采用序列幂函数插值方法实现结构多材料拓扑优化的方法

摘要

本发明涉及一种采用序列幂函数插值方法实现结构多材料拓扑优化的方法，属于工程结构优化设计领域。包括建立连续体结构的参数化有限元模型；基于有限元模型建立多材料拓扑优化数学模型；构造以密度为自变量的单元弹性模量和材料费用的序列幂函数插值模型；求出目标函数、弹性模量、质量函数、费用函数和单元材料费用等响应的灵敏度信息；根据Kuhn-Tucker条件导出优化准则。与已有的多材料拓扑优化方法相比，序列幂函数插值方法只需要较小的计算量就可以得到高刚度、低费用和轻量化的拓扑结构，并且计算量与所考虑的材料种类数无关。除此之外，本发明还考虑了材料费用约束，使得最后得到的结构不仅刚度大、质量轻，而且材料费用不会增加。

说明书

技术领域

本发明涉及工程结构优化设计领域，特别涉及一种采用序列幂函数插值方法实现 结构多材料拓扑优化的方法，是一种求解受质量和材料费用约束的结构多材料拓扑优化问 题的序列幂函数插值方法。

背景技术

为了在概念设计阶段得到满足性能要求的最优结构，人们对结构多材料拓扑优化 进行了深入研究，其中均匀化方法得到了广泛的应用。但已有的多材料拓扑优化方法计算 量都很大，设计变量过多以至于无法满足工程应用；同时这些方法也没有考虑材料费用的 约束。

发明内容

本发明的目的在于提供一种采用序列幂函数插值方法实现结构多材料拓扑优化 的方法，解决了现有技术存在的上述问题，提出了序列幂函数插值方法处理多材料离散变 量结构拓扑优化问题，不引入多余设计变量。用序列幂函数插值方法解决多材料拓扑优化 问题，可以实现结构的高刚度、低费用和轻量化，并且与已有的算法相比，计算量更小因而 有望应用于工程实际。

本发明的上述目的通过以下技术方案实现：

采用序列幂函数插值方法实现结构多材料拓扑优化的方法，包括步骤如下：

步骤一、建立连续体结构的参数化有限元模型；

步骤二、基于有限元模型建立多材料拓扑优化数学模型；

步骤三、构造以密度为自变量的单元弹性模量和材料费用的序列幂函数插值模 型；

步骤四、求出目标函数、弹性模量、质量函数、费用函数和单元材料费用等响应的 灵敏度信息；

步骤五、根据Kuhn-Tucker条件导出优化准则。

步骤一所述的建立连续体结构的参数化有限元模型是：结构优化设计每一次迭代 都需对结构进行有限元分析，因此，首先对优化对象进行有限元建模；将连续体结构划分有 限元网格，在单元内以节点位移u_e为未知量构造出位移插值函数，根据最小势能原理导出 单元刚度矩阵K_e，然后将单元刚度矩阵K_e集成为总体刚度矩阵K，最后建立线性静态有限元 方程Ku＝P，其中P为结构节点力向量；多材料拓扑优化就是要确定每个单元的材料匹配问 题，属于离散变量组合优化问题，该问题计算量为(m+1)ⁿ，其中m为材料的种类，该问题计算 量巨大，以至于无法求解大型工程问题；为了解决该问题，采用带惩罚的单元密度变量来参 数化表达材料的选择，从而将离散变量优化问题转化为连续变量优化问题，降低组合优化 原问题的计算量。

步骤二所述的基于有限元模型建立多材料拓扑优化数学模型是：在结构质量与材 料费用的约束下，实现结构的高刚度目标，其优化数学模型如下：

该优化数学模型以结构应变能c为目标函数，而结构应变能c是评价刚度的标量， 应变能越小，刚度越大；K,u和P分别是相应结构的有限元总体刚度矩阵，位移向量和节点力 向量；k₀和u_e分别是不含弹性模量因子的单元刚度矩阵及位移向量；ρ_e代表第e个单元的材 料密度，即拓扑优化设计变量；E_e和C_e是第e个单元的弹性模量和材料费用，由ρ_e通过相应的 插值公式得到；V_e是第e个单元的体积，二维问题中代表面积，M和C是当前所设计的结构的 质量和费用，N为设计变量的个数，同时也是单元个数，M₀和C₀是设计域内充满材料时的质 量和费用；ε_M和ε_C是给定的质量和费用系数，ρ_min是给定的最小非零密度值来避免结构刚度 矩阵的奇异性；优化数学模型增加了材料的费用约束，除了考虑多种材料弹性模量对结构 拓扑形状的影响之外，同时也考虑了材料费用对结构拓扑形状的影响。

