利用基于一致性分布式处理估计电网中的最优潮流的方法

摘要

利用基于一致性分布式处理估计电网中的最优潮流的方法。一种估计电网中的最优潮流OPF的方法，所述电网被表示成图形，所述图形被分割为虚拟子图形，各个虚拟子图形包括至少一个母线并且与代理关联，所述代理测量局部变量并且更新一致性变量CV。利用代理交换并更新相邻虚拟子图形的一致性变量。利用代理基于CV和局部变量针对虚拟子图形求解OPF问题。迭代所述交换和所述求解步骤，直至满足终止条件为止，此时针对各个虚拟子图形输出最优OPF。

说明书

技术领域

本发明总体上涉及电网，更具体地讲，涉及利用分布式处理估计电网中的潮流。

背景技术

电力网经由传输线和变电站从发电机向消费者(负载)分配电力。最优潮流(OPF) 是在电网运行中要求解的关键问题。在发电限制、电压限制和传输线路热限制的约束 下，OPF问题的解估计有功和无功发电以及电网中的母线的电压以使发电成本最小 化。OPF对电网的可靠运行很关键。

OPF难以求解，因为该问题是非凸和非线性的。通常，由于相邻母线的电压之间 的二次关系，非凸性难以确保全局最优解。OPF是在发电、所有母线中的电压以及传 输线路热限制方面具有大量决策变量和约束的大规模优化问题。对于实际实现，需要 降低求解该问题的计算复杂性。

实践中，通过用DC潮流问题(线性规划问题)近似AC潮流问题来避免求解 OPF的困难。这种近似具有输电网可接受的精度水平，并且被许多独立系统运营商 (ISO)使用。然而，DC潮流解对于配电网而言不够精确，无法满足智能电网的要 求(包括可再生能源、分布式发电和存储)。

另一方法基于半正定规划(SDP)松弛使用ACOPF问题的全局最优解。即使在 多个情况下可应对该问题的非凸性，但是集中式方法仍无法满足现代电网的要求。由 于连接到电网的不同的、时变的并且易失性的负载和存储，集中式OPF问题的解应 当反映电网的任何显著改变。

为了满足电网运行的实时要求，通常诸如区域输电运营商(RTO)和ISO的发电 商每五分钟求解一次OPF问题。结果，大规模OPF问题需要集中式方法无法提供的 效率和精度。

因此，大规模OPF问题的可扩展、快速求解使用分布式方法，其中OPF问题被 分割为多个小规模子问题。各个子问题通过具有代理至代理通信能力的单个代理作为 计算实体来求解。代理根据通信协议交换数据。因此，所有代理合作地以分布式方式 参与求解OPF问题。

在一个分布式方法中，电网被分割为极大团，参见Lam等人的“Distributed algorithmsforoptimalpowerflowproblem”(IEEE第51届决策和控制(CDC)年会， 第430–437页，2012年)。该方法利用松弛的半正定规划(SDP)求解OPF问题，以 凸化(即，近似)该问题。在问题的SDP松弛之后，该方法使用交替方向乘子法 (ADMM)来以分布式方式求解凸化问题。凸化方法在收敛时无法确保提供最优潮 流问题的可行点。

在另一方法中，各个母线被当作单独的代理，其维持相邻母线的电压的估计，并 且通过使发电的局部成本和估计误差最小化来构造约化OPF问题，参见Dall’Anese 等人的“Distributedoptimalpowerflowforsmartmicrogrids”(IEEE智能电网会刊，第 4卷，第3期，第1464–1475页，2013年)。对各个代理的局部等式约束是各个母线 的功率平衡方程，其中其它母线的电压变量由估计取代。当方法达到可行解时，所述 估计收敛于真值。该方法还使用SDP松弛，然后使用对偶算法来进行分布式优化， 其也无法确保OPF问题的可行点。

另外，所述方法仅考虑电网作为树建模的情况，并且那两种方法均使用极大团分 解。在这两种方法中，用于表示电网的图形(graph)限于树结构，所述图形被分解 为极大团。早前的图形和团中的节点和边缘仅表示电网的真实物理组件(例如，实际 母线和传输线路)。

发明内容

本发明的实施方式提供了一种利用基于一致性(consensus)的分布式处理来估计 电网中的最优潮流(OPF)的方法。该方法由代理执行，其中各个代理与电网的至少 一条母线关联。各个代理与局部变量和一致性变量关联，所述一致性变量是各个局部 变量的估计。

局部变量表示：其电压和功率变量；以及其邻近代理的电压和功率变量的估计。 局部变量由代理利用局部优化问题来计算，所述局部优化问题使母线处的发电成本以 及局部变量相对于其一致性变量的偏差最小化。所述优化问题受到局部功率平衡约 束，其表示连接代理与其邻居的线路上的潮流。

各个代理向其邻近代理通信：(i)其电压和功率以及(ii)其邻近代理的电压和功率 的一致性变量。各个代理应用一致性滤波器以更新其一致性变量。优化和通信的处理 被重复，直至各个代理的局部变量和一致性变量收敛于容限内。

所述方法将电网表示成图形，所述图形被分割为虚拟子图形。与现有技术不同， 子图形的顶点(也被称作节点)无需表示真实物理组件(即，与真实物理发电机关联 的母线和真实负载)。也就是说，所述分割步骤可从真实组件生成虚拟组件，即，虚 拟发电机或虚拟负载。这有利于求解例如单个发电机连接到多个负载等时的OPF问 题(其无法通过其它方法来处理)。

