一种分数阶细胞神经网络自适应同步控制及电路设计方法

摘要

一种分数阶细胞神经网络自适应同步控制及电路设计方法，通过选择分数阶微分算法，组合细胞神经网络方程定义，构建了一个三维分数阶细胞神经网络系统。在该系统基础上设计一个驱动系统非线性参数已知而响应系统非线性参数未知的驱动-响应系统，同时构造一个新的自适应同步控制器及参数自适应调整率，在数值仿真中实现驱动和响应系统的同步；设计分数阶细胞神经网络驱动系统和响应系统电路图，同时对控制器及自适应调整率实现电路仿真。本发明仿真结果表明电路仿真与数值仿真具有相似的同步相图，验证了该系统理论分析的正确性及实际物理上的可实现性，在工程领域中具有现实的应用价值。

说明书

技术领域

本发明属于非线线混沌电路系统领域，涉及细胞神经网络、同步控制理论和分数 阶电路思想。

背景技术

混沌的发现是20世纪继相对论和量子力学之后物理学中最伟大的发现之一，混沌 运动是一种确定性的非线性系统所独有的运动形式，表现为从全局范围看为有限运动 而从局部角度看则为不规则的运动。混沌的特点是其对扰动的极端敏感性，即两个混 沌系统从微小差别的初始条件出发，经过一定的时间会快速发散，最终导致运动轨迹 完全不同。正是由于混沌信号的高度随机性、不可预测性、高度复杂性，以及确定性 方程的易于实现性，使其在工程技术上的拥有较大研究价值及其诱人的应用前景。细 胞神经网络(CellularNeuralNetworks,CNN)是一种与人类神经网络相似的并行计算仿 真模型，局部连接性质简单易于超大规模电路(VLSI)实现，可产生非线性动力学混 沌现象甚至超混沌复杂行为。细胞神经网络在预测学、图像处理、模式识别、保密通 信、逻辑阵列计算机的构建等方面已经取得了广泛的发展。而混沌同步控制作为混沌 应用的关键环节已经成为当今的研究热点之一，其对细胞神经网络系统同样重要，因 此对细胞神经网络系统的同步控制研究具有现实意义和实用价值。

自从1990年L.M.Pecora和T.L.Carrol提出混沌同步的思想以来，混沌同步的研 究得到了蓬勃发展。目前出现的同步方法有：驱动—响应法、主动—被动法、控制观 测器法、主动控制法、单向耦合法、自适应同步法等。大部分的同步方案都是基于对 系统结构和参数都准确了解的基础上实现的，然而事实上，很难通过外部测量准确得 到系统参数，而且即使有些系统已经知道其结构和参数，由于外部扰动及噪声的干扰， 也很难使得两混沌系统的参数完全相同。

分数阶微积分和整数阶微积分几乎具有同样长的发展历史，整数阶微积分是分数 阶微积分的特例，整数阶系统是对实际混沌系统的理想化处理。对于实际工程应用中， 分数阶系统的特点和结构更接近现实，随着分数阶微积分的不断发展，分数阶混沌系 统的同步控制比整数阶混沌系统的同步控制在保密通信、系统控制等领域具有更突出 应用价值和发展前景。至今为止众多的研究比较集中在整数阶混沌系统的同步控制上， 利用分数阶实现细胞神经网络自适应同步控制和参数辨识却鲜有报道。

至今为止，虽然众多学者对于细胞神经网络的动态特性，动力学行为及各种工程 应用等都有较多的论文著作发表，例如细胞神经网络基于阈值激励函数的平衡点分析， 基于细胞神经网络的飞行目标识别，忆阻细胞神经网络在车牌定位中的应用等，然而 这些研究基本上是基于整数阶的细胞神经网络。自从分数阶理论提出以来，分数阶混 沌系统有了较大的发展，例如分数阶Chen混沌系统的完全同步与反向同步、分数阶 Liu混沌系统及其电路实验的研究与控制、分数阶Lorenz超混沌系统及其电路仿真等， 但基于分数阶的细胞神经网络混沌系统研究却很少，利用分数阶实现细胞神经网络自 适应同步控制和参数辨识更是鲜有报道。然而分数阶微积分能更准确地描述现实世界 的各种动力学特性和系统的实际物理现象。因此对于分数阶的同步控制研究具有重要 的理论研究价值和应用前景。

