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带有初始输入约束的桥式吊车能量耦合控制器及控制方法

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本发明公开了一种带有初始输入约束的桥式吊车能量耦合控制器及控制方法，包括：通过构造一个广义的负载水平位移信号，增强了台车运动、吊钩摆动、负载绕吊钩摆动之间的耦合关系，提升了控制器的暂态控制性能。通过在控制率中引入一个双曲正切函数，所提控制方法大大减少了初始驱动力，从而保证台车的平滑启动，避免负载的大幅度摆动。借助Lyapunov方法与LaSalle不变性原理对闭环系统在平衡点处的稳定性进行了严格的数学分析。结果表明本发明所提控制算法具有很好的控制性能并且对不同负载质量、绳长、目标位置、外部扰动具有很强的鲁棒性。

著录项

公开/公告号CN105152016A

专利类型发明专利
公开/公告日2015-12-16

原文格式PDF
申请/专利权人山东大学;
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申请/专利号CN201510527721.2
发明设计人马昕;张梦华;田新诚;荣学文;柴汇;宋锐;李贻斌;
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申请日2015-08-25
分类号B66C13/16;B66C13/22;
代理机构济南圣达知识产权代理有限公司;
代理人张勇
地址 250061 山东省济南市历下区经十路17923号
入库时间 2023-12-18 12:40:40

法律信息

法律状态公告日

法律状态信息

法律状态
2017-08-25

授权

授权
2016-01-13

实质审查的生效 IPC(主分类):B66C13/16 申请日:20150825

实质审查的生效
2015-12-16

公开

公开

说明书

技术领域

本发明涉及二级摆型桥式吊车系统的控制技术领域，尤其涉及一种带有初始输入约束的二级摆型桥式吊车能量耦合控制器及控制方法。

背景技术

作为一类大型的运输工具，桥式吊车已广泛应用于建筑工地、海港、码头等工业领域。由于吊车系统的欠驱动特性，给其控制带来了非常大的挑战。对吊车系统而言，台车的快速移动会不可避免的引起负载的摆动，这不仅会降低系统整体的运输效率，还可能引起碰撞事故。完整的吊车操作流程主要包括三个步骤：负载升吊、水平运输和负载落吊。其中，第二个步骤的控制问题更为复杂、困难。水平运输的目标是驱动台车拖动负载移动至目标位置上方，并保证在此过程中负载摆动不要过大，且到达目标位置上方时要足够小，以防在落吊时负载放置不稳或与周围的货物发生碰撞。

对桥式吊车系统而言，研究学习高性能控制器的设计具有非常重要的理论和实际意义。已有的控制方法大都将负载摆动视为单摆进行处理。对于一个单摆系统而言，系统的固有频率仅和吊绳的长度有关。基于此，国内外学者针对单级摆型桥式吊车系统提出了很多控制方法，并取得了良好的控制效果。

不过，当吊钩质量与负载质量相近而不能忽略吊钩质量时，或者负载质量分布不均匀、尺寸较大而不能看成质点时，吊车系统在工作时会呈现二级摆动特性。在这种情况下，吊车系统具有两个不同的固有频率。这两个固有频率不但与吊绳长度有关，而且与负载和吊钩的质量有关。系统振动为两种不同的固有频率振动的线性组合，未必是简谐振动，也可能是非周期振动,极大地增加了控制器设计的难度。当系统呈现二级摆动特性时，以上所有基于单级摆型桥式吊车系统提出的控制算法的控制性能将会大打折扣。

因此，针对二级摆型桥式吊车系统，研究人员提出了一系列的控制算法。比如：利用拉格朗日力学原理建立了二级摆型桥式吊车系统的数学模型，分析了吊车系统的无源性以及系统的两个固有频率，设计出一种基于无源性的控制方法；或者通过将控制命令与特定脉冲序列卷积，利用输入整形方法抑制并消除负载摆动；或者利用滑动模态控制方法，设计出可保证台车精确定位与吊钩摆动、负载绕吊钩摆动的有效抑制并消除的CSMC控制器和HSMC 控制器等等；

上述方法设计的控制器结构过于复杂，不便于实际应用，且当台车停止运行时负载有明显的残余摆动，大大降低了系统整体的工作效率，不利于工程实现。

发明内容

本发明的目的就是为了解决上述问题，提出了一种带有初始输入约束的二级摆型桥式吊车能量耦合控制器及控制方法，该方法结构简单，不包含与吊绳长度、负载质量相关的项，因此其对绳长、负载质量变化具有很强的鲁棒性，并且在控制律中引入了一个平滑的双曲正切函数，可减少初始驱动力并保证台车的平滑启动。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种带有初始输入约束的桥式吊车能量耦合控制器，包括：