所述方法可使用两个不同的实施方式。在一个实施方式中，各个虚拟子图形仅包 括与一个代理关联的一个母线。所述代理共享电压并且估计通过传输线路连接的邻近 母线的电压。

在另一实施方式中，虚拟子图形包括至少两个母线，各个虚拟子图形与一个代理 关联。仅针对连接虚拟子图形的母线估计潮流。

附图说明

图1A是根据本发明的实施方式的电网中的母线和关联的代理的框图；

图1B是根据本发明的实施方式的利用基于一致性的分布式处理来估计电网中的 最优潮流(OPF)的方法的框图；

图1C是根据本发明的实施方式的具有三个发电机并且分割为两个虚拟子图形的 网络的框图；

图2是根据本发明的实施方式的具有两个发电机和一个负载网络并且利用虚拟 发电机和虚拟负载分割为两个虚拟子图形的网络的框图；

图3是根据本发明的实施方式的具有两个发电机和一个负载网络并且利用两个 虚拟负载分割为两个虚拟子图形的网络的框图；

图4是根据本发明的实施方式的具有一个发电机和两个负载并且利用虚拟负载 和虚拟发电机分割为两个虚拟子图形的网络的框图；

图5是根据本发明的实施方式的求解分散式OPF问题的一般情况的框图，其利 用虚拟子图形方法将各个虚拟子图形与局部子OPF问题关联；以及

图6是根据本发明的实施方式的求解分散式OPF问题的具体情况的框图，其利 用直接方法将各个母线与局部子OPF问题关联。

具体实施方式

本发明的实施方式提供了一种利用基于一致性的分布式处理用于电网中的最优 潮流(OPF)的方法。

电网表示

如图1B所示，我们将电网建模成图形50，其中顶点集包括电网中的 所有母线，顶点之间的链路ε是连接母线的高架或地下传输线路。

各个母线可连接到发电机或负载。连接到发电机的母线集合被表示成 为了方便，连接到发电机的母线被称为发电机母线。没有任何发电机的 母线被称为负载母线。我们使用i～j来表示母线i连接到母线j。

母线i处的有功和无功发电功率被表示成和母线i处的功率需求被表示 成母线i处的复数电压被表示成V_i＝e_i+jf_i，其中e_i是电压的实部(Re)， f_i是虚部(Im)，为了简单，我们将e_i和f_i统称为V_i。我们将母线i的接地 导纳表示成y_ii。我们将母线i和j之间的线路导纳表示成y_ij。导纳是复数 y_ij＝g_ij+jb_ij。如果则y_ij＝0。

最优潮流(OPF)问题

所有母线的OPF问题可被表示成

使得

以及(4)

其中，成本函数F_i可被表示成二次方程

$F_i\left(P_i^G\right)=c_{2,i}{\left(P_i^G\right)}^2+c_{1,i}{P}_i^G,$

其中c_1，i、c_2，i是预定正常数。

方程(2)和(3)是母线i的真实无功功率平衡方程。方程(4)中的不等式是电压大小 的上下界。方程(5)中的不等式是真实无功发电功率的界。

OPF的非凸性来自功率平衡方程(2)和(3)中的电压之间的二次关系。这使得难以 求解OPF问题。另外，电网中的母线的数量对于以集中方式求解OPF而言常常过大。

因此，我们在方程(1)中描述求解OPF问题的分布式方法。我们的方法具有两个 变体。在一个实施方式中，各个母线与一个代理关联。在另一实施方式中，电网的图 形表示被分割为虚拟子图形，各个虚拟子图形具有一个母线并且与一个代理关联。然 而，我们需要指出的是，与现有技术不同，我们仍直接求解非凸问题。另外，代替使 用ADMM来求解该问题，我们使用包括惩罚的规划。

基于一致性的分布式潮流估计的直接方法

如图1A所示，对于一个实施方式，电网中的各个母线10与一个代理15关联。 在下述的另一实施方式中，代理与两个或更多母线关联。

各个代理包括计算和通信能力。例如，代理可包括连接到存储器21、输入/输出 (I/O)接口22和收发器23的处理器20。该处理器可以是多核处理器、微处理器、 并行处理器等。

图1B示出利用基于一致性的分布式处理来估计电网中的最优潮流(OPF)的一 般方法的框图。

由图形50表示的电网被分割(55)成虚拟子图形60。各个虚拟子图形至 少包括母线10。代理15与虚拟子图形60关联(70)。图形和子图形可被存储在存储 器中。

代理测量(80)局部变量82并且利用处理器和I/O接口来更新(85)虚拟子图 形中的一致性变量。

局部变量包括电压和功率变量。如果代理母线的母线以及与所述母线相邻的那些 母线，则局部变量的一致性变量也由代理存储。局部变量受到虚拟子图形中的功率平 衡约束。利用惩罚函数客观地对局部变量相对于一致性变量的偏差进行惩罚。所述变 量可被存储在存储器中。

代理利用收发器在虚拟子图形60之间交换(85)局部变量。通过应用一致性滤 波器86来更新一致性变量。

利用代理基于局部变量和更新的一致性变量求解(90)子图形的OPF问题。交 换、更新和求解迭代，直至满足终止条件，输出虚拟子图形的最优OPF95。

为了描述简单，我们不在代理15与母线10之间进行区分，除非特别需要如此做。

我们将OPF问题规划为多个子问题，各个子问题由对应代理求解。为了简单， 我们假设所有母线均连接到发电机，即，对于各个母线i，我们规划OPF 的局部子问题。母线i处的局部决策变量为需要指出的是，如方程(2) 和(3)中所表示的，母线i与相邻母线j之间存在功率平衡方程中的电压的约束耦合。 因此，在求解最优问题时，母线i估计相邻母线j的电压，其被表示为e_j(i)，f_j(i)。电 压V_j(i)＝e_j(i)+jf_j(i)表示由母线i估计的母线j～i的复数电压。所述估计用于取代 母线i的功率平衡方程中的母线j的真实电压。那些估计也是母线i的决策变量的部 分。