步骤三所述的构造以密度为自变量的单元弹性模量和材料费用的序列幂函数插 值模型是：首先将所有候选材料的密度变量归一化[0,1]区间上

其中ρ_max是可选材料中密度的最大值，m是材料种类数；已建立的优化数学模型要 求结构刚度大、质量轻，因此对于弹性模量我们构造出一种下凸的幂函数

p为惩罚因子，是一个人为给定的常数；对于ρ_e∈[ρ_i,ρ_i+1]，A_E和B_E由下式给出

E_i和E_i+1分别是排序后的第i和i+1种材料的弹性模量；对于临时的中间密度，如果 迭代过程中密度稍微增大，弹性模量就会显著增大；如果密度减小，弹性模量不会显著减 小，总体效果使得结构的刚度更大而质量更小；相应地对于材料费用我们构造出一种上凸 的幂函数

C_e(ρ_e)＝A_Cρ_e^(1/ρ)+B_C，ρ_e∈[ρ_min，1]，p＞1(6)

其中对于ρ_e∈[ρ_i,ρ_i+1]，未知系数A_C和B_C由下式确定

C_i和C_i+1分别是排序后的第i和i+1种材料的费用；对于临时的中间密度，如果迭代 过程中密度稍微增大，材料费用不会显著增加；如果密度减小，材料费用会显著减小，总体 效果使得结构的刚度更大而材料费用更小；这样可以将临时的中间密度惩罚掉，使材料变 量趋于插值点处离散的候选材料；该插值方法简单高效，与已有的多材料拓扑优化方法相 比，不引入新的设计变量，所以计算量更小。另外概念简单，可应用于工程实际问题。

步骤四所述的求出目标函数、弹性模量、质量函数、费用函数和单元材料费用等响 应的灵敏度信息是：

结构的应变能c、单元弹性模量E_e、结构质量M、结构材料费用C及单元材料费用C_e都 是关于设计变量r_e的函数，它们统称为结构的响应，而响应对设计变量的导数称为响应灵 敏度；其中r_e是由设计变量组成的向量，N为单元总数；

应变能函数c的灵敏度为

上式中弹性模量E_e(ρ_e)的灵敏度为

结构质量M的灵敏度为

结构费用C的灵敏度为

上式中单元材料费用C_e(ρ_e)的灵敏度为

至此，得到了所有的灵敏度信息。

步骤五所述的根据Kuhn-Tucker条件导出优化准则是：优化数学模型的极值点对 应以下函数的驻点

其中λ_u，λ_M，λ_C，λ_e⁺和λ_e^-分别是对应平衡方程约束、质量约束、费用约束和变量边界 约束的拉格朗日乘子；最终，构造以下的迭代格式

其中n为当前迭代次数；η为阻尼系数；和是当前迭代步中设计变量的 上下界

该准则将材料费用约束C≤ε_CC₀也添加到(15)式的迭代格式中，并成功采用二分法 求解含有质量与费用两个约束的非线性方程组。目前传统方法只能采用二分法求解含有单 个质量约束的非线性方程组。

本发明的有益效果在于：相比于已有的多材料拓扑优化方法，本发明中用到的设 计变量更少，因此计算量也会减少许多。这就可以将该拓扑优化方法运用到大型结构的设 计中。另外，本发明除了考虑质量约束以外，还考虑了材料费用约束，因此最终得到的结构， 不仅刚度大、质量轻，而且材料费用不会增加。实用性强。

附图说明

此处所说明的附图用来提供对本发明的进一步理解，构成本申请的一部分，本发 明的示意性实例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。

图1为弹性模量的线性插值与幂函数插值；

图2为弹性模量的序列幂函数插值；

图3为材料费用的线性插值与幂函数插值；

图4为材料费用的序列幂函数插值；

图5为两种材料弹性模量和费用插值曲线的四种不同情况；

图6为桥梁结构拓扑优化问题；

图7为桥梁结构有限元模型；

图8为表格1中材料属性插值曲线；

图9为迭代过程；

图10为目标函数值的比较；

图11为质量分数的比较；

图12为材料费用的比较。

具体实施方式

下面结合附图进一步说明本发明的详细内容及其具体实施方式。

参见图1至图12所示，本发明的采用序列幂函数插值方法实现结构多材料拓扑优 化的方法，包括步骤如下：

步骤一、建立连续体结构的参数化有限元模型：

结构优化设计每一次迭代都需对结构进行有限元分析。因此，首先对优化对象进 行有限元建模。将连续体结构划分有限元网格，在单元内以节点位移u_e为未知量构造出位 移插值函数，根据最小势能原理导出单元刚度矩阵K_e，然后将单元刚度矩阵K_e集成为总体刚 度矩阵K，最后建立线性静态有限元方程Ku＝P，其中P为结构节点力向量。多材料拓扑优化 就是要确定每个单元的材料匹配问题，属于离散变量组合优化问题，该问题计算量为(m+1 )ⁿ，其中m为材料的种类，该问题计算量巨大，以至于无法求解大型工程问题。为了解决该问 题，采用带惩罚的单元密度变量来参数化表达材料的选择，从而将离散变量优化问题转化 为连续变量优化问题，降低组合优化原问题的计算量。

