航信标布局优化方法，由于不再要求导航系统的状态全可观性，故适用于包含任意颗地面信标的无线电导航系统，特别是三颗以下传统方法不能适用的情况。

2、本发明的一种基于费歇尔信息的行星表面导航信标布局优化方法，由于通过信标布局优化可以均匀分配各方向的信息量，故可以提高无线电导航系统的整体导航性能。

附图说明

图1为一种基于费歇尔信息的行星表面导航信标布局优化方法流程图。

图2为单颗无线电导航系统下不同信标布局的信标位置分布图。

图3为单颗信标导航系统下不同信标布局对应的三个方向信息量及估计误差标准差对比图；其中图(a)为x方向的费歇尔信息量随时间的变化；图(b)为y方向的费歇尔信息量随时间的变化；图(c)为z方向的费歇尔信息量随时间的变化；图(d)为x方向的估计误差标准差随时间的变化；图(e)为y方向的估计误差标准差随时间的变化；图(f)为z方向的估计误差标准差随时间的变化；

图4为三颗无线电导航系统下不同信标布局的信标位置分布图。

图5为三颗信标导航系统下不同信标布局对应的三个方向信息量及估计误差标准差对比图；其中图(a)为x方向的费歇尔信息量随时间的变化；图(b)为y方向的费歇尔信息量随时间的变化；图(c)为z方向的费歇尔信息量随时间的变化；图(d)为x方向的估计误差标准差随时间的变化；图(e)为y方向的估计误差标准差随时间的变化；图(f)为z方向的估计误差标准差随时间的变化。

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实施实例对发明内容做进一步说明。

本实例为针对火星大气进入段无线电导航方案的信标位置优化问题，基于费歇尔信息建立信标位置优化模型，利用遗传算法，对火星表面信标位置进行优化。

一种基于费歇尔信息的行星表面导航信标布局优化方法，如图1所示，具体步骤如下：

步骤一、建立火星大气进入段探测器动力学模型，确定进入轨迹；

在火星惯性坐标系下，忽略火星自转，取探测器的三自由度状态为X＝[x,y,z,v_x,v_y,v_z]^T，其中r＝(x,y,z)^T为位置向量，x，y和z分别为位置在三个方向的分量，v＝(v_x,v_y,v_z)^T为速度向量，v_x，v_y和v_z分别为速度在三个方向的分量。则大气进入段三自由度动力学方程为：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{r}\\ \stackrel{·}{\nu }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}v\\ -g{i}_r-\frac{D}{m}{i}_v+\frac{L}{m}cos\sigma (i_{v\times r}\times i_v)+\frac{L}{m}sin\sigma i_{v\times r}\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中σ为倾侧角，m为探测器质量，g为重力加速度，L和D分别为探测器受到的升力和阻力，代表火星质心与着陆器连线方向，-gi_r为重力加速度，代表速度方向，为气动阻力加速度，为垂直于位置和速度平面的法向量，代表升力加速度的侧向分量，代表升力加速度的纵向分量，重力加速度、升力和阻力分别具有如下形式：

$g=\frac{\mu }{r^2},L=\frac{1}{2}{\mathrm{\rho V}}^2{\mathrm{SC}}_L,D=\frac{1}{2}{\mathrm{\rho V}}^2{\mathrm{SC}}_D---\left(2\right)$

式中μ为火星引力常数，V为速度v的大小，S为探测器的参考面积，C_L和C_D分别为探测器的升力和阻力系数，ρ为火星大气密度，采用如下指数模型：

$\rho ={\rho }_0\exp \left(\frac{r_0-r}{h_s}\right)---\left(3\right)$

其中，ρ₀为参考密度，r₀为参考半径，h_s为标高。探测器大气进入点状态如表1所示，本实例中控制输入取常值σ＝π/4，通过对三自由度动力学方程进行积分即可得到进入轨迹。