通过引入广义的负载水平位移信号X_p以及广义的定位误差信号ξ_x，设计具有初始控制输入约束的能量耦合控制器为：

$F_{x} = F_{r x} - k_{p} \tanh (ξ_{x}) - k_{d} {\overset{\cdot}{ξ}}_{x};$

其中，k_p,k_d∈R⁺为正的控制增益；F_rx为台车与桥架间的摩擦力；

广义的负载水平位移信号X_p具体表达式为：X_p＝x+λ₁sinθ₁+λ₂sinθ₂；

广义的定位误差信号ξ_x具体表达式为：

ξ_x＝X_p-p_d

＝x-p_d+λ₁sinθ₁+λ₂sinθ₂；

＝e_x+λ₁sinθ₁+λ₂sinθ₂

●x∈R¹为台车位移，θ₁，θ₂∈R¹分别表示吊钩的摆角和负载绕吊钩的摆角；为广义的定位误差信号ξ_x关于时间的导数；λ₁，λ₂均为调节参数；p_d∈R⁺为台车期望的目标位置，e_x∈R¹表示台车定位误差，其表达式为：e_x＝x-p_d；

tanh(ξ_x)为引入的双曲正切函数，能够减少初始驱动力，保证台车的平滑启动。

一种带有初始输入约束的桥式吊车能量耦合控制方法，包括以下步骤：

(1)假设在整个运输过程中，吊钩摆角、负载绕吊钩的摆角始终在如下范围内：

$- \frac{π}{2} < θ_{1}, θ_{2} < \frac{π}{2}, \forall t \geq 0;$

其中，θ₁为吊钩的摆角，即第1级摆角；θ₂为负载绕吊钩的摆角，即第2级摆角；

(2)定义一个广义的负载水平位移信号X_p＝x+λ₁sinθ₁+λ₂sinθ₂；x∈R¹为台车位移；

(3)结合上述负载水平位移信号，构造新型的吊车系统能量函数E_t(t)，并求取其关于时间的导数，使其包含与吊钩摆动θ₁以及负载绕吊钩的摆动θ₂相关的信息；

(4)根据广义的负载水平位移信号X_p和台车期望的目标位置p_d，得到广义定位误差信号ξ_x；

(5)引入双曲正切函数，得到具有初始控制输入约束的能量耦合控制器；

(6)将实际检测的台车位移x、吊钩摆角θ₁、负载绕吊钩的摆角θ₂的信号输入到具有初始控制输入约束的能量耦合控制器中，则输出驱动台车运动的力矩，从而达到台车的快速、精确定位以及吊钩摆动、负载绕吊钩摆动有效抑制并消除的目的。

所述步骤(3)中构造的新型吊车系统能量函数E_t(t)关于时间的导数具体表达式为：

${\overset{\cdot}{E}}_{t} (t) = {\overset{\cdot}{X}}_{p} F;$

其中，F为作用于台车上的合力。

所述作用于台车上的合力F具体表达式为：

F＝F_x-F_rx；

其中，F_x∈R¹为施加于台车上的驱动力，F_rx∈R¹代表台车与桥架间的摩擦力。

所述台车与桥架间的摩擦力F_rx具体表达式为：

$F_{r x} = f_{r o x} \tanh (\frac{\overset{\cdot}{x}}{ϵ_{x}}) - k_{r x} | \overset{\cdot}{x} | \overset{\cdot}{x};$

其中，f_rox，ε_x，k_rx∈R¹为摩擦系数，为台车的速度。

所述步骤(4)中广义定位误差信号ξ_x具体表达式为：

ξ_x＝X_p-p_d

＝x-p_d+λ₁sinθ₁+λ₂sinθ₂；

＝e_x+λ₁sinθ₁+λ₂sinθ₂

其中，p_d∈R⁺为台车期望的目标位置，e_x∈R¹表示台车定位误差，其表达式为：e_x＝x-p_d；

所述步骤(5)中能量耦合控制器具体表达式为：

$F_{x} = F_{r x} - k_{p} \tanh (ξ_{x}) - k_{d} {\overset{\cdot}{ξ}}_{x};$

其中，F_x为施加于台车上的驱动力，F_rx∈R¹代表台车与桥架间的摩擦力，k_p,k_d∈R⁺ 为正的控制增益，ξ_x为广义定位误差信号，为广义的定位误差信号ξ_x关于时间的导数。

所述调节参数λ₁，λ₂需满足如下条件：

$\frac{M}{m_{1} + m_{2}} m_{2} λ_{1} l_{2} = {Ml}_{1} λ_{2} \Rightarrow \frac{λ_{1}}{λ_{2}} = \frac{(m_{1} + m_{2}) l_{1}}{m_{2} l_{2}};$

其中，M,m₁,m₂分别代表台车质量，吊钩质量，负载质量；l₁,l₂分别表示吊绳长度以及负载重心到吊钩重心的距离。

本发明的有益效果是：

与二级摆型桥式吊车系统的大多数控制方法相比，本文提出的调节控制方法结构简单，不包含与吊绳长度、负载质量相关的项，因此其对绳长、负载质量的变化具有很强的鲁棒性。

通过引入广义的负载水平位移信号，增强了台车运动、吊钩摆动、负载绕吊钩的摆动之间的耦合关系，可提升控制器的暂态性能。

对调节控制方法而言，当目标位置很远时，初始的驱动力会很大，相应的台车加速度也会很大，导致负载大幅度摆动，并可能损坏电机；通过在控制律中引入一个双曲正切函数，所提控制方法大大减少了初始驱动力，因此可保证台车的平滑启动，解决了调节控制方法的弊端。