局部OPF问题

母线i的局部OPF问题可被如下表示。

$\underset{P_i^G,Q_i^G,e_i,f_i,e_{j\left(i\right)},f_{j\left(i\right)}}{\min }{c}_{i,2}{\left(P_i^G\right)}^2+c_{i,1}{P}_i^G,---\left(6\right)$

$\underset{‾}{V_i}\le e_i^2+f_i^2\le {\bar{V}}_i,---\left(9\right)$

以及(11)

其中方程(12)中的约束确保在母线i处形成的母线j的电压的估计与真值V_j一致。

为了求解方程(6)中的局部OPF问题，各个母线i使发电成本最小化，并且估计 的e_j(i),f_j(i)遵循真实电压e_j，f_j，即，满足方程(12)中的约束。发电成本被包括在方程 (6)中的局部OPF问题中。

估计的一致性方法

对于各对真实局部电压e_j(i)、f_j(i)，母线i维持一对一致性变量并 且通过应用以下一致性滤波器来利用从母线j获得的e_j，f_j的真实局部值更新这些变 量：

${\hat{e}}_{j\left(i\right)}(k+1)={\hat{e}}_{j\left(i\right)}\left(k\right)+\gamma \left(e_j\right(k)-{\hat{e}}_{j\left(i\right)}(k\left)\right),---\left(13\right)$

${\hat{f}}_{j\left(i\right)}(k+1)={\hat{f}}_{j\left(i\right)}\left(k\right)+\gamma \left(f_j\right(k)-{\hat{f}}_{j\left(i\right)}(k\left)\right),$并且

其中，0＜γ＜1是一致性增益。

即，在(k+1)迭代更新的一致性变量的值的估计是(k)迭代的先前值的估计与(先 前真实值与先前估计值之间)的差乘以一致性增益之和。

在我们的方法中，估计(例如，e_j(i)和f_j(i))未直接被来自其它母线的真值(例 如，e_j，f_j)取代。相反，所述值通过一致性滤波器。一致性变量在该滤波器中可被 视为中间变量，并且用于在局部优化中更新估计。

母线i和j在各个迭代k交换真实电压及其一致性变量。换言之，母线i接收真实 电压e_j(k)，f_j(k)和一致性变量并且与相邻母线交换电压e_i(k)，f_i(k)和 一致性变量由于交换仅发生在相邻母线之间，所以与需要获取来自每一 个母线的所有数据并且由单个处理中心处理的集中式方法相比，通信开销的额外负担 很小。

局部优化问题

为了使发电成本和估计误差二者最小化，重新规划方程(6)中的局部优化问题。 对于母线局部优化问题被表示为

$\begin{array}{c}i.\underset{P_i^G,Q_i^G,e_i,f_i,e_{j\left(i\right)},f_{j\left(i\right)}}{\min }{F}_i\left(P_i^G\right)\\ +{\rho }_i{\Sigma }_{i~j}\left(\right||e_{j\left(i\right)}-{\hat{e}}_{j\left(i\right)}|{|}^2+\left|\right|f_{j\left(i\right)}-{\hat{f}}_{j\left(i\right)}|{|}^2+||e_i-{\hat{e}}_{i\left(j\right)}|{|}^2+\left|\right|f_i-{\hat{f}}_{i\left(j\right)}\left|{|}^2\right),\end{array}---\left(14\right)$

$\underset{‾}{V_i}\le e_i^2+f_i^2\le {\bar{V}}_i,$以及(17)

其中ρ_i＞0是以较高优先级确保估计误差被最小化的大的正惩罚因子。这是必 要的，因为在没有这种惩罚的情况下，各个母线可基于有偏估计集合来自私地使它自 己的发电成本最小化。

方程(14)中的问题的决策变量仅与母线i和相邻母线有关，因此该问题是具有相 对较小规模的局部非线性优化问题。可利用非线性规划求解器来有效地求解该问题， 例如内点优化器(IPOPT)或者“寻找约束非线性多元函数的最小值”(fmincon)。

我们可将母线i的分布式估计方法总结如下。

(1)初始化变量：

e_i(0)，f_i(0)，e_j(i)(0)，f_j(i)(0)，

(2)在迭代k+1，如果满足终止条件，则结束。否则，各个代理与相邻母线j～i交 换变量e_i(k)，f_i(k)，

(3)如方程(13)中那样更新一致性变量

(4)通过求解方程(14)中的优化问题来更新决策变量，即，

$\begin{array}{c}{P}_i^G(k+1),Q_i^G(k+1),e_i(k+1),f_i(k+1),e_{j\left(i\right)}(k+1),f_j\left(i\right)(k+1)=\\ {\mathrm{argminF}}_i\left(P_i^G\right(k\left)\right)+{\rho }_i{\Sigma }_{i~j}\left(\right||e_{j\left(i\right)\left(k\right)}-{\hat{e}}_{j\left(i\right)\left(k\right)}|{|}^2+\left|\right|f_{j\left(i\right)\left(k\right)}-{\hat{f}}_{j\left(i\right)\left(k\right)}|{|}^2\\ +\left|\right|e_i\left(k\right)-{\hat{e}}_{i\left(j\right)}\left(k\right)|{|}^2+||f_i\left(k\right)-{\hat{f}}_{i\left(j\right)}\left(k\right)|{|}^2).\end{array}---\left(19\right)$