发明内容

本发明在综合细胞神经网络和分数阶电路的各自优点的基础上，设计出了一个新 的分数阶细胞神经网络电路系统。并利用该系统构建一个驱动系统非线性参数已知而 响应系统非线性参数值未知的驱动-响应系统，通过自适应同步控制器和调整率来实现 该驱动-响应系统同步。由于其分数阶特性更接近于现实物理意义，因此其具有重要的 实际利用价值。

本发明通过以下技术方案实现的。

步骤(1)：根据细胞神经网格基本模型，设计整数阶三维细胞神经网络系统，并 通过调整参数使得系统具有混沌特性。

步骤(2)：选择分数阶微分定义及算法。

步骤(3)：构建分数阶同步控制系统模型。

步骤(4)：基于步骤(1)构建的整数阶三维细胞神经网络，同时结合步骤(2) 分数阶微积分理论，设计出相应的分数阶细胞神经网络系统。分别构建步骤(3)中的 分数阶细胞神经网络的驱动系统和响应系统。

步骤(5)：设计同步控制器及参数自适应调整率，在数值仿真中实现驱动和响应 系统的同步。

步骤(6)：设计步骤(4)中的分数阶细胞神经网络驱动系统和响应系统电路原理 图，同时对步骤(5)的控制器及自适应调整率实现电路仿真。

更进一步地，本发明所述的一种分数阶细胞神经网络自适应同步控制方法，其具 体步骤如下：

(S1)：根据细胞神经网格基本模型，先设计整数阶三维细胞神经网络系统，调节 状态方程中的各个参数a_j,a_jk,S_jk,(j＝1,2,3,k＝1,2,3)，使系统产出混沌现象；

$\frac{{\mathrm{dx}}_j}{dt}=-x_j+a_{j}f\left(x_j\right)+\underset{k=1,k\ne j}{\overset{3}{\Sigma }}{a}_{jk}f\left(x_k\right)+\underset{k=1}{\overset{3}{\Sigma }}{S}_{jk}{x}_k+{\tilde{I}}_j,(j=1,2,3)---\left(1\right)$

并应用MATLAB软件对设计的系统进行数值仿真，并观测其混沌特性与吸引子相图；

(S2)：对于分数阶微分的定义及算法有Cauchy积分公式、Grunwald-Letnikov分 数阶积分定义、Riemann-Liouville分数阶微分定义、Caputo定义等，本发明选择采用 Caputo定义的分数阶微积分，其数学表达式如下：

$\frac{d^{q}f\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^q}=\frac{1}{\Gamma (n-q)}{\int }_0^t\frac{f^{\left(n\right)}\left(\tau \right)}{{(t-\tau )}^{q-n+1}}d\tau ---\left(2\right)$

式中的Γ(·)为Gamma函数，n-1≤q≤n，q为分数，n为整数；

动力学系统对应的分数阶微分方程可以表示成：

$\begin{array}{c}{a}_n{D}^{v_n}F(x,y)+a_{n-1}{D}^{v_{n-1}}F(x,y)+\mathrm{...}+a_0{D}^{v_0}F(x,y)\\ =b_m{D}^{{\alpha }_m}G(x,y)+b_{m-1}{D}^{{\alpha }_{m-1}}G(x,y)+\mathrm{...}+b_0{D}^{{\alpha }_0}G(x,y)\end{array}---\left(3\right)$

其中v_n,v_n-1…v₀及α_m,α_m-1…α₀分别表示相应的分数阶阶值，a_n,…,a₀和b_m,…,b₀为实数； 式中F(x,y)为系统输入，G(x,y)为系统输出；

(S3)：构建分数阶同步控制系统模型：

$D_t^{q}X=h\left(x\right(t),t),0\le t\le T---\left(4\right)$

其中X∈Rⁿ是驱动系统的一个n维状态向量，h:Rⁿ→Rⁿ，将h拆分为线性和非线性 两部分，则驱动系统Ⅰ为：

$D_t^{q}X=g\left(x\right)+G\left(x\right)A^T---\left(5\right)$

式中：X∈R是驱动系统的状态变量，g:Rⁿ→Rⁿ为包含线性项的连续向量函数，G(x)A^T为非线性部分，G:Rⁿ→R^n×n为参数向量函数，A是驱动系统的非线性函数的参数矩阵；