附图说明

图1为二级摆型桥式吊车系统模型图；

图2为本发明方法得到的台车位移x(t)、吊钩摆角θ₁(t)、负载绕吊钩的摆角θ₂(t)、控制输入F_x(t)仿真图；

图3为基于无源性的控制方法得到的台车位移x(t)、吊钩摆角θ₁(t)、负载绕吊钩的摆角 θ₂(t)、控制输入F_x(t)仿真图；

图4为CSMC控制方法得到的台车位移x(t)、吊钩摆角θ₁(t)、负载绕吊钩的摆角θ₂(t)、控制输入F_x(t)仿真图；

图5为本发明方法针对不同吊绳长度的仿真结果图；

图6为本发明方法针对不同负载质量的仿真结果图；

图7为本发明方法针对不同目标位置的仿真结果图；

图8为本发明方法针对不同外部扰动的仿真结果图。

具体实施方式：

下面结合附图与实例对本发明做进一步说明：

本发明公开了一种带有初始输入约束的桥式吊车能量耦合控制器，首先引入了一个包含台车运动、吊钩摆动、负载绕吊钩摆动信息的广义的水平位移信号；增强了台车运动、吊钩摆动、负载绕吊钩摆动之间的耦合关系，提升了控制器的暂态控制性能。随后将一个双曲正切函数引入所设计的控制器中，大大减少了初始驱动力，从而保证台车的平滑启动，避免负载的大幅度摆动；控制器具体表达式为：

$F_{x} = F_{r x} - k_{p} \tanh (ξ_{x}) - k_{d} {\overset{\cdot}{ξ}}_{x};$

其中，k_p,k_d∈R⁺为正的控制增益；F_rx为台车与桥架间的摩擦力；

广义的负载水平位移信号X_p具体表达式为：X_p＝x+λ₁sinθ₁+λ₂sinθ₂；

广义的定位误差信号ξ_x具体表达式为：

ξ_x＝X_p-p_d

＝x-p_d+λ₁sinθ₁+λ₂sinθ₂；

＝e_x+λ₁sinθ₁+λ₂sinθ₂

x∈R¹为台车位移，θ₁，θ₂∈R¹分别表示吊钩的摆角和负载绕吊钩的摆角；为广义的定位误差信号ξ_x关于时间的导数；

p_d∈R⁺为台车期望的目标位置，e_x∈R¹表示台车定位误差，其表达式为：e_x＝x-p_d；

tanh(ξ_x)为引入的双曲正切函数，能够减少初始驱动力，保证台车的平滑启动。

本发明还公开了一种带有初始输入约束的桥式吊车能量耦合器的具体实现方法，包括以下内容：

1.二级摆型桥式吊车系统动力学模型

图1所示为二级摆型桥式吊车系统的力学模型。对于固定绳长的二级摆型桥式吊车系统而言，其动力学模型可描述为：

$\begin{matrix} (M + m_{1} + m_{2}) \overset{\cdot\cdot}{x} + (m_{1} + m_{2}) l_{1} ({cosθ}_{1} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{1} - {\overset{\cdot}{θ}}_{1}^{2} {sinθ}_{1} \\ + m_{2} l_{2} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{2} {cosθ}_{2} - m_{2} l_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2}^{2} {sinθ}_{2} = F_{x} - F_{r x} \end{matrix}; - - - (1)$

$\begin{matrix} (m_{1} + m_{2}) l_{1} {cosθ}_{1} \overset{\cdot\cdot}{x} + (m_{1} + m_{2}) l_{1}^{2} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{1} + m_{2} l_{1} l_{2} c o s (θ_{1} - θ_{2}) {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{2} \\ + m_{2} l_{1} l_{2} \sin (θ_{1} - θ_{2}) {\overset{\cdot}{θ}}_{2}^{2} + (m_{1} + m_{2}) {gl}_{1} {sinθ}_{1} = 0 \end{matrix}; - - - (2)$

$\begin{matrix} m_{2} l_{2} {cosθ}_{2} \overset{\cdot\cdot}{x} + m_{2} l_{1} l_{2} c o s (θ_{1} - θ_{2}) {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{1} {+m}_{2} l_{2}^{2} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{2} \\ - m_{2} l_{1} l_{2} \sin (θ_{1} - θ_{2}) {\overset{\cdot}{θ}}_{1}^{2} + m_{2} {gl}_{2} {sinθ}_{2} = 0 \end{matrix}; - - - (3)$

其中M,m₁,m₂∈R⁺分别代表台车、吊钩与负载质量，l₁,l₂∈R⁺分别表示吊绳长度以及负载重心到吊钩重心的距离，x∈R¹为台车位移，θ₁,θ₂∈R¹分别表示吊钩摆角(第1级摆角)以及负载绕吊钩的摆角(第2级摆角)，F_x∈R¹为施加于台车上的驱动力，F_rx∈R¹代表台车与桥架间的摩擦力。选择如下模型近似表示摩擦力特性：