然后，进行到步骤(2)。

在另一实施方式中，局部优化问题的目标函数中的惩罚可利用1范数来规划成

$F_i\left(P_i^G\right)+{\rho }_i{\Sigma }_{i~j}\left(\right|e_{j\left(i\right)}-{\hat{e}}_{j\left(i\right)}|+|f_{j\left(i\right)}-{\hat{f}}_{j\left(i\right)}|+|e_i-{\hat{e}}_{i\left(j\right)}|+|f_i-{\hat{f}}_{i\left(j\right)}\left|\right),$

此方法非常适用于求解所有母线均为发电机母线的情况。然而，对于具有负载母 线的电网，该方法可对初始值敏感，并且常常对负载母线具有稳态估计误差。此问题 是由于负载母线中缺少自由度导致的。为了解决此问题，我们对虚拟子图形使用一致 性滤波。

基于虚拟子图形的类一致性分布式优化方法

此实施方式求解电网中存在负载母线时的问题。我们将电网分割为虚拟子图形。 在一个实施方式中，各个虚拟子图形与两个母线之间的潮流有关。虚拟子图形与代理 关联，该代理按照与上述直接方法相似的方式执行分布式方法。

虚拟子图形

图1C示出图形101，其具有分别通过线105和106连接的母线i111、母线j和 母线j′。分割55将图形101分成虚拟子图形102和103。即，真实母线i被分成两个 虚拟母线，例如，母线i₁和母线i₂121。虚拟组件被示出为虚线。如果母线i111是发 电机母线，母线j是负载母线，则虚拟子图形与从母线i至母线j的潮流有关，其中 母线i与母线j之间的潮流以及母线i与母线j′之间的潮流根据两个虚拟子图形102 和103进行连接。

存在三种类型的虚拟子图形：

情况1：一个发电机母线和一个负载母线；

情况2：两个发电机母线；以及

情况3：两个负载母线。

(1)一个发电机母线和一个负载母线

$P_{i|(i,j)}^G-P_{i(i,j)}^D=\mathrm{Re}\left\{\right|V_{i|(i.j)}{|}^2{y}_{ii}^{*}/N_i+V_{i|(i,j)}{y}_{ij}^{*}{(V_{i|(i,j)}-V_{j|(i,j)})}^{*}\},---\left(20\right)$

$Q_{i|(i,j)}^G-Q_{i|(i,j)}^D=\mathrm{Im}\left\{\right|V_{i|(i,j)}{|}^2{y}_{ii}^{*}/N_i+V_{i|(i,j)}{y}_{ij}^{*}{(V_{i|(i,j)}-V_{j|(i,j)})}^{*}\},---\left(21\right)$

$-P_{j|(i,j)}^D=\mathrm{Re}\left\{\right|V_{j|(i,j)}{|}^2{y}_{jj}^{*}/N_j+V_{i|(i,j)}{y}_{ij}^{*}{(V_{i|(i,j)}-V_{j|(i,j)})}^{*}\},$以及(22)

$-Q_{j|(i,j)}^D=\mathrm{Im}\left\{\right|V_{j|(i,j)}{|}^2{y}_{jj}^{*}/N_j+V_{i|(i,j)}{y}_{ij}^{*}{(V_{i|(i,j)}-V_{j|(i,j)})}^{*}\},---\left(23\right)$

其中N_i是母线i的相邻母线的数量。需要指出的是，功率项和电压 V_i|(i，j)，V_j|(i，j)是由虚拟子图形维持的局部变量。具体地讲，电压V_i|(i，j)是由虚拟子图 形(i，j)估计的母线i的电压。该电压仅是估计，因为另一虚拟子图形也可包括母线i 并且确定它自己的估计。为了确保相同变量的一致性估计，对变量强加以下条件。

${\Sigma }_{j~i}{P}_{i|(i,j)}^G=P_i^G,{\Sigma }_{j~i}{Q}_{i|(i,j)}^G=Q_i^G,---\left(24\right)$

${\Sigma }_{i~j}{P}_{i|(i,j)}^D=P_i^D,{\Sigma }_{i~j}{Q}_{i|(i,j)}^D=Q_i^D,$以及(25)

$V_{i|(i,j)}=V_i,V_{j|(i,j)}=V_j,\forall j~i.---\left(26\right)$

功率的局部变量(例如，)可被解释为在虚拟子图形(i，j)的分支 流中所涉及的那部分功率。换言之，我们将真实发电或负载分割为多个部分，并且将 各个部分指派给不同的虚拟子图形。因此，如方程(24)中的条件所强制的，那些局部 变量(例如，发电功率)之和必须等于母线i处的发电的真实值。

(2)两个发电机母线

发电机母线也可具有直接附接的负载。因此，灵活的是将发电机母线建模成虚拟 子图形中的负载母线或发电机母线。建模可针对各种情况而不同。在具有彼此连接的 两个发电机母线的虚拟子图形的情况下，考虑两种情况。

在第一种情况中，发电机母线没有足够的功率来支持连接的负载或者相邻虚拟子 图形中的负载母线。在这种情况下，该发电机母线可被建模成具有供应所需功率的另 一发电机母线(其也被建模成包括所述负载的虚拟子图形中的发电机母线)的虚拟子 图形中的负载母线。

对于两个发电机母线i₁和i₂，我们可假设潮流从母线i₁至母线i₂。因此，我们将 母线i₂建模成负载母线。流方程可被表示成

$\begin{array}{c}{P}_{i_1|(i_1,i_2)}^G-P_{i_1|(i_1,i_2)}^D=\mathrm{Re}\left\{\right|V_{i_1|(i_1,i_2)}{|}^2{y}_{i_1,i_1}^{*}/N_{i_1|(i_1,i_2)}{y}_{i_1,i_2}^{*}(V_{i_1|i_1,i_2)}-\\ V_{i_2|(i_2,i_2)}{)}^{*}\},\end{array}---\left(27\right)$