步骤二、建立导航系统观测模型；

无线电信标测距模型下的观测量是信标和探测器之间的相对距离：

$R_i\left(X\right)=\sqrt{{\left(x-x_{Bi}\right)}^2+{\left(y-y_{Bi}\right)}^2+{\left(z-z_{Bi}\right)}^2},i=1,\mathrm{...},N---\left(4\right)$

其中N为信标个数，r_B＝(x_Bi,y_Bi,z_Bi)^T为第i颗信标的位置坐标，各位置分量分别为x_Bi＝R₀cosφ_Bicosθ_Bi，y_Bi＝R₀cosφ_Bisinθ_Bi，z_Bi＝R₀sinφ_Bi，(θ_Bi,φ_Bi)为第i颗信标的经纬度坐标，R₀为火星半径，对于火星表面信标，满足

根据式(4)可建立无线电导航系统观测模型如式(5)、式(6)所示：

ω_i(X)＝R_i(X)+δ_i,i＝1,...,N>

Ω(X)＝[ω₁(X)…ω_N(X)]^T(6)

其中，ω_i代表真实测量值。根据实际工程经验，各信标的测量噪声近似满足测量噪声δ_i相互独立，且满足高斯白噪声分布(均值为零，方差为)时，则观测噪声模型如式(7)所示：

$E\left[{\delta }_i\right]=0,E\left[{\delta }_i{\delta }_j^T\right]=\{\begin{array}{c}0,i\ne j\\ {\sigma }_{R_i}^2,i=j\end{array},i,j=1,\mathrm{...},N---\left(7\right)$

步骤三、建立导航系统费歇尔信息量模型；

根据步骤二得到的式(5)～(7)所对应的观测模型和观测噪声模型，得到关于状态X的似然函数LF为：

$LF({\omega }_1,{\omega }_2,\mathrm{...},{\omega }_N|X)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Pi }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_{R_i}}\exp (-\frac{1}{2}{\sigma }_{R_i}^{-2}||{\omega }_i-R_i\left(x\right)|{|}^2)---\left(8\right)$

求取似然函数的对数，并保留与状态相关的项，能够得到对数似然函数DF具有如下形式：

$DF\left(X\right)=-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\sigma }_{R_i}^{-2}\left|\right|{\omega }_i-R_i\left(x\right)|{|}^2---\left(9\right)$

费歇尔信息矩阵：

$F=E\left(\frac{\partial DF\left(X\right)}{\partial X}\times \frac{\partial DF\left(X\right)}{\partial X^T}\right)---\left(10\right)$

分别对位置r＝(x,y,z)^T的三个分量求偏导，x，y和z分别带入X的位置，得到三个方向的信息量模型，即导航系统费歇尔信息量模型：

$\left(\begin{array}{c}{F}_x=E\left\{\frac{{\partial }^{2}DF\left(X\right)}{\partial x\partial x^T}\right\}=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\sigma }_{R_i}^{-2}{\left(\frac{x-x_{B_i}}{R_i}\right)}^2\\ F_y=E\left\{\frac{{\partial }^{2}DF\left(X\right)}{\partial y\partial y^T}\right\}=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\sigma }_{R_i}^{-2}{\left(\frac{y-y_{B_i}}{R_i}\right)}^2\\ F_z=E\left\{\frac{{\partial }^{2}DF\left(X\right)}{\partial z\partial z^T}\right\}=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\sigma }_{R_i}^{-2}{\left(\frac{z-z_{B_i}}{R_i}\right)}^2\end{array}\right)---\left(11\right)$

由式(11)可以推导得出导航系统各方向的信息量具有性质：且

步骤四、建立信标布局优化模型；

当满足信标与探测器之间的连线不会被遮挡时，才能得到测量信息，信标可见性约束的数学模型为：

$R_i^2\le l^2-R_0^2,i=1,\mathrm{...},N---\left(12\right)$

其中，l为探测器距火星质心的距离，即l²＝x²+y²+z²。

根据步骤三的式(11)，为了综合考虑三个方向的信息量水平，性能指标为：

J＝min[ave(F_x),ave(F_y),ave(F_z)](13)