$F_{r x} = f_{r o x} \tanh (\frac{\overset{\cdot}{x}}{ϵ_{x}}) - k_{r x} | \overset{\cdot}{x} | \overset{\cdot}{x}; - - - (4)$

式中，f_rox,ε_x,k_rx∈R¹为相应的摩擦系数。定义作用于台车上的合力为F，则由图1可得：

F＝F_x-F_rx；(5)

为方便接下来控制器的设计与稳定性分析，将(1)-(3)写成矢量形式：

$M (q) \overset{\cdot\cdot}{q} + C (q, \overset{\cdot}{q}) \overset{\cdot}{q} + G (q) = U; - - - (6)$

其中，q＝[xθ₁θ₂]^T∈R³为系统的状态量，M(q)∈R^3*3表示惯量矩阵，代表向心-柯氏力矩阵，G(q)∈R³为重力向量，U∈R³表示控制量，它们的具体表达式如下：

$M (q) = (\begin{matrix} M + m_{1} + m_{2} & (m_{1} + m_{2}) l_{1} {cosθ}_{1} & m_{2} l_{2} {cosθ}_{2} \\ (m_{1} + m_{2}) l_{1} {cosθ}_{1} & (m_{1} + m_{2}) l_{1}^{2} & m_{2} l_{1} l_{2} c o s (θ_{1} - θ_{2}) \\ m_{2} l_{2} {cosθ}_{2} & m_{2} l_{1} l_{2} \cos (θ_{1} - θ_{2}) & m_{2} l_{2}^{2} \end{matrix});$

$C (q, \overset{\cdot}{q}) = (\begin{matrix} 0 & - (m_{1} + m_{2}) l_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} {sinθ}_{1} & - m_{2} l_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} {sinθ}_{2} \\ 0 & 0 & m_{2} l_{1} l_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} s i n (θ_{1} - θ_{2}) \\ 0 & - m_{2} l_{1} l_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} \sin (θ_{1} - θ_{2}) & 0 \end{matrix});$

G(q)＝[0(m₁+m₂)gl₁sinθ₁m₂gl₂sinθ₂]^T；

U＝[F00]^T；

q＝[xθ₁θ₂]^T；

不难证明惯量矩阵M(q)与向心-柯氏力矩阵之间存在下列关系：

$υ^{T} [\frac{1}{2} \overset{\cdot}{M} (q) - C (q, \overset{\cdot}{q})] υ = 0, \forall υ \in R^{3}; - - - (7)$

由图1可知，负载的水平位移表达式为：

x_p＝x+l₁sinθ₁+l₂sinθ₂；(8)

式(8)表明x_p既能反映台车的位移x(t)的信息，又能体现吊钩摆动θ₁(t)以及负载绕吊钩的摆动 θ₂(t)。基于式(8)的结构，定义一个广义的负载水平位移信号X_p为：

X_p＝x+λ₁sinθ₁+λ₂sinθ₂；(9)

其中，λ₁、λ₂为待调节的参数。

根据桥式吊车实际工作情况，对吊钩摆角、负载绕吊钩的摆角作如下合理的假设。

假设1：在整个运输过程中，吊钩摆角、负载绕吊钩的摆角始终在如下范围内：

$- \frac{π}{2} < θ_{1}, θ_{2} < \frac{π}{2}, \forall t \geq 0; - - - (10)$

2.控制器设计

吊车系统的能量可表示为：

$E (t) = \frac{1}{2} {\overset{\cdot}{q}}^{T} M (q) \overset{\cdot}{q} + (m_{1} + m_{2}) {gl}_{1} (1 - {cosθ}_{1}) + m_{2} {gl}_{2} (1 - {cosθ}_{2}); - - - (11)$

对式(11)关于时间求导，并将式(5)、(7)代入得：

$\begin{matrix} \overset{\cdot}{E} (t) \\ = {\overset{\cdot}{q}}^{T} (M (q) \overset{\cdot\cdot}{q} + \frac{1}{2} \overset{\cdot}{M} (q) \overset{\cdot}{q}) + (m_{1} + m_{2}) {gl}_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} {sinθ}_{1} + m_{2} {gl}_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} {sinθ}_{2} \\ = {\overset{\cdot}{q}}^{T} (U - G (q) - C (q, \overset{\cdot}{q}) \overset{\cdot}{q} + \frac{1}{2} \overset{\cdot}{M} (q) \overset{\cdot}{q}) + (m_{1} + m_{2}) {gl}_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} {sinθ}_{1} + m_{2} {gl}_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} {sinθ}_{2} \\ = {\overset{\cdot}{x}}^{T} (F_{x} - F_{r x}) \\ = {\overset{\cdot}{x}}^{T} F \end{matrix}; - - - (12)$

该式表明以F(t)为输入、为输出、E(t)为储能函数的二级摆型桥式吊车系统是无源的、耗散的。但是，由于吊车系统的欠驱动特性，在的表达式中并不包含与吊钩摆动θ₁(或) 以及负载绕吊钩的摆动θ₂(或)相关的信息。为解决这个问题，构造新型的能量函数E_t(t)，其关于时间的导数具有如下表达式：