相应的响应系统Ⅱ为：

$D_t^{q}Y=g\left(y\right)+G\left(y\right){\tilde{A}}^T+U---\left(6\right)$

式中的Y∈R是响应系统的状态变量，U∈Rⁿ为控制器，是驱动系统的非线性函数的 参数矩阵；

(S4)：基于步骤(S1)构建的整数阶三维细胞神经网络，同时结合步骤(S2) 分数阶微积分理论设计出相应的分数阶细胞神经网络系统，结合步骤(S3)中的式(5) 驱动系统I定义，构造该三维分数阶细胞神经网络的驱动系统方程：

$\left(\begin{array}{c}\frac{d^{q_1}{x}_1}{{\mathrm{dt}}^{q_1}}=-x_1+s_{11}{x}_1+s_{12}{x}_2+a_{11}f\left(x_1\right)+a_{12}f\left(x_2\right)\\ \frac{d^{q_2}{x}_2}{{\mathrm{dt}}^{q_2}}=-x_2+s_{21}{x}_1+s_{22}{x}_2+s_{23}{x}_3+a_{22}f\left(x_2\right)\\ \frac{d^{q_3}{x}_3}{{\mathrm{dt}}^{q_3}}=-x_3+s_{31}{x}_1+s_{32}{x}_2+s_{33}{x}_3\end{array}\right)---\left(7\right)$

式中非线性参数a₁₁,a₁₂,a₂₂均为已知值，结合步骤(S3)中的式(6)响应系统II定义，构 造三维分数阶细胞神经网络的响应系统方程：

$\left(\begin{array}{c}\frac{d^{q_1}{y}_1}{{\mathrm{dt}}^{q_1}}=-y_1+s_{11}{y}_1+s_{12}{y}_2+{\tilde{a}}_{11}f\left(y_1\right)+{\tilde{a}}_{12}f\left(y_2\right)+u_1\\ \frac{d^{q_2}{y}_2}{{\mathrm{dt}}^{q_2}}=-y_2+s_{21}{y}_1+s_{22}{y}_2+s_{23}{y}_3+{\tilde{a}}_{22}f\left(y_2\right)+u_2\\ \frac{d^{q_3}{y}_3}{{\mathrm{dt}}^{q_3}}=-y_3+s_{31}{y}_1+s_{32}{y}_2+s_{33}{y}_3+u_3\end{array}\right)---\left(8\right)$

式中非线性参数均为未知值。

(S5)：设计步骤(S3)中(6)式的同步控制器U及参数自适应调整率，利用数 学理论进行证明同步性质，并用MATLAB程序进行仿真与同步验证；

驱动和响应的误差为：

$D_t^{q}e=D_t^{q}Y-D_t^{q}X=g\left(y\right)-g\left(x\right)+G\left(y\right){\tilde{A}}^T-G\left(x\right)A^T+U---\left(9\right)$

同步控制器U：

U＝[u₁,u₂,u₃](10)

其中：$\left(\begin{array}{c}{u}_1=a_{11}f\left(x_1\right)-{\tilde{a}}_{11}f\left(y_1\right)+a_{12}f\left(x_2\right)-{\tilde{a}}_{12}f\left(y_2\right)-s_{12}{e}_2-{\tilde{e}}_{11}f\left(x_1\right)-{\tilde{e}}_{12}f\left(x_2\right)\\ u_2=-s_{21}{e}_1-s_{23}{e}_3+a_{22}f\left(x_2\right)-{\tilde{a}}_{22}f\left(y_2\right)-{\tilde{e}}_{12}f\left(x_2\right)\\ u_3=-s_{31}{e}_1-s_{32}{e}_2\end{array}\right)---\left(11\right)$

同时选取系统自适应调整律为：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{a}}}_{11}\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{a}}}_{12}\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{a}}}_{22}\end{array}\right)=G{\left(x\right)}^T{\left(\begin{array}{ccc}{e}_1& e_2& e_3\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{ccc}f\left(x_1\right)& 0& 0\\ f\left(x_2\right)& f\left(x_2\right)& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{e}_1\\ e_2\\ e_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{e}_{1}f\left(x_1\right)\\ e_{1}f\left(x_2\right)+e_{2}f\left(x_2\right)\\ 0\end{array}\right)---\left(12\right)$

