基于非光滑观测器的含有死区和迟滞的复合三明治系统状态估计方法

摘要

本发明公开了一种基于非光滑观测器的含有死区和迟滞的复合三明治系统状态估计方法，首先利用关键项分离原则和切换函数，由简单到复杂，借鉴已构建的带死区、带间隙和带迟滞三明治系统非光滑状态空间方程，构建能准确描述含有死区和迟滞的复合三明治系统的非光滑状态空间方程；其次根据构建的复合非光滑三明治状态空间方程，当系统满足观测器的存在性条件时，构造能随复合非光滑三明治系统工作区间变化而自动切换的非光滑状态估计观测器。本方法的优点是：通过引入切换函数更准确地描述该类系统；公开的复合非光滑观测器能够随系统工作区间的切换而自动切换；与传统的观测器比较，采用本方法的观测器能更准确地估计系统的状态值。

说明书

技术领域

本发明属于非线性系统的状态估计领域，特别涉及一种基于非光滑观测器的含有死区和 迟滞的复合三明治系统状态估计方法。

背景技术

对于任何控制系统来说，无论是实现系统的闭环极点配置，还是实现系统的解耦都离不 开状态反馈。同时，准确估计系统的状态也是实现系统最优控制和故障诊断的重要依据。然 而，系统的状态并不都是易于直接能检测到的，有些状态变量甚至根本无法检测到。因此， 研究者常常通过构造状态观测器来解决以上问题。但是，对于特定系统，如果不根据系统实 际情况构造观测器进行状态估计，必将导致状态估计的不准确。依据不准确的估计状态无法 实现对系统的准确控制，在故障诊断中，不准确的状态估计也会导致故障的误报和漏报。因 此，构建能准确估计特定系统状态的状态估计观测器和能够实现准确故障预报的故障预报观 测器显得尤为重要。

死区、间隙和迟滞是最常见的非光滑非线性特性。死区广泛存在于直流电机，机械传动 系统、液压传动系统、机电一体化系统和功放电路系统中。间隙广泛存在于齿轮机械传动系 统、电动阀、数字电路、传感器和液压系统中。近年来，采用记忆合金、压电陶瓷的智能执 行装置由于具有定位精度高、驱动力大和响应快等优点，被广泛应用在精密加工机床、航天 飞机的柔性机械手臂和天文望远镜等精密设备的定位系统中，但是记忆合金和压电陶瓷中存 在着迟滞这种非光滑非线性，因此，迟滞广泛存在于精密加工机床、航天飞机的柔性机械手 臂和天文望远镜等精密设备的定位系统中。另外，通信系统中常用的射频电路和锁相环路也 包含有迟滞三明治系统。而在工程实际中，死区、间隙和迟滞非线性特性往往不是孤立的， 而是与其他传统环节相联接，夹在两个线性动态环节之间，被称为非光滑三明治系统。带死 区、间隙和迟滞的非光滑三明治系统可统一用图1所示的结构框图来描述。

但是，在实际的工程中，很多系统并非是如图1所示的典型非光滑三明治系统，例如， 一个柔性机械手臂由放大电路、直流电机、压电陶瓷和机器手臂的执行机构组成，同样放大 电路可以看作一个线性环节L1，直流电机存在死区看作一个死区环节DZ，压电陶瓷存在迟 滞特性可以看作一个迟滞环节HS，最后，机器手臂的执行机构可以看作是一个线性环节L2。 因此，整个系统可以表示为图2所示的结构，它的非光滑环节由一个死区串联一个迟滞组成。

为此，本发明定义了一类新的非光滑三明治系统：如果非光滑三明治系统的中间环节不 止一个，而是多个非光滑环节串联在一起，这样的非光滑三明治系统称作复合非光滑三明治 系统，图2所示的系统就是含有死区和迟滞的复合三明治系统。

针对特定系统构造相应的观测器一直都是控制工程领域的一个研究热点。自D.J. Luenberger(1971)在本世纪70年代提出著名的Luenberger观测器以来，对于定常线性系统 观测器的设计理论和方法就已成熟。但对于非线性系统却不同，首先，非线性系统的能观性 是一个局部特性；第二，线性系统的能观性与系统输入无关，只取决于系统本身的结构，而 非线性系统的能观性不但与系统结构有关，同时还与系统输入有关。正是由于非线性系统的 复杂性，对于非线性系统我们很难找到一个统一的观测器构造方法，往往是针对某一类非线 性系统构造一类特定的观测器。