${\overset{\cdot}{E}}_{t} (t) = {\overset{\cdot}{X}}_{p} F = \overset{\cdot}{E} + {\overset{\cdot}{E}}_{k_{1}} + {\overset{\cdot}{E}}_{k_{2}}; - - - (13)$

对式(9)关于时间求导，可得：

${\overset{\cdot}{X}}_{p} = \overset{\cdot}{x} + λ_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} {cosθ}_{1} + λ_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} {cosθ}_{2}; - - - (14)$

将式(1)-(3)、(14)代入式(13)，不难得到：

$\begin{matrix} {\overset{\cdot}{E}}_{k_{1}} = λ_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} {cosθ}_{1} F \\ = - (M + m_{1} + m_{2}) λ_{1} l_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} + λ_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} {cosθ}_{1} (m_{1} + m_{2}) l_{1} ({cosθ}_{1} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{1} - {\overset{\cdot}{θ}}_{1}^{2} {sinθ}_{1}) \\ - (M + m_{1} + m_{2}) λ_{1} {gsinθ}_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} - \frac{M + m_{1} + m_{2}}{m_{1} + m_{2}} m_{2} λ_{1} l_{2} {sinθ}_{1} {sinθ}_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{2} \\ - \frac{M}{m_{1} + m_{2}} m_{2} λ_{1} l_{2} {cosθ}_{1} {cosθ}_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} - \frac{M + m_{1} + m_{2}}{m_{1} + m_{2}} m_{2} λ_{1} l_{2} {sinθ}_{1} {sinθ}_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{2}^{2} \\ + \frac{M}{m_{1} + m_{2}} m_{2} λ_{1} l_{2} {cosθ}_{1} {sinθ}_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{2}^{2} \end{matrix}; - - - (15)$

以及

$\begin{matrix} {\overset{\cdot}{E}}_{k_{2}} = λ_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} {cosθ}_{2} F \\ = - (M + m_{1} + m_{2}) l_{2} λ_{2} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} + λ_{2} m_{2} l_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} {cosθ}_{2} ({\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{2} {cosθ}_{2} - {\overset{\cdot}{θ}}_{2}^{2} {sinθ}_{2}) \\ - (M + m_{1} + m_{2}) {gλ}_{1} {sinθ}_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} - {Ml}_{1} λ_{2} {cosθ}_{1} {cosθ}_{2} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} \\ - (M + m_{1} + m_{2}) l_{1} λ_{2} {sinθ}_{1} {sinθ}_{2} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} + {Ml}_{1} λ_{2} {sinθ}_{1} {cosθ}_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{1}^{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} \\ - (M + m_{1} + m_{2}) l_{1} λ_{2} {cosθ}_{1} {sinθ}_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{1}^{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} \end{matrix}; - - - (16)$

为保证式(15)+(16)可积，λ₁、λ₂需满足如下条件：

$\frac{M}{m_{1} + m_{2}} m_{2} λ_{1} l_{2} = {Ml}_{1} λ_{2} \Rightarrow \frac{λ_{1}}{λ_{2}} = \frac{(m_{1} + m_{2}) l_{1}}{m_{2} l_{2}}; - - - (17)$

基于此，式(15)+(16)可重新写为：

$\begin{matrix} {\overset{\cdot}{E}}_{k_{1}} + {\overset{\cdot}{E}}_{k_{2}} = - (M + m_{1} + m_{2}) λ_{1} l_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{1} + λ_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} {cosθ}_{1} (m_{1} + m_{2}) l_{1} ({cosθ}_{1} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{1} - {\overset{\cdot}{θ}}_{2}^{2} {sinθ}_{1}) \\ - (M + m_{1} + m_{2}) λ_{1} {gsinθ}_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} + λ_{2} m_{2} l_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} {cosθ}_{2} ({\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{2} {cosθ}_{2} - {\overset{\cdot}{θ}}_{2}^{2} {sinθ}_{2}) \\ - (M + m_{1} + m_{2}) {gλ}_{2} {sinθ}_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} - (M + m_{1} + m_{2}) l_{2} λ_{2} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} \\ - {Ml}_{1} λ_{2} \frac{d}{d t} ({\overset{\cdot}{θ}}_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} {cosθ}_{1} {cosθ}_{2}) - (M + m_{1} + m_{2}) l_{1} λ_{2} \frac{d}{d t} ({\overset{\cdot}{θ}}_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} {sinθ}_{1} {sinθ}_{2}) \end{matrix}; - - - (18)$

为不失一般性，将初始台车位置、速度、吊钩摆动、吊钩摆动角速度、负载绕吊钩的摆动、负载绕吊钩的摆动角速度设置为0，即：

$x (0) = 0, \overset{\cdot}{x} (0) = 0, θ_{1} (0) = θ_{2} (0) = 0, {\overset{\cdot}{θ}}_{1} (0) = {\overset{\cdot}{θ}}_{2} (0) = 0; - - - (19)$