步骤二、基于有限元模型建立多材料拓扑优化数学模型：

在结构质量与材料费用的约束下，实现结构的高刚度目标，其优化模型如下：

其中c称为结构应变能，是评价结构刚度的标量，应变能越小，代表结构刚度越大； K,u

和P分别是相应结构的有限元总体刚度矩阵，位移向量和节点力向量；k₀和u_e分别 是不含弹性模量因子的单元刚度矩阵及位移向量；ρ_e代表第e个单元的材料密度，也即拓扑 优化设计变量；E_e和C_e是第e个单元的弹性模量和材料费用，由ρ_e通过相应的插值公式得到； V_e是第e个单元的体积(二维问题中代表面积)，M和C是当前所设计的结构的质量和费用，N 为设计变量的个数(同时也是单元个数)，M₀和C₀是设计域内充满材料时的质量和费用；ε_M和 ε_C是给定的质量和费用系数，ρ_min是给定的最小非零密度值来避免结构刚度矩阵的奇异性。

步骤三、构造以密度为自变量的单元弹性模量和材料费用的序列幂函数插值模 型：

在我们给出的方法中，首先将所有候选材料的密度变量归一化[0,1]区间上

其中ρ_max是可选材料中密度的最大值，m是材料种类数。分析待解决问题的特性，目 标函数和约束要求结构质量轻、刚度大，因此对于弹性模量我们构造出一种下凸的幂函数， 对于临时的中间密度，如果迭代过程中密度稍微增大，弹性模量就会显著增大；如果密度减 小，弹性模量不会显著减小，总体效果使得结构的刚度更大而质量更小，这样可以把临时的 中间密度惩罚掉。图1显示出弹性模量线性插值与幂函数插值的区别。

p为惩罚因子，是一个人为给定的常数。对于ρ_e∈[ρ_i,ρ_i+1]，A_E和B_E由下式给出

E_i和E_i+1分别是排序后的第i和i+1种材料的弹性模量。现假设有三种候选材料，则 弹性模量的序列幂函数插值曲线如图2所示。

同样，目标函数和约束的性质要求结构的刚度大、费用低。因此对于材料费用我们 构造出一种上凸的幂函数，对于临时的中间密度，如果迭代过程中密度稍微增大，材料费用 不会显著增加；如果密度减小，材料费用会显著减小，总体效果使得结构的刚度更大而材料 费用更小。图3显示出材料费用线性插值与幂函数插值的区别

C_e(ρ_e)＝A_Cρ_e^(1/p)+B_C,ρ_e∈[ρ_min,1],p>1(22)

其中对于ρ_e∈[ρ_i,ρ_i+1]，未知系数A_C和B_C由下式确定

C_i和C_i+1分别是排序后的第i和i+1种材料的费用。同样假设有三种候选材料，则费 用的序列幂函数插值曲线如图4所示。

更一般的，许多插值函数为非单调增函数的材料也常常会用于结构中。例如，一种 由铁和铝制成的管件经常被用于客车的刚架结构。而由于铁的密度和弹性模量都相应的比 铝大，但费用却比铝低，因此此种情况属于下列四种情况中的第(3)种。这四种情况为：(1) dE_e/dρ_e≥0和dC_e/dρ_e≥0，(2)dE_e/dρ_e<0和dC_e/dρ_e<0，(3)dE_e/dρ_e≥0和dC_e/dρ_e<0，(4)dE_e/dρ_e<0和dC_e/dρ_e≥0，如图5所示。在第(4)种情况中，材料2完全可由材料1代替，因为材料1相比 于材料2，其密度更小而弹性模量和价格都更优。这种情况下，我们说材料2应该从可选材料 中除去。

步骤四、求出目标函数、弹性模量、质量函数、费用函数和单元材料费用等响应的 灵敏度信息：

结构的应变能c、单元弹性模量(E_e)、结构质量(M)、结构材料费用(C)及单元材料 费用(C_e)都是关于设计变量r_e的函数，它们统称为结构的响应，而响应对设计变量的导数称 为响应灵敏度。其中r_e是由设计变量组成的向量，N为单元总数。