在特殊系统观测器设计方面，马克茂，马萍(2003)对满足Lipschitz条件的非线性系统开 展了观测器设计研究。朱芳来(2004)对类Lyapunov非线性系统设计了降维观测器进行状态 估计。周少武，章兢(2001)提出一种改进的Lipschitz非线性系统观测器的设计方法。栾小 丽等(2008)构造了非线性不确定时滞系统的观测器，利用该观测器对该类系统进行鲁棒控 制。韩春艳等(2009)针对随机时滞系统构建特定观测器进行状态估计。吴敏等(2008)完 成了含不可观变迁事件图的状态估计器设计。A.Lj.Juloski.等(2002，2003)针对分段线 性系统设计一种Luenberger型切换观测器进行状态估计。A.Alessandri等(2001)利用共用 Lyapunov函数方法求解分段线性切换系统的观测器增益矩阵。周祖鹏，谭永红(2011，2012) 对单一的带死区、间隙和迟滞三明治系统设计了非光滑观测器进行了状态估计。

但是，以上状态估计方法都是针对特定系统开展观测器设计，在这些方法中都假设系统 是完全能观的或是给定只有一个非光滑环节，而复合非光滑三明治系统在某工作区间不完全 能观且具有两个串联的非光滑环节。因此，在对复合非光滑三明治系统进行状态估计观测器 设计时，必须同时要考虑系统不完全能观和复合后的新问题。因此，本发明将拓展复杂系统 状态观测器理论，解决含有死区和迟滞的复合三明治系统状态变量的准确状态估计问题，本 发明具有一定的科学理论意义与实际应用前景。

发明内容

针对上述技术的不足，本发明公开了一种基于非光滑观测器的针对含有死区和迟滞的复 合三明治系统的状态估计方法，与带死区，带间隙和带迟滞的单一非光滑三明治系统比较， 采用该方法能解决单一非光滑观测器无法解决的复合问题，与传统的观测器比较，采用该方 法的观测器能更准确地估计系统的状态值。

实现本发明目的的技术方案是：

基于非光滑观测器的含有死区和迟滞的复合三明治系统状态估计方法，包含如下步骤：

步骤1：利用关键项分离原则和切换函数，由简单到复杂，借鉴已构建的带死区、带间隙 和带迟滞三明治系统非光滑状态空间方程，构建能准确描述含有死区和迟滞的复合三明治系 统的非光滑状态空间方程；

步骤2：根据步骤1构建的复合非光滑三明治状态空间方程，当系统满足观测器的存在性 条件时，构造能随复合非光滑三明治系统工作区间变化而自动切换的非光滑状态估计观测器， 并给出相应非光滑状态估计观测器的存在条件和收敛性定理。

所述步骤1包括如下步骤：

(1)含有死区和迟滞的复合三明治系统的前段线性环节L₁(.)，如式(1)所示：

$\{\begin{array}{c}{x}_1\left(k+1\right)=A_1{x}_1\left(k\right)+B_{1}u\left(k\right)\\ y_1\left(k\right)=C_1{x}_1\left(k\right)\end{array}---\left(1\right)$

含有死区和迟滞的复合三明治系统的后端线性环节L₂(.)，如式(2)所示：

$\{\begin{array}{c}{x}_2\left(k+1\right)=A_2{x}_2\left(k\right)+B_2{v}_2\left(k\right)\\ y_2\left(k\right)=C_2{x}_2\left(k\right)\end{array}---\left(2\right)$

(2)死区和迟滞的建模

死区环节DZ的输入输出之间的数学模型，如式(3)所示：

$v_1\left(k\right)=\left(\begin{array}{cc}{m}_{1d}\left(x_{1n1}\left(k\right)-D_{1d}\right),& x_{1n1}\left(k\right)>D_{1d}\\ 0,& -D_{2d}\le x_{1n1}\left(k\right)\le D_{1d}\\ m_{2d}\left(x_{1n1}\left(k\right)+D_{2d}\right),& x_{1n1}\left(k\right)<-D_{2d}\end{array}\right)---\left(3\right)$