对式(18)关于时间积分，并将式(19)代入可得：

$\begin{matrix} E_{k_{1}} + E_{k_{2}} = - \frac{1}{2} (M + m_{1} + m_{2}) (λ_{1} l_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1}^{2} + λ_{2} l_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{1}^{2}) + \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) λ_{1} l_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1}^{2} \cos^{2} θ_{1} \\ + \frac{1}{2} m_{2} λ_{2} l_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2}^{2} \cos^{2} θ_{2} - {Ml}_{1} λ_{2} ({\overset{\cdot}{θ}}_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} {cosθ}_{1} {cosθ}_{2}) \\ - (M + m_{1} + m_{2}) l_{1} λ_{2} ({\overset{\cdot}{θ}}_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} {sinθ}_{1} {sinθ}_{2}) \\ - (M + m_{1} + m_{2}) g [λ_{1} (1 - {cosθ}_{1}) + λ_{2} (1 - {cosθ}_{2})] \end{matrix}; - - - (20)$

由式(17)可知，当λ₁,λ₂<0时，有：

$λ_{1} l_{2} l_{1} λ_{2} = \frac{(m_{1} + m_{2})}{m_{2}} l_{1}^{2} λ_{2}^{2} > l_{1}^{2} λ_{2}^{2}; - - - (21)$

由λ₁,λ₂<0、(20)、(21)以及a²+b²≥2ab不等式性质可得：

$\begin{matrix} E_{k_{1}} + E_{k_{2}} \\ = - \frac{1}{2} (M + m_{1} + m_{2}) (λ_{1} l_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1}^{2} \sin^{2} θ_{1} + λ_{2} l_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2}^{2} \sin^{2} θ_{2}) \\ - (M + m_{1} + m_{2}) l_{1} λ_{2} ({\overset{\cdot}{θ}}_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} {sinθ}_{1} {sinθ}_{2}) \\ - \frac{1}{2} M (λ_{1} l_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1}^{2} \cos^{2} θ_{1} + λ_{2} l_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2}^{2} \cos^{2} θ_{2}) \\ - {Ml}_{1} λ_{2} ({\overset{\cdot}{θ}}_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} {cosθ}_{1} {cosθ}_{2}) - \frac{1}{2} m_{1} λ_{2} l_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2}^{2} \cos^{2} θ_{2} \\ - (M + m_{1} + m_{2}) g [λ_{1} (1 - {cosθ}_{1}) + λ_{2} (1 - {cosθ}_{2})] \geq 0 \end{matrix}; - - - (22)$

结合系统能量E(t)非负的结论，可得：

E_t(t)＝E+E_k1+E_k2≥0；(23) 为促进接下来控制器的设计与稳定性分析，引入如下的广义定位误差信号：

ξ_x＝X_p-p_d

＝x-p_d+λ₁sinθ₁+λ₂sinθ₂；(24)

＝e_x+λ₁sinθ₁+λ₂sinθ₂

其中，p_d∈R⁺为台车期望的目标位置，e_x∈R¹表示台车定位误差，其表达式为：

e_x＝x-p_d；(25)

对式(24)关于时间求导，得：

${\overset{\cdot}{ξ}}_{x} = {\overset{\cdot}{X}}_{p} = {\overset{\cdot}{e}}_{x} + λ_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} {cosθ}_{1} + λ_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} {cosθ}_{2}; - - - (26)$

那么式(13)可改写为：

${\overset{\cdot}{E}}_{t} (t) = {\overset{\cdot}{ξ}}_{x} F; - - - (27)$

基于式(27)的结构，设计具有初始控制输入约束的能量耦合控制器为：

$F_{x} = F_{r x} - k_{p} \tanh (ξ_{x}) - k_{d} {\overset{\cdot}{ξ}}_{x}; - - - (28)$

式中，k_p,k_d∈R⁺为正的控制增益。

式(28)中引入双曲正切函数的目的是减少初始驱动力，从而保证台车的平滑启动。下面给出证明：在初始时刻t＝0时，有：

$\begin{matrix} x (0) = 0, \overset{\cdot}{x} (0) = 0, θ_{1} (0) = θ_{2} (0) = 0, {\overset{\cdot}{θ}}_{1} (0) = {\overset{\cdot}{θ}}_{2} (0) = 0 \\ \Rightarrow F_{r x} = 0, {\overset{\cdot}{ξ}}_{x} = 0, ξ_{x} = - p_{d} \end{matrix}; - - - (29)$

由(28)可得初始驱动力为：

|F_x(t)|＝|k_ptanh(-p_d)|≤k_pmin{|p_d|,1}；(30)

因此，当台车的目标位置与初始位置距离较远时，即：

|e_x(0)|＝p_d＞＞1；(31)

所设计的能量耦合控制器可大大的减少初始驱动力，从而保证台车的平滑启动、降低台车的加速度以及避免负载的大幅度摆动。

3、稳定性分析

定理1：基于能量耦合的控制器(28)可保证台车的定位误差收敛于0，同时快速的抑制并消除吊钩摆动、负载绕吊钩的摆动，即：

$\lim_{t \to \infty} {(\begin{matrix} x (t) & \overset{\cdot}{x} (t) & θ_{1} (t) & θ_{2} (t) & {\overset{\cdot}{θ}}_{1} (t) & {\overset{\cdot}{θ}}_{2} (t) \end{matrix})}^{T} = {(\begin{matrix} p_{d} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})}^{T}; - - - (32)$