其中ave(F_x)，ave(F_y)，ave(F_z)分别为三个方向的信息量在整个进入过程的均值：

$ave\left(F_j\right)=\frac{{\int }_{t_0}^{t_f}{F}_j\left(t\right)dt}{(t_f-t_0)},j=x,y,z---\left(14\right)$

t₀和t_f分别为大气进入段的初始和结束时刻。由于导航系统所能提供的信息量有限，为了权衡三个方向的估计精度，性能指标J的意义为通过优化信标位置，使三个方向信息量均值的最小值最大化。

为了减小初始状态估计偏差的影响，对信息量的最大值施加约束，如式(15)所示：

$\left(\begin{array}{c}\max \left(F_x\left(t\right)\right)\ge k_x\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\sigma }_{R_i}^{-2}\\ \max \left(F_y\left(t\right)\right)\ge k_y\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\sigma }_{R_i}^{-2}\\ \max \left(F_z\left(t\right)\right)\ge k_z\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\sigma }_{R_i}^{-2}\end{array}\right)---\left(15\right)$

根据步骤三中导航系统费歇尔信息量总和恒定的性质，式(15)中的系数满足0≤k_j(j＝x,y,z)≤1，定义k_j(j＝x,y,z)为信息水平因子，则可代表信息量的水平。由于状态的费歇尔信息随时间是连续变化的，k_j的选取一方面应使max(F_j(t)),j＝x,y,z能尽量大以更好的修正初始偏差，另一方面应保证优化问题的解存在。本案例中取k_x＝k_y＝k_z＝0.5，可以代表信息量的平均水平。

综上，信标布局优化模型如下：

最大化：J＝min[ave(F_x),ave(F_y),ave(F_z)]

满足约束：

由于该模型不要求系统状态全可观，故其适用于包含任意颗信标的无线电导航系统。

步骤五、利用遗传算法优化得到信标位置；

最终，根据步骤一得到的火星大气进入段轨迹和式(16)所建立的信标布局优化模型，利用遗传算法优化求解以下各导航方案的信标布局。分别针对单颗无线电导航系统和三颗无线电导航系统进行信标布局优化工作并利用扩展卡尔曼滤波分析不同信标布局下导航系统的状态估计精度。具体仿真参数如表1所示：

表1 仿真参数

图2和图3中，布局1为按模型(16)优化的结果，布局2～5为在信标可见范围内任选的几个信标布局。对应布局1可以看出，按本发明所建立模型优化得到的信标位置可以一方面使三个方向的误差估计标准差均有收敛趋势，另一方面可以使三个方向的误差估计标准差保持在相对较小的水平。其中，单颗无线电信标导航系统对应的不同信标布局下各信标位置分布数据如表2所示。

表2 单颗信标导航下不同布局的信标位置

经度/度纬度/度信标布局18.7940-0.0020信标布局2113信标布局38.7959-0.2648信标布局413.9490-0.1650信标布局57.5197-4.9999

图4和图5中，布局1为根据本发明所建立模型优化的信标分布，布局2和3为在可见信标范围内任意选取的信标布局，布局4为按照已有文献中所建立的适用于3颗及以上信标优化模型的优化结果。对比布局1和布局4，可见两个模型下的信标分布对于导航性能可以产生等价的效果，均能使估计误差标准差保持在较低水平，进一步证明了本发明所建立模型对于任意颗信标的适用性。对比布局1～3，布局1的信标可以使三个方向的估计误差标准差均较小，提高了位置水平整体的估计精度。其中，三颗无线电信标导航系统对应的不同信标布局下各信标位置分布数据如表3所示：

表3 三颗信标导航下不同布局的信标位置

综上，本发明所提出的一种基于费歇尔信息的行星表面导航信标布局优化方法对于包含任意颗信标的无线电导航系统的适用性，且能提供导航系统的导航性能。