迟滞的输入输出关系的数学模型，如式(4)所示：

$\{\begin{array}{c}{z}_i\left(k\right)=B_i\left(v_1\left(k\right)\right),i=1,2,...,n\\ v_2\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{w}_i{B}_i\left(v_1\left(k\right)\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{w}_i{z}_i\left(k\right)\end{array}---\left(4\right)$

其中，

其中，y_i∈R^1×1，u∈R^1×1，v_i∈R^1×1，i＝1,2， x_1i和x_2i分别代表前段线性环节和后端线性环节的第i个状态变量；是状态转移 矩阵，是输入矩阵，y_i∈R^1×1是输出变量，n_i表示第i个线性子系统的维数， u∈R^1×1是输入变量，v₁∈R^1×1是迟滞的输入变量同时也是死区的输出变量，v₂∈R^1×1是迟 滞的输出变量。z_i(k)是第i个间隙的输出，w_i是第i个间隙在构成迟滞中所占的权重，B_i(□) 是单个间隙的输入输出函数，n用来构建迟滞的间隙的个数；m_1b是间隙的斜率，m_1d是死 区的斜率；D_1b是间隙的宽度，D_1d是死区的宽度。

所述步骤2包括如下步骤：

(1)构造该系统的非光滑观测器，根据式(1)，(2)，(3)和(4)，构造含有死区和 迟滞的复合三明治系统的状态观测器如下：

$\left(\begin{array}{c}{\hat{x}}_1(k+1)=A_1{\hat{x}}_1\left(k\right)+B_{1}u\left(k\right)\\ {\hat{x}}_2(k+1)=A_2{\hat{x}}_2\left(k\right)+B_2{\hat{v}}_2\left(k\right)+K_2(y\left(k\right)-\hat{y}\left(k\right))\\ \begin{array}{cc}\hat{y}\left(k\right)=C\hat{x}\left(k\right),& \hat{x}\left(k\right)=\left(\begin{array}{c}{\hat{x}}_1\left(k\right)\\ {\hat{x}}_2\left(k\right)\end{array}\right)\end{array}\end{array}\right)---\left(5\right)$

其中，${\hat{v}}_1\left(k\right)=\left(\begin{array}{cc}{m}_{1d}\left({\hat{x}}_{1n1}\left(k\right)-D_{1d}\right),& {\hat{x}}_{1n1}\left(k\right)>D_{1d}\\ 0,& -D_{2d}\le {\hat{x}}_{1n1}\left(k\right)\le D_{1d}\\ m_{2d}\left({\hat{x}}_{1n1}\left(k\right)+D_{2d}\right),& {\hat{x}}_{1n1}\left(k\right)<-D_{2d}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{\hat{z}}_i\left(k\right)=B_i\left({\hat{v}}_1\left(k\right)\right),i=1,2,...,n\\ {\hat{v}}_2\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{w}_i{B}_i\left({\hat{v}}_1\left(k\right)\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{w}_i{\hat{z}}_i\left(k\right)\end{array}\right)$

其中，是反馈矩阵；

(2)给定式(5)观测器的存在条件和收敛性定理:

设定系统满足如下条件：

条件1状态变量x是有界的，即‖x(k)‖_m≤x_b，x_b≥0；其中‖‖_m表示m范数，x_b表示 状态变量的最大边界值；

条件2观测器的初始误差是有界的，即‖e(1)‖_m≤e_b，e_b≥0；e_b表示观测器初始误差的最 大边界值；

条件3前段线性子系统的转移矩阵A₁的特征值都在单位圆内；

定理：对于满足以上三个假设条件的含有死区和间隙的复合三明治系统，可以构造如式 (5)所示的观测器对该系统进行状态估计，如果选择观测器的反馈矩阵K₂，使得(A₂-K₂C₂₂) 的特征值均在单位圆内，那么式(5)所示的观测器的估计误差最终会收敛到零，其中，A₂表 示后端线性系统的转移矩阵，K₂表示后端线性系统的反馈矩阵，C₂₂表示后端线性系统的输 出矩阵。

本发明方法的优点在于：

1.充分考虑了死区和迟滞的非线性和非光滑特性和两种的串联复合特性，通过在复合三 明治系统中，引入切换函数更准确地描述该类系统，通过复合函数公式(4)建立了其准确的 数学模型以描述该类系统，公式(4)把死区和迟滞非光滑特性连接在一起，解决了如何准确 描述复合三明治的难题。