证明：选择如下的正定函数作为Lyapunov候选函数：

V(t)＝E_t(t)+k_pln[cosh(ξ_x)]；(33)

对V(t)关于时间求导数，并代入式(27)、(28)，可得：

$\overset{\cdot}{V} (t) = {- k}_{d} {\overset{\cdot}{ξ}}_{x}^{2} \leq 0; - - - (34)$

这表明所设计的闭环系统的平衡点是Lyapunov稳定的，并且V(t)是非增的，那么则有：

V(t)∈L_∞；(35)

因此，由式(4)、(14)、(24)、(26)、(28)、(33)以及(35)可得：

$\overset{\cdot}{x}, {\overset{\cdot}{θ}}_{1}, {\overset{\cdot}{θ}}_{2}, F_{x}, F_{r x}, ξ_{x}, {\overset{\cdot}{ξ}}_{x}, e_{x}, {\overset{\cdot}{e}}_{x} \in L_{\infty}; - - - (36)$

为完成定理的证明，定义集合Φ为：

$Φ = {x, \overset{\cdot}{x}, θ_{1}, {\overset{\cdot}{θ}}_{1}, θ_{2}, {\overset{\cdot}{θ}}_{2} | \overset{\cdot}{V} (t) = 0}; - - - (37)$

同时定义S为Φ中的最大不变集，因此，在集合S中，有：

${\overset{\cdot}{ξ}}_{x} = \overset{\cdot}{x} + λ_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} {cosθ}_{1} + λ_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2} {cosθ}_{2} = 0; - - - (38)$

对式(38)时关于时间积分可得：

ξ_x＝e_x+λ₁sinθ₁+λ₂sinθ₂＝α；(39)

其中，α为一待定常数。

对式(38)关于时间求导可得：

${\overset{\cdot\cdot}{ξ}}_{x} = \overset{\cdot\cdot}{x} + λ_{1} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{1} {cosθ}_{1} - λ_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1}^{2} {sinθ}_{1} + λ_{2} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{2} {cosθ}_{2} - λ_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2}^{2} {sinθ}_{2} = 0; - - - (40)$

接下来，需确定α的取值。将式(38)、(39)代入(28)，可得：

F_x-F_rx＝-k_ptanhα；(41)

由式(40)可知：

$λ_{1} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{1} {cosθ}_{1} - λ_{1} {\overset{\cdot}{θ}}_{1}^{2} {sinθ}_{1} + λ_{2} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{2} {cosθ}_{2} - λ_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2}^{2} {sinθ}_{2} = - \overset{\cdot\cdot}{x}; - - - (42)$

对式(1)进行整理可得：

${cosθ}_{1} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{1} - {\overset{\cdot}{θ}}_{1}^{2} {sinθ}_{1} + \frac{m_{2} l_{2}}{(m_{1} + m_{2}) l_{1}} ({\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{2} {cosθ}_{2} - {\overset{\cdot}{θ}}_{2}^{2} {sinθ}_{2}) = \frac{1}{(m_{1} + m_{2}) l_{1}} [F - (M + m_{1} + m_{2}) \overset{\cdot\cdot}{x}] - - - (43)$

由式(43)、(17)、(42)可得：

$\overset{\cdot\cdot}{x} = - \frac{k_{p} λ_{1}}{(m_{1} + m_{2}) l_{1} + (M + m_{1} + m_{2}) λ_{1}} \tanh α; - - - (44)$

为求取α的取值，不妨假设α≠0，则由式(44)可得：

这与式(36)中相矛盾。因此假设不成立。也就是说，在S中，有：

α＝0；(46)

将式(46)代入式(41)、(44)可得：

$F_{x} - F_{r x} = 0, \overset{\cdot\cdot}{x} = 0 \to \overset{\cdot}{x} = {\overset{\cdot}{e}}_{x} = β; - - - (47)$

同理可得：

$β = 0 \to \overset{\cdot}{x} = {\overset{\cdot}{e}}_{x} = 0; - - - (48)$

对桥式吊车系统而言，吊钩和负载的摆动足够小，因此可作如下近似：

sinθ₁≈θ₁,sinθ₂≈θ₂,cosθ₁≈1,cosθ₂≈1；(49)

将式(47)、(49)代入式(1)-(3)，式(1)-(3)可写成如下形式：

$(m_{1} + m_{2}) l_{1} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{1} + m_{2} l_{2} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{2} = 0; - - - (50)$

$(m_{1} + m_{2}) l_{1} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{1} + m_{2} l_{2} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{2} + (m_{1} + m_{2}) {gθ}_{1} = 0; - - - (51)$

$l_{1} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{1} + l_{2} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{2} + g >{sinθ}_{2}=0;---(52)$

由式(10)、(50)-(52)知，在S中有：

θ₁＝0；(53)

则可得其一阶、二阶导数为：

${\overset{\cdot}{θ}}_{1} = 0, {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{1} = 0; - - - (54)$