其中e_i(i＝1,2,3)为驱动系统与响应系统的误差；

(S6)：设计分数阶细胞神经网络系统驱动系统(7)及响应系统(8)电路原理图， 并用Multisim设计控制器(10)及自适应调整率(12)实现电路仿真。

本发明所述的分数阶细胞神经网络自适应同步控制方法的电路设计方法，其特征 是包括以下步骤：

(SS1)根据权利要求1步骤(S1)中构建的整数阶三维细胞神经网络系统式(1)设 计出其相应的整数阶电路；

(SS2)设计在步骤(SS1)整数阶三维细胞神经网络系统电路设计中涉及到权利要求 1步骤(S1)细胞神经网络中的非线性输出函数模块；

(SS3)选择确定的分数阶值(q1＝q2＝q3＝0.95)，并设计该分数阶值对应阶值的分数 阶单元电路，包括链型、树型、混合型或新型；

(SS4)选择合适的分数阶单元电路替换步骤(SS1)中所设计整数阶电路中的电容， 得到系统相应的分数阶驱动系统电路；

(SS5)将式(10)式控制器U和式(12)式自适应调整率代入到权利要求1步骤 (S4)中的响应系统式(8)，得到响应系统为：

$\left(\begin{array}{c}\frac{d^{q_1}{y}_1}{{\mathrm{dt}}^{q_1}}=(s_{11}-1)y_1+s_{12}{x}_2+2a_{11}f\left(x_1\right)-{\tilde{a}}_{11}f\left(x_1\right)+2a_{12}f\left(x_2\right)-{\tilde{a}}_{12}f\left(x_2\right)\\ \frac{d^{q_2}{y}_2}{{\mathrm{dt}}^{q_2}}=s_{21}{x}_1+(s_{22}-1)y_2+s_{23}{x}_3+(a_{12}+a_{22})f\left(x_2\right)-{\tilde{a}}_{12}f\left(x_2\right)\\ \frac{d^{q_3}{y}_3}{{\mathrm{dt}}^{q_3}}=s_{31}{x}_1+s_{32}{x}_2+(s_{33}-1)y_3\end{array}\right)---\left(13\right)$

设计出非线性系数和的积分电路，再依照响应系统方程式(13)设计出响应 系统电路；

(SS6)对步骤(SS4)中驱动电路和步骤(SS5)中响应电路进行电路整合仿真，验证设 计系统的同步性质。

本发明的特点在于：与传统的细胞神经网络相比该系统为分数阶细胞神经网络系 统，所设计的驱动-响应同步系统中驱动系统的非线性参数已知，而响应系统的非线性 参数未知。但通过设计同步控制器及参数自适应调整率仍使该驱动-响应系统实现同步 控制。结合分数阶电路理论与多元组合电路思想，设计出了相应的同步控制电路原理 图。仿真结果表明电路仿真与数值仿真具有相似的同步相图，验证了该系统理论分析 的正确性及实际物理上的可实现性。

附图说明

图1分数阶细胞神经网络系统数值计算产生的混沌吸引子相图。(a)为变量x₁-x₂， (b)为变量x₂-x₃，(c)为变量x₁-x₃。

图2分数阶CNN自适应同步系统模型变量及误差曲线图。其中(a)为驱动和响 应变量x_i-y_i(i＝1,2,3)变化轨迹曲线图，(b)为系统模型误差e_i(i＝1,2,3)的渐近同步图。

图3分数阶CNN驱动系统(driver)电路原理图。其中(a)分数阶CNN驱动系统 (driver)电路原理图，(b)为驱动系统(driver)等效电路图。

图4分数阶CNN驱动系统电路仿真结果相图。(a)为变量x₁-x₂，(b)为变量x₂-x₃， (c)为变量x₁-x₃。

图5分数阶CNN响应系统电路原理图。

图6分数阶CNN驱动-响应系统x_i-y_i(i＝1,2,3)电路仿真结果。(a)为变量x₁-y₁，(b) 为变量x₂-y₂，(c)为变量x₃-y₃。

图7f(x)模块FX电路原理图及其仿真波形。(a)为电路原理图，(b)为电路仿真 波形，(c)为等效电路图。

图8分数阶各单元电路图。其中，(a)为链型单元电路；(b)树型单元电路；(c) 为混合型单元电路；(d)为新型单元电路。

具体实施方式

以下将结合附图对本发明作进一步详细描述。

实施例：

1、采用Caputo定义的分数阶微积分，其数学表达式如下：

$\frac{d^{q}f\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^q}=\frac{1}{\Gamma (n-q)}{\int }_0^t\frac{f^{\left(n\right)}\left(\tau \right)}{{(t-\tau )}^{q-n+1}}d\tau ---\left(13\right)$