2.在构建的系统的准确数学模型的基础上，构造复合非光滑状态观测器估计其状态值， 其中复合非光滑观测器能够随系统工作区间的切换而自动切换，特别是公式(5)中包含了连 接两个非光滑环节的复合表达关系，成功地解决了复合非光滑三明治系统状态观测器的构建 难题，并给出了该类系统状态观测器的存在条件和收敛性定理。

3.与单一的带死区，带间隙，带迟滞的非光滑三明治非光滑观测器比较，构造的复合非 光滑三明治系统成功地解决了多个非光滑环节串联的状态估计问题，这是过去方法无法解决 的。

4.与传统线性观测器比较，构造的复合非光滑状态估计方法能更准确的估计系统的状态 值。

附图说明

图1非光滑三明治系统的结构；

图2含有死区和迟滞的复合三明治系统的结构；

图3死区环节DZ的输入输出关系图；

图4迟滞的输入输出特性图；

图5第i个间隙的输入输出关系图；

图6本发明观测器的状态估计结果图；

图7传统线性观测器的状态估计结果图；

图8本发明观测器和传统线性观测器的状态估计误差比较图。

具体实施方式

下面结合实施例和附图对本发明内容作进一步的阐述，但不是对本发明的限定：

实施例

基于非光滑观测器的含有死区和迟滞的复合三明治系统状态估计方法，包含如下步骤：

步骤1：利用关键项分离原则和切换函数，由简单到复杂，借鉴已构建的带死区、带间隙 和带迟滞三明治系统非光滑状态空间方程，构建能准确描述含有死区和迟滞的复合三明治系 统的非光滑状态空间方程。

步骤1中包括如下步骤：

(1)含有死区和迟滞的复合三明治系统的前段线性环节L₁：

$L_1:\left(\begin{array}{c}{x}_{11}(k+1)\\ x_{12}(k+1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.8& 0\\ 0.01& 0.45\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{11}\left(k\right)\\ x_{12}\left(k\right)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0.004107\\ 0\end{array}\right)u\left(k\right)$

含有死区和迟滞的复合三明治系统的后端线性环节L₂：

$L_2:\left(\begin{array}{c}{x}_{21}(k+1)\\ x_{22}(k+1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.8& 0\\ 0.01& 0.45\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{21}\left(k\right)\\ x_{22}\left(k\right)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0.25\\ 0\end{array}\right)v_2\left(k\right)$

(2)死区和迟滞的建模

死区环节DZ的输入和输出关系见图3，其输入输出之间的数学模型为：

$DZ:v_1\left(k\right)=DZ\left(x_{12}\left(k\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}_{12}\left(k\right)-0.01,& x_{12}\left(k\right)>0.01\\ 0,& -0.01\le x_{12}\left(k\right)\le 0.01\\ x_{12}\left(k\right)+0.01,& x_{12}\left(k\right)<-0.01\end{array}\right)$

其中，m_1d＝m_2d＝1,D_1d＝D_2d＝0.01。

迟滞的输入输出特性如图4所示，其输入输出关系的数学模型为：

$\left(\begin{array}{c}{z}_i\left(k\right)=B_i\left(v_1\left(k\right)\right),i=1,2,...,n\\ v_2\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{w}_i{B}_i\left(v_1\left(k\right)\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{w}_i{z}_i\left(k\right)\end{array}\right)$

HS：迟滞由n＝7个间隙叠加而成，7个间隙的参数如下：

w_i＝1,m_1b＝m_2b＝1,D_1b＝D_2b＝c_i/2,(i＝1,2,...,7)，

c₁＝0.14,c₂＝0.12,c₃＝0.1,c₄＝0.08,c₅＝0.06,c₆＝0.04,c₇＝0.02，其中c_i表示第i个间隙的宽度， 第i个间隙的输入输出关系如图5所示。

步骤2：根据步骤1构建的复合非光滑三明治状态空间方程，当系统满足观测器的存在性 条件时，构造能随复合非光滑三明治系统工作区间变化而自动切换的非光滑状态估计观测器， 并给出相应非光滑状态估计观测器的存在条件和收敛性定理。