$\begin{array}{c}{Q}_{i_1|(i_1,i_2)}^G-Q_{i_1|(i_1,i_2)}^D=\mathrm{Im}\left\{\right|V_{i_1|(i_1,i_2)}{|}^2{y}_{i_1,i_1}^{*}/N_{i_1}+V_{i_1|(i_1,i_2)}{y}_{i_1,i_2}^{*}(V_{i_1|(i_1,i_2)}-\\ V_{i_2|(i_1,i_2)}{)}^{*}\},\end{array}---\left(28\right)$

$-P_{i_2|(i_1,i_2)}^D=\mathrm{Re}\left\{\right|V_{i_2|(i_1,i_2)}{|}^2{y}_{i_2,i_2}^{*}/N_{i_2}+j\left\{V_{i_2|(i_1,i_2)}{y}_{i_2,i_1}^{*}{(V_{i_2|(i_1,i_2)}-V_{i_1|(i_1,i_2)})}^{*}\right\},---\left(29\right)$

$-Q_{i_2|(i_1,i_2)}^D=\mathrm{Im}\left\{\right\{|V_{i_2|(i_1,i_2)}{|}^2{y}_{i_2,i_2}^{*}/N_{i_2}+V_{i_2|(i_1,i_2)}{y}_{i_2,i_1}^{*}{(V_{i_2|(i_1,i_2)}-V_{i_1|(i_1,i_2)})}^{*}\}.---\left(30\right)$

需要指出的是，母线i₂的负载可被视为消耗来自母线i₂的潮流的虚拟 负载。这意味着的值可超过真实负载这发生在电网超过母线j的部分 可能需要通过母线i₂供应的母线i₁的功率时。为了一致性，母线i₂还必须在其它虚拟 子图形中作为发电机母线出现。

图2示出图形210，其表示包括发电机母线i₁201、发电机母线i₂202和负载母 线j203的电网。我们使用圆圈来表示发电机母线，正方形表示负载母线。图形210 被分割(55)成两个虚拟子图形211和212。然后，在虚拟子图形212中，则看到母 线i₂连接到虚拟负载221，真实无功功率被定义为在虚拟子 图形212中，则看到母线i₂连接到虚拟发电机222。

因此，在虚拟子图形(i₂，j)212中，存在与虚拟发电机222关联的虚拟发电功率 项$P_{v,i_2|(i_1,i_2)}^G,Q_{v,i_2|(i_1,i_2)}^G,$使得$P_{v,i_2|i_1,i_2}^G=P_{v,i_2|(i_1,i_2)}^D$并且$Q_{v,i_2|i_1,i_2}^G=Q_{v,i_2|(i_1,i_2)}^D.$

图2示出具有两个发电机母线的虚拟子图形的示例。在第一种情况下，虚拟子图 形(i₂，j)的功率平衡方程可被表示成

$\begin{array}{c}{P}_{i_2(i_2,j)}^G+P_{v,i_2|(i_2,j)}^G-P_{i_2|(i_2,i_2)}^D=\mathrm{Re}\left\{\right|V_{i_2|(i_2,j)}{|}^2{y}_{i_2,i_2}^{*}/N_{i_2}+V_{i_2|(i_2,j)}{y}_{i_2,j}^{*}(V_{i_2|i_2,j)}-\\ V_{j|(i_2,j)}{)}^{*}\},\end{array}---\left(31\right)$

$\begin{array}{c}{Q}_{i_2|(i_2,j)}^G+Q_{v,i_2|(i_2,j)}^G-Q_{i_2|(i_2,j)}^D=\\ \mathrm{Im}\left\{\right|V_{i_2|(i_2,j)}{|}^2{y}_{i_2,i_2}^{*}/N_{i_2}+V_{i_2|(i_2,j)}{y}_{i_2,j}^{*}{(V_{i_2|(i_2,j)}-V_{j|(i_2,j)})}^{*}\},\end{array}---\left(32\right)$

$-P_{j|(i_2,j)}^D=\mathrm{Re}\left\{\right|V_{j|(i_2,j)}{|}^2{y}_{j,j}^{*}/N_j+V_{j|(i_2,j)}{y}_{j,i_2}^{*}{(V_{j|(i_2,j)}-V_{i_2|(i_2,j)})}^{*}\},---\left(33\right)$

$-Q_{j|(i_2,j)}^D=\mathrm{Im}\left\{\right|V_{j|(i_2,j)}{|}^2{y}_{j,j}^{*}/N_j+V_{j|(i_2,j)}{y}_{j,i_2}^{*}{(V_{j|(i_2,j)}-V_{i_2|(i_2,j)})}^{*}\}.---\left(34\right)$

图3上所示的第二种情况是两个发电机母线共享母线之一的负载，使得母线i₁301和母线i₂302向母线j303处的负载供应功率。在这种情况下，虚拟子图形可通 过将母线i₂302视为虚拟子图形(i₁，i₂)311中的负载母线来形成，其中母线i₂321 处的负载部分被定义为使得剩余负载可出现在其它虚拟子图形中， 其中母线i₂被视为发电机母线324。

(3)两个负载母线

对于包含两个负载母线j₁402和j₂403的虚拟子图形，潮流从母线j₁至母线j₂。 我们假设存在连接到母线j₁422的虚拟发电机，其供应功率我们可将潮流方 程写为