式中的Γ(·)为Gamma函数，n-1≤q≤n，q为分数，n为整数，该式子的Laplace 变换表达式为：

$L\left\{\frac{d^{q}f\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^q}\right\}=s^{q}L\left\{f\left(t\right)\right\}-\underset{k=0}{\overset{n-1}{\Sigma }}{s}^k\left[\frac{d^{q-1-k}f\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^{q-1-k}}\right]---\left(14\right)$

若函数f(t)的初始条件为零，则式(14)可简化表示为：

$L\left\{\frac{d^{q}f\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^q}\right\}=s^{q}L\left\{f\left(t\right)\right\}---\left(15\right)$

对于一个动力学系统其对应的分数阶微分方程可以表示成：

$\begin{array}{c}{a}_n{D}^{v_n}F(x,y)+a_{n-1}{D}^{v_{n-1}}F(x,y)+\mathrm{...}+a_0{D}^{v_0}F(x,y)\\ =b_m{D}^{{\alpha }_m}G(x,y)+b_{m-1}{D}^{{\alpha }_{m-1}}G(x,y)+\mathrm{...}+b_0{D}^{{\alpha }_0}G(x,y)\end{array}---\left(16\right)$

其中v_n,v_n-1…v₀及α_m,α_m-1…α₀分别表示相应的分数阶阶值。式中F(x,y)为系统输入， G(x,y)为系统输出，假设它们均满足初始值为0的条件。对其做Laplace变换，可以得 到分数阶微分方程的传递函数为：

$H\left(s\right)=\frac{b_m{s}^{{\alpha }_m}+b_{m-1}{s}^{{\alpha }_{m-1}}+...+b_0{s}^{{\alpha }_0}}{a_n{s}^{v_n}+a_{n-1}{s}^{v_{n-1}}+...+a_0{s}^{v_0}}---\left(17\right)$

从式(17)中不难看出：可以在频域中用传递函数H(s)＝1/s^q来表示分数阶微分算子 q。

2、为了新的分数阶细胞神经网络能产生稳定的混沌现象，令系统(7)的矩阵参 数选择为：

$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}7& -1& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),S=\left(\begin{array}{ccc}{s}_{11}& s_{12}& s_{13}\\ s_{21}& s_{22}& s_{23}\\ s_{31}& s_{32}& s_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-2& 9& 0\\ 2& 1& 2\\ -3& -15& 1\end{array}\right)$

分数阶驱动系统(7)方程式变化为：

$\left(\begin{array}{c}\frac{d^{q_1}{x}_1}{{\mathrm{dt}}^{q_1}}=-3x_1+9x_2+7f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\\ \frac{d^{q_2}{x}_2}{{\mathrm{dt}}^{q_2}}=2x_1+2x_3-2f\left(x_2\right)\\ \frac{d^{q_3}{x}_3}{{\mathrm{dt}}^{q_3}}=-3x_1-15x_2\end{array}\right)---\left(18\right)$

(18)式中的三个Lyapunov指数分别为L₁＝5.0529、L₂＝-1.2626、L₃＝-1.7904，其 最大值大于零。且系统的Lyapunov维数为：

$D_L=j+\frac{1}{\left|L_{j+1}\right|}\underset{i=1}{\overset{j}{\Sigma }}{L}_i=2+\frac{L_1+L_2}{\left|L_3\right|}=4.1456$

因此该系统产生了混沌现象，同时MATLAB对设计的系统进行数值仿真并观测其 混沌特性与吸引子相图如图1所示，也表明其产生了混沌现象。

3、依照(6)式对应的分数阶响应系统为：

$\left(\begin{array}{c}\frac{d^{q_1}{y}_1}{{\mathrm{dt}}^{q_1}}=-y_1+s_{11}{y}_1+s_{12}{y}_2+{\tilde{a}}_{11}f\left(y_1\right)+{\tilde{a}}_{12}f\left(y_2\right)+u_1\\ \frac{d^{q_2}{y}_2}{{\mathrm{dt}}^{q_2}}=-y_2+s_{21}{y}_1+s_{22}{y}_2+s_{23}{y}_3+{\tilde{a}}_{22}f\left(y_2\right)+u_2\\ \frac{d^{q_3}{y}_3}{{\mathrm{dt}}^{q_3}}=-y_3+s_{31}{y}_1+s_{32}{y}_2+s_{33}{y}_3+u_3\end{array}\right)---\left(19\right)$