步骤2包括如下步骤：

(1)构建发明内容中提出的如式(5)所示的非光滑状态观测器如下：

$\left(\begin{array}{c}{\hat{x}}_1\left(k+1\right)=\left(\begin{array}{cc}0.8& 0\\ 0.01& 0.45\end{array}\right){\hat{x}}_1\left(k\right)+\left(\begin{array}{c}0.004107\\ 0\end{array}\right)u\left(k\right)\\ {\hat{x}}_2\left(k+1\right)=\left(\begin{array}{cc}0.8& 0\\ 0.01& 0.9\end{array}\right){\hat{x}}_2\left(k\right)+\left(\begin{array}{c}0.25\\ 0\end{array}\right){\hat{v}}_2\left(k\right)+\left(\begin{array}{c}0.1\\ 0.1\end{array}\right)\left(y\left(k\right)-\hat{y}\left(k\right)\right)\\ \hat{y}\left(k\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\end{array}\right)\hat{x}\left(k\right),\hat{x}\left(k\right)=\left(\begin{array}{c}{\hat{x}}_1\left(k\right)\\ {\hat{x}}_2\left(k\right)\end{array}\right)\end{array}\right)---\left(6\right)$

其中，${\hat{v}}_1\left(k\right)=\left(\begin{array}{cc}{\hat{x}}_{12}\left(k\right)-0.01,& {\hat{x}}_{12}\left(k\right)>0.01\\ 0,& -0.01\le {\hat{x}}_{12}\left(k\right)\le 0.01\\ {\hat{x}}_{1n1}\left(k\right)+D_{2d},& {\hat{x}}_{12}\left(k\right)<-0.01\end{array}\right)$

$\{\begin{array}{c}{\hat{z}}_i\left(k\right)=B_i\left({\hat{v}}_1\left(k\right)\right),i=1,2,...,n\\ {\hat{v}}_2\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{w}_i{B}_i\left({\hat{v}}_1\left(k\right)\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{w}_i{\hat{z}}_i\left(k\right)\end{array}{w}_i=1,m_{1b}=m_{2b}=1,D_{1b}=D_{2b}=c_i/2,\left(i=1,2,...,7\right),$

c₁＝0.14,c₂＝0.12,c₃＝0.1,c₄＝0.08,c₅＝0.06,c₆＝0.04,c₇＝0.02，

其中，K₂＝[0.10.1]^T∈R^2×1是反馈矩阵。

(2)分析非光滑观测器式(6)的收敛性：

实施例满足收敛定理的三个条件：

条件1：实施例的状态变量x是有界的，即‖x(k)‖₁≤100，其中‖‖₁表示1范数；

条件2：实施例中观测器的初始误差是有界的，即‖e(1)‖₁≤20；

条件3：实施例的前段线性子系统的转移矩阵A₁的特征值为[0.8,0.45]^T都在单位圆内；

实施例中，选取K₂＝[0.10.1]^T，则(A₂-K₂C₂)的特征值为 [0.8000+0.0316i,0.8000-0.0316i]^T均在单位圆内，根据步骤2中的收敛定理可知，系统的状 态估计值最终将收敛到真实值。

为了说明本发明的状态估计方法和非光滑状态观测器的有效性，本实施例还构造了一种 传统的线性观测器对同一系统进行状态估计，线性观测器如式(7)所示：

$\hat{x}(k+1)=A\hat{x}\left(k\right)+Bu\left(k\right)+K_l(y\left(k\right)-\hat{y}\left(k\right))---\left(7\right)$

其中，$A=\left(\begin{array}{cccc}0.8& 0& 0& 0\\ 0.01& 0.45& 0& 0\\ 0& 0.25& 0.8& 0\\ 0& 0& 0.01& 0.9\end{array}\right),B\left(\begin{array}{c}0.004107\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

其中，A表示转移矩阵，B表示输入矩阵，K_l表示增益矩阵，设定线性观测器的增益 矩阵K_l＝[000.10.1]^T，并给定观测器的初始状态值均为仿真系统的 初始值均为x(0)＝[0,0,0,0]^T，采样周期为0.01秒，仿真时间为3秒。

由图6可见，本发明的状态估计方法能很好地跟踪系统的实际状态值，获得准确的状态 估计值。由图7可见，传统的线性观测器无法准确估计系统的x₂₁(k)和x₂₂(k)两个状态值。由 图8可见，对于x₂₁(k)和x₂₂(k)两个状态，传统的线性观测器估计方法的估计误差要远大于本 发明的状态估计方法的估计误差。