$P_{j_1|(j_1,j_2)}^G=\mathrm{Re}\left\{\right|V_{j_1|(j_1,j_2)}{|}^2{y}_{j_1,j_1}^{*}/N_{j_1}+V_{j_1|(j_1,j_2)}{y}_{j_1,j_2}^{*}{(V_{j_1|(j_1,j_2)}-V_{j_2|(j_1,j_2)})}^{*}\},---\left(35\right)$

$Q_{j_1|(j_1,j_2)}^G=\mathrm{Im}\left\{\right|V_{j_1|(j_1,j_2)}{|}^2{y}_{j_1,j_1}^{*}/N_{j_1}+V_{j_1|(j_1,j_2)}{y}_{j_1,j_2}^{*}{(V_{j_1|(j_1,j_2)}-V_{j_2|(j_1,j_2)})}^{*}\},---\left(36\right)$

$-P_{j_2|(j_1,j_2)}^D=\mathrm{Re}\{V_{j_2|(j_1,j_2)}{|}^2{y}_{j_2,j_2}^{*}/N_{j_2}+V_{j_2|(j_1,j_2)}{y}_{j_2,j_1}^{*}{(V_{j_2|(j_1,j_2)}-V_{j_1|(j_1,j_2)})}^{*}\},---\left(37\right)$

$-Q_{j_2|(j_1,j_2)}^D=\mathrm{Im}\{V_{j_2|(j_1,j_2)}{|}^2{y}_{j_2,j_2}^{*}/N_{j_2}+V_{j_2|(j_1,j_2)}{y}_{j_2,j_1}^{*}{(V_{j_2|(j_1,j_2)}-V_{j_1|(j_1,j_2)})}^2\}.---\left(38\right)$

需要指出的是虚拟发电项作为虚拟负载402出现在连接到母线j₁的发 电机母线401中。这可维持电网的功率平衡。

图4示出连接到两个负载母线j₁402和j₂403的发电机母线401的图形。该图形 被分割为虚拟子图形411和412，其中负载母线j₁402现在连接到发电机母线i₁，具 有真实无功功率和的虚拟发电机母线422连接到负载母线i₂。因此， 在虚拟子图形412中，虚拟发电功率项被增加到母线j₁使得 $P_{j_1|(j_1,j_2)}^G=P_{i,v|(i,j_1)}^D$并且$Q_{j_1|(j_1,j_2)}^G=Q_{i,v|(i,j_1)}^D.$

具体地讲，虚拟子图形(i，j₁)的功率平衡方程可被表示成

$P_{i|(i,j_1)}^G-P_{i|(i,j_1)}^D=\mathrm{Re}\left\{\right|V_{i|(i,j_1)}{|}^2{y}_{i,i}^{*}/N_i+V_{i|(i,j_1)}{y}_{i,j_1}^{*}{(V_{i|i,j_1)}-V_{j_1|(i,j_1)})}^{*}\},---\left(39\right)$

$Q_{i|(i,j_1)}^G-Q_{i|(i,j_1)}^D-\mathrm{Im}\left\{\right|V_{i|(i,j_1)}{|}^2{y}_{i,i}^{*}/N_i+V_{i|(i,j_1)}{y}_{i,j_1}^{*}{(V_{i|(i,j_1)}-V_{j_1|(i,j_1)})}^{*}\},---\left(40\right)$

流方程之和等同于功率平衡方程

在电网中，对于各个母线i，假定方程(24-26)中对局部变量的条件有效，则包含 母线i的所有虚拟子图形(例如，(i，j)和(j，i))中的流方程之和等同于母线i的功率 平衡方程。

考虑简单的示例。假定所有虚拟子图形包含发电机母线和负载母线。假定所有发 电机母线充当虚拟子图形中的发电机母线。对于各个发电机母线i，我们可在所有相 邻母线j上对发电机母线的流方程求和。

${\Sigma }_{j~i}{P}_{i|(i,j)}^G-P_{i|(i,j)}^D={\Sigma }_{j~i}\mathrm{Re}\left\{\right|V_{i|(i,j)}{|}^2{y}_{ii}^{*}/N_i+V_{i|(i,j)}{y}_{ij}^{*}{(V_{i|(i,j)}-V_{j|(i,j)})}^{*}\},---\left(43\right)$

${\Sigma }_{j~i}{Q}_{i|(i,j)}^G-Q_{i|(i,j)}^D={\Sigma }_{j~i}\mathrm{Im}\left\{\right|V_{i|(i,j)}{|}^2{y}_{ii}^{*}/N_i+V_{i|(i,j)}{y}_{ij}^{*}{(V_{i|(i,j)}-V_{j|(i,j)})}^{*}\}.---\left(44\right)$

通过方程(24-26)中的条件，我们知道与母线i有关的所有虚拟子图形上的发电功 率之和等于母线i的原始发电功率，所有其它局部变量也是如此。因此，我们可 恢复功率平衡方程如下。

$P_i^G-P_i^D=\mathrm{Re}\left\{\right|V_i{|}^2{y}_{ii}^{*}+V_i{\Sigma }_{i~j}{y}_{ij}^{*}{(V_i-V_j)}^{*}\}.;$以及(45)

$Q_i^G-Q_i^D=\mathrm{Im}\left\{\right|V_i{|}^2{y}_{ii}^{*}+V_i{\Sigma }_{i~j}{y}_{ij}^{*}{(V_i-V_j)}^{*}\}.---\left(46\right)$

对于虚拟子图形中的负载母线j，可通过对出现在所有虚拟子图形(i，j)中的流方 程求和，使得i～j来恢复功率平衡方程。方程之和被表示为

${\Sigma }_{i~j}-P_{i|(i,j)}^D={\Sigma }_{i~j}\mathrm{Re}\left\{\right|V_{i|(i,j)}{|}^2{y}_{ii}^{*}/N_j+V_{i|(i,j)}{y}_{ij}^{*}{(V_{i|(i,j)}-V_{j|(i,j)})}^{*}\},---\left(47\right)$