(19)式中非线性参数均为未知值。

3、设计同步控制器及参数自适应调整率。

同步控制器U可展开为：

$\left(\begin{array}{c}{u}_1=a_{11}f\left(x_1\right)-{\tilde{a}}_{11}f\left(y_1\right)+a_{12}f\left(x_2\right)-{\tilde{a}}_{12}f\left(y_2\right)-s_{12}{e}_2-{\tilde{e}}_{11}f\left(x_1\right)-{\tilde{e}}_{12}f\left(x_2\right)\\ u_2=-s_{21}{e}_1-s_{23}{e}_3+a_{22}f\left(x_2\right)-{\tilde{a}}_{22}f\left(y_2\right)-{\tilde{e}}_{12}f\left(x_2\right)\\ u_3=-s_{31}{e}_1-s_{32}{e}_2\end{array}\right)---\left(19\right)$

其中e_i＝y_i-x_i，

构建一个Lyapunov-krasovskii泛函函数为：

$V\left(t\right)=\frac{1}{2}{e}^{T}e+\frac{1}{2}{\tilde{e}}^T\tilde{e}=\frac{1}{2}(e_1^2+e_2^2+e_3^2)+\frac{1}{2}({\tilde{e}}_{11}^2+{\tilde{e}}_{12}^2+{\tilde{e}}_{22}^2)---\left(20\right)$

同时选取系统自适应调整律为：

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{a}}}_{11}\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{a}}}_{12}\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{a}}}_{22}\end{array}\right)=G{\left(x\right)}^T{\left(\begin{array}{ccc}{e}_1& e_2& e_3\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{ccc}f\left(x_1\right)& 0& 0\\ f\left(x_2\right)& f\left(x_2\right)& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{e}_1\\ e_2\\ e_3\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{c}{e}_{1}f\left(x_1\right)\\ e_{1}f\left(x_2\right)+e_{2}f\left(x_2\right)\\ 0\end{array}\right)\end{array}---\left(21\right)$

由理论推导可得结论：当s₁₁≤1，s₂₂≤1，s₃₃≤1时，式(20)中V'(t)≤0，即有： 成立，并且显然有V(t)≥0，故误差

因此响应系统Y与驱动系统X趋于同步，即t→∞时有，Y-X→0，

用MATLAB数值仿真结果如图2所示。

4、利用线性电阻、线性电容、运算放大器LM741及分数阶单元电路，设计分数 阶细胞神经网络驱动系统电路原理图如图3所示，并进行电路仿真，仿真结果与数值 仿真结果图1相似，仿真结果如图4所示。

5、根据自适应调整率的方程设计出非线性系数和的积分电路图，再依照响 应系统方程可设计出响应系统电路；结合驱动系统图3可设计出整体自适应同步控制 系统的电路原理图5所，并利用Multisim进行驱动-响应同步仿真，仿真结果如图6所 示

6、驱动和响应电路中涉及到细胞神经网络(1)中的非线性输出函数 模块，其运用放大器TL082CD在±18V条件下设计实现；设计的电 路图如图7所示。

7、本发明实际可实现4096种多元组合分数阶电路，为简洁起见，选取分数阶 q_i(i＝1,2,3)相同值(即q₁＝q₂＝q₃＝0.95)的链型、树型、混合型、新型四种组合。其复频域 表达式分别为：

(a)链型$H\left(s\right)=\frac{R_1}{{\mathrm{sR}}_1{C}_1+1}+\frac{R_2}{{\mathrm{sR}}_2{C}_2+1}+\frac{R_3}{{\mathrm{sR}}_3{C}_3+1};$

(b)树型$H\left(s\right)=[R_1+(R_2//\frac{1}{{\mathrm{sC}}_2})]//[\frac{1}{{\mathrm{sC}}_1}+(R_3//\frac{1}{{\mathrm{sC}}_3})];$

(c)混合型$H\left(s\right)=\left\{\right[\left(\right(R_1//\frac{1}{{\mathrm{sC}}_1})+R_2)//\frac{1}{{\mathrm{sC}}_2}]+R_3\}//\frac{1}{{\mathrm{sC}}_3};$

(d)新型$H\left(s\right)=R_1//\frac{1}{{\mathrm{sC}}_1}//[R_2+\frac{1}{{\mathrm{sC}}_2}]//[R_3+\frac{1}{{\mathrm{sC}}_3}].$

各单元电路的元件参数如表1所示，相应的电路图如图8所示。

表1分数阶各单元电路元件参数