应变能函数c的灵敏度为

上式中弹性模量E_e(ρ_e)的灵敏度为

结构质量M的灵敏度为

$\frac{\partial M}{\partial {\rho }_e}=V_e---\left(27\right)$

结构费用C的灵敏度为

上式中单元材料费用C_e(ρ_e)的灵敏度为

至此，我们得到了所有的灵敏度信息。

步骤五、根据Kuhn-Tucker条件导出优化准则。

为了求得多材料拓扑优化数学模型的极值(也就是最优解)，我们利用Kuhn- Tucker条件构造优化准则。这个数学模型的极值点对应以下函数的驻点

其中λ_u，λ_M，λ_C，λ_e⁺和λ_e^-分别是对应平衡方程约束、质量约束、费用约束和变量边界 约束的拉格朗日乘子。由多元函数取得极值的必要条件，可得以下方程

如果变量边界条件约束不起作用(ρ_min<ρ_e<1)，则相应的拉格朗日乘子为零，上述 方程简化为

进一步将方程改写为以下形式

上式表明如果有ρ_min<ρ_e<1，使得B_e＝1，则得到最优解。因此，我们构造以下的迭代 准则

其中n为当前迭代次数；η为阻尼系数；和是当前迭代步中设计变量的 上下界

move⁽ⁿ⁾是与迭代次数有关的正的移动限，表示为

move⁽ⁿ⁾＝min(αⁿmove⁽⁰⁾,m_min)(36)

而move⁽⁰⁾、a、m_min可通过经验人为确定。在下面的例子中，初始移动限move⁽⁰⁾＝ 0.15，比例系数α＝0.96，最小移动限m_min＝0.001。选取小的初始移动限，小的最小移动限和 大的比例系数可以提高迭代的精度，但相应地降低了效率。

方程中的B_e必须为正，而它的符号由dE_e/dρ_e和dC_e/dρ_e确定。因此，对于图5中三种 不同材料的插值情况，可以采用以下迭代格式

情况1：B_e≥0

情况2：如果B_e≥0

否则

情况3：如果B_e≥0

否则

方程中拉格朗日乘子λ_M，λ_C为正，表示满足了方程中的质量和费用约束。

先给定一组初始设计按照以上迭代格式逐步计算，直到求得满足收 敛准则的最优解。

以下给出一个算例验证本方法的有效性。

我们用本发明求解图6所示桥梁结构的多材料拓扑优化问题。首先，将基结构沿水 平和竖直方向用100×50个四边形单元划分，如图7所示。这里考虑三种虚构材料，材料属性 由表格1给出

表格1

弹性模量和材料费用的插值曲线如图8所示。我们考虑以下几种材料的组合情况： (a)A,B和C；(b)B和C；(c)A和C；(d)C。(a)-(c)情形可由上述方法求解，(d)由经典SIMP法求 解。质量分数ε_M＝0.4，费用约束ε_C＝0.3。所有情况下，质量和费用约束在迭代过程中始终得 到满足。使用A，B和C三种材料的情况下，得到最小的目标函数值232.7。与此相反，只使用材 料C所得的目标函数值最大，为277.0。图9给出具体的迭代过程。

图10、图11和图12分别显示出随迭代次数的增加，目标函数值、质量分数和费用分 数的变化规律。这显示出同时受质量和费用约束的拓扑优化问题，相比于只受质量约束的 问题，有更强的非线性。三幅图中曲线的收敛过程吻合得很好。以材料C的曲线为例，其质量 分数和费用分数在进行第65步迭代时突然减少，同时其目标函数值显著增加。这显示出方 程中动态的移动限可以有效地减小目标函数和约束的波动。

本发明为解决多材料拓扑优化问题提出了不增加设计变量的序列幂函数插值方 法。在求解多材料拓扑优化问题中同时考虑了质量和费用约束，通过由Kuhn-Tucker条件导 出的最优化准则求解。由于上述方法在选择材料时不依赖多余变量，其计算代价和考虑的 材料数目无关。本发明所给算例表明，该方法能够有效解决多材料拓扑优化问题而计算量 不会大幅增加。同时，此例还显示了同时考虑弹性模量和费用的约束时刚度-密度之比(E/ ρ)很低而费用-密度之比(C/ρ)很高的材料也可能在多材料拓扑优化中发挥重要作用。

以上所述仅为本发明的优选实例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术 人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡对本发明所作的任何修改、等同替换、改进等， 均应包含在本发明的保护范围之内。