${\Sigma }_{i~j}-Q_{i|(i,j)}^D={\Sigma }_{i~j}\mathrm{Im}\left\{\right|V_{i|(i,j)}{|}^2{y}_{ii}^{*}/N_j+V_{i|(i,j)}{y}_{ij}^{*}{(V_{i|(i,j)}-V_{j|(i,j)})}^{*}\}.---\left(48\right)$

对于具有两个负载母线的虚拟子图形，这两个负载母线中的一个具有额外虚拟发 电功率，此额外功率被增加到具有真实发电机母线的虚拟子图形的项抵消。考虑 (j₁，j₂)均为负载母线的虚拟子图形中的母线j₁。母线j₁也在虚拟子图形(i，j₁)中，其 中母线i是发电机母线。然后，虚拟子图形(j₁，j₂)中的母线j₁的流方程被表示成

$\begin{array}{c}{P}_{j_1|(j_1,j_2)}^G-P_{j_1|(j_1,j_2)}^D=\mathrm{Re}\left\{\right|V_{j_1|(j_1,j_2)}{|}^2{y}_{j_1,j_1}^{*}/N_{j_1}+V_{j_1|(j_1,j_2)}{y}_{j_1,j_2}^{*}(V_{j_1|(j_1,j_2)}-\\ V_{j_2|(j_1,j_2)}{)}^{*}\},\end{array}---\left(49\right)$

$\begin{array}{c}{Q}_{j_1|(j_1,j_2)}^G-Q_{j_1|(j_1,j_2)}^D=\mathrm{Im}\left\{\right|V_{j_1|(j_1,j_2)}{|}^2{y}_{j_1,j_1}^{*}/N_{j_1}+V_{j_1|(j_1,j_2)}{y}_{j_1,j_2}^{*}(V_{j_1|(j_1,j_2)}-\\ V_{j_2|(j_1,j_2)}{)}^{*}\}.\end{array}---\left(50\right)$

因此，在虚拟子图形(i，j₁)中，母线j₁的流方程为

$\begin{array}{c}-P_{j_1|(i,j_1)}^D-P_{j_1|(i,j_1)}^D=\mathrm{Re}\left\{\right|V_{j_1|(i,j_1)}{|}^2{y}_{j_1,j_1}^{*}/N_{j_1}+V_{j_1|(i,j_1)}{y}_{j_1,i}^{*}(V_{j_1|(i,j_1)}-\\ V_{i|(i,j_1)}{)}^{*}\},\end{array}---\left(51\right)$

$\begin{array}{c}-Q_{j_1|(i,j_1)}^D-Q_{j_1|(i,j_1)}^D=\mathrm{Im}\left\{\right|V_{j_1|(i,j_1)}{|}^2{y}_{j_1,j_1}^{*}/N_{j_1}+V_{j_1|(i,j_1)}{y}_{j_1,i}^{*}(V_{j_1|(i,j_1)}-\\ V_{i|(i,j_1)}{)}^{*}\}.\end{array}---\left(52\right)$

由于我们强制所以当关于母线j₁的所有流方程被加起来时，项 被抵消。这确保了流方程之和等同于负载的功率平衡方程。

虚拟子图形方法中的局部估计的一致性方法

在分布式优化中各个虚拟子图形是独立的代理。如上所述利用一致性滤波器来执 行一致性变量的交换和更新。需要指出的是，在此实施方式中，各个虚拟子图形(i，j) 具有母线i和j的电压值。然而，由于母线i可与不止一个虚拟子图形关联，所以电 压v_i|(i，j)的值必须与其它母线处的电压相容。也对发电功率和负载功率的值强加相同 的一致性要求。那些关系由方程(24-26)来强加，其对获得全局问题的可行解而言是必 要的。

为了满足这些要求，各个虚拟子图形(i，j)维持母线i的电压、发电和其它虚拟子 图形(i，j′)，j′≠j，j′～i的负载的估计。因此，由虚拟子图形(i，j)估计的虚拟子图形 (i，j′)中的i的发电功率被表示为负载估计为

对于与虚拟子图形(i，j)共享母线i的虚拟子图形，各个估计的一致性变量为 根据以下规则来更新一致 性变量

${\hat{e}}_{i|(i,j)}(k+1)={\hat{e}}_{i|(i,j)}\left(k\right)+{\mathrm{\gamma \Sigma }}_{j^{\prime }~i}\left(e_{i|(i,j^{\prime })}\right(k)-{\hat{e}}_{i|(i,j)}(k\left)\right),$以及

${\hat{f}}_{i|(i,j)}(k+1)={\hat{f}}_{i|(i,j)}\left(k\right)+\gamma {\Sigma }_{j^{\prime }~i}\left(f_{i|(i,j^{\prime })}\right(k)-{\hat{f}}_{i|(i,j)}(k\left)\right).---\left(53\right)$

其中常数0＜γ＜1是一致性增益，其可被适当地选择以确保一致性算法的收 敛。一致性处理与其它虚拟子图形通信以交换一致性变量。

局部优化问题

类似于直接方法，针对各个虚拟子图形规划局部优化问题以使发电成本和估计误 差最小化。在不损失一般性的情况下，我们考虑虚拟子图形(i，j)，其具有还出现在 其它虚拟子图形中的母线i和j。局部优化问题可被表示成以下目标函数：

$P_{i|(i,j)}^G-P_{i|(i,j)}^D=\mathrm{Re}\left\{\right|V_{i|(i,j)}{|}^2{y}_{ii}^{*}+V_{i|(i,j)}{y}_{ij}^{*}{(V_{i|(i,j)}-V_{j|(i,j)})}^{*}\},---\left(55\right)$

$Q_{i|(i,j)}^G-Q_{i|(i,j)}^D=\mathrm{Im}\left\{\right|V_{i|(i,j)}{|}^2{y}_{ii}^{*}+V_{i|(i,j)}{y}_{ij}^{*}{(V_{i|(i,j)}-V_{j|(i,j)})}^{*}\},---\left(56\right)$

$P_{j|(i,j)}^G-P_{j|(i,j)}^D=\mathrm{Re}\left\{\right|V_{j|(i,j)}{|}^2{y}_{jj}^{*}+V_{j|(i,j)}{y}_{ij}^{*}{(V_{j|(i,j)}-V_{i|(i,j)})}^{*}\},---\left(57\right)$

$Q_{j|(i,j)}^G-Q_{j|(i,j)}^D=\mathrm{Im}\left\{\right|V_{j|(i,j)}{|}^2{y}_{jj}^{*}+V_{j|(i,j)}{y}_{ij}^{*}{(V_{j|(i,j)}-V_{i|(i,j)})}^{*}\},---\left(58\right)$

$\underset{‾}{V_i}\le e_{i|(i,j)}^2+f_{i|(i,j)}^2\le {\bar{V}}_i,---\left(59\right)$

$\underset{‾}{P_i^G}\le P_{i|i,j}^G+{\Sigma }_{k~i}{\left(P^G\right)}_{i|i,k}^{(i,j)}\le {\bar{P}}_i^G,{\underset{‾}{Q}}_i^G\le Q_{i|i,j}^G+{\Sigma }_{k~i}{\left(Q^G\right)}_{i|i,k}^{(i,j)}\le {\bar{Q}}_i^G.---\left(60\right)$

$P_{i|i,j}^D+{\Sigma }_{k~i}{\left(P^D\right)}_{i|i,k}^{(i,j)}=P_i^D,Q_{i|i,j}^D+{\Sigma }_{k~i}{\left(Q^D\right)}_{i|i,k}^{i,k}=Q_i^D.---\left(61\right)$

${\underset{‾}{P}}_j^G\le P_{j|i,j}^G+{\Sigma }_{k~j}{\left(P^G\right)}_{j|k,j}^{i,j}\le {\bar{P}}_j^G,{\underset{‾}{Q}}_j^G\le Q_{j|i,j}^G+{\Sigma }_{k~j}{\left(Q^G\right)}_{j|k,j}^{i,j}\le {\bar{Q}}_j^G.---\left(62\right)$

$P_{j|i,j}^D+{\Sigma }_{k~j}{\left(P^D\right)}_{j|k,j}^{(i,j)}=P_j^D,Q_{j|k,j}^D+{\Sigma }_{k~j}{\left(Q^D\right)}_{j|k,j}^{(i,j)}=Q_j^D.---\left(63\right)$

各个虚拟子图形内的局部优化问题针对两个母线。各个虚拟子图形的相邻虚拟子 图形的数量等于虚拟子图形内的相邻母线i和j的数量。因此，这是小规模OPF问题， 可通过类似fmincon和IPOPT的可用的非线性优化求解器来有效地求解。

(1)初始化f_k|(i，j)(0)(k＝i，j)以及估计变量(k＝i，j)和一致性变量的值。

(2)在迭代k+1，如果达到终止条件(例如，最大迭代次数或者估计的误差容限)， 则方法终止。如果没有，则各个代理将局部变量发送给相邻虚拟子图形。

(3)根据(53)更新一致性变量

(4)通过求解优化问题(54)来更新决策变量，然后进行到步骤(2)。

图5是根据本发明的实施方式的利用直接方法求解将各个母线与局部OPF子问 题关联的分散式OPF问题的一般情况的框图。OPF问题600被分割(605)成子OPF 问题610，每个虚拟子图形1、2、...、n-1、n一个。然后，对于各个虚拟子图形的各 个子问题610，以下步骤迭代，直至达到终止条件。在各个虚拟子图形处应用一致性 滤波器620以更新一致性变量和针对各个虚拟子图形求解(630)子OPF 问题以更新决策变量然后，在终止处，输出(640)各个虚拟子图形 的最优电压和功率。

图6是根据本发明的实施方式的利用直接方法求解将各个母线与局部OPF子问 题关联的分散式OPF问题的具体情况的框图。OPF问题700被分割(705)为子OPF 问题710，每个母线1、2、...、n-1、n一个。然后，对于各个子问题，以下步骤迭代， 直至达到终止条件。应用一致性滤波器720以更新一致性变量和求解(730) 子OPF问题以更新局部决策变量然后，在终止处，输出(740)各个 母线的最优电压和功率。

本发明的效果

实施方式提供了一种基于一致性的分布式优化方法。该方法可用于求解最优潮流 问题。该方法以分布式方式在彼此通信的多个代理中执行。描述两个实现方式。在直 接方法中，各个母线与代理功率。各个代理在关联的母线的功率平衡方程的约束下求 解局部OPF问题。代理估计相邻代理的电压并且与其它代理交换一致性变量以达成 一致性。使用一致性滤波方法来确保估计的收敛。在虚拟子图形方法中，各个虚拟子 图形与相邻母线之间的分支流有关。此方法在多个负载连接到发电机母线的情况下更 有效。针对所有变量达成一致性。

尽管通过优选实施方式的示例描述了本发明，将理解，在本发明的精神和范围内 可进行各种其它更改和修改。因此，所附权利要求书的目的在于涵盖落入本发明的真 实精神和范围内的所有这些变化和修改。