由式(50)、(52)-(54)可得：

θ₂＝0；(55)

相应地，在S中有：

${\overset{\cdot}{θ}}_{2} = 0, {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{2} = 0; - - - (56)$

将式(53)、(55)代入(39)，易得：

e_x＝0→x＝p_d；(57)

综上可知，最大不变集S仅包含平衡点 ${(\begin{matrix} x (t) & \overset{\cdot}{x} (t) & θ_{1} (t) & θ_{2} (t) & {\overset{\cdot}{θ}}_{1} (t) & {\overset{\cdot}{θ}}_{2} (t) \end{matrix})}^{T} =$ ${(\begin{matrix} p_{d} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})}^{T} .$ 根据LaSalle不变性原理，可证得本定理。

4、数值仿真与分析

为验证所提控制算法(28)的有效性，接下来进行几组仿真实验。仿真环境为 Matlab/Simulink。二级摆型桥式吊车系统模型参数设定如下：

M＝20kg,m₁＝1kg,m₂＝5kg,l₁＝2m,l₂＝0.4m,g＝9.8m/s²；(58)

将台车的初始位置、吊钩的初始摆角以及负载绕吊钩的初始摆角设定为0。摩擦力参数设定为：

f_rox＝8,k_rx＝-1.2,ε_x＝0.01；(59)

台车期望的目标位置为：

p_d＝2m；(60)

4.1对比实验

为验证本发明所提控制算法的实际控制性能，将本方法与基于无源性的控制方法、CSMC 控制器进行实验对比。为了叙述的完整性，给出了基于无源性的控制方法以及CSMC控制方法的表达式：

1)基于无源性的控制方法

$F_{x} = F_{r x} - {(k_{E} I + k_{D} {ZM}^{- 1} (q) Z^{T})}^{- 1} [k_{p} (x - p_{d}) + k_{D} {ZM}^{- 1} (q) (C (q, \overset{\cdot}{q}) \overset{\cdot}{q} + G (q)) + k_{d} \overset{\cdot}{x}]; - - - (61)$

其中，k_E,k_D,k_p,k_d∈R⁺为正的控制增益，I为单位矩阵，Z＝[100]。

2)CSMC控制方法

$\begin{matrix} F_{x} = - (M + m_{1} + m_{2}) \overset{\cdot\cdot}{x} (λ \overset{\cdot}{x} + α {\overset{\cdot}{θ}}_{1} + β {\overset{\cdot}{θ}}_{2}) - (m_{1} + m_{2}) l_{1} ({cosθ}_{1} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{1} - {\overset{\cdot}{θ}}_{1}^{2} {sinθ}_{1}) \\ - m_{2} l_{2} {\overset{\cdot\cdot}{θ}}_{2} {cosθ}_{2} + m_{2} l_{2} {\overset{\cdot}{θ}}_{2}^{2} {sinθ}_{2} + F_{r x} - K >sgn(s) \end{matrix}; - - - (62)$

式中，λ，α∈R⁺,β∈R^—为控制增益，为滑动面。

本发明所提控制器、基于无源性的控制器、CSMC控制器的控制增益参见表1。所得的实验结果如图2-4所示，对应的量化结果参见表2。在表2中，调节时间表示摆角进入范围 θ₁(t)|≤0.5°以及|θ₂(t)|≤0.5°的时刻。

表1.控制增益

表2.控制性能比较

由图2-4以及表2可知，这三种控制器均可实现台车的快速、精确定位，并充分抑制与消除系统的两级摆动。本方法的暂态性能优于其它两种控制方法，并且其结构最简单，对应的吊钩、负载绕吊钩的摆动最小，当台车到达目标位置时几乎无残余摆动。具体体现为：在运送时间相近的情况下(均在8s以内)，本方法可将吊钩摆角、负载绕吊钩的摆角抑制在更小的范围内(吊钩最大摆角1.66°并几乎无残余摆动、负载绕吊钩的最大摆角1.68°并几乎无残余摆动)。虽然CSMC控制器的调节时间少于本方法，不过本方法的最大驱动力(初始驱动力)是这三种方法中最小的。因此，这些实验结果表明了本方法可提高二级摆型桥式吊车系统的暂态性能。

4.2鲁棒性实验

为验证所提控制算法(28)对参数变化与外部扰动的鲁棒性，将数值仿真分成四组。

第一组仿真：吊车系统的自然频率取决于吊绳的长度，绳长的变化直接影响吊钩以及负载绕吊钩的摆动。为验证本发明控制器针对不同绳长的鲁棒性，考虑以下三种情形：

1)l₁＝1m；

2)l₁＝2m；

3)l₁＝4m。

在这三种情形中，控制器增益保持不变，如表1所示。仿真结果如图5所示。由图5可知，所提控制方法的性能几乎未受到绳长变化的影响，这表明其对绳长的变化不敏感。

第二组仿真：为验证所提控制方法对负载质量的鲁棒性，考虑如下三种情况：

1)m₂＝1kg；

2)m₂＝3kg；

3)m₂＝5kg。

这三种情况下，控制增益与第一组中保持一致。相应的仿真结果如图6所示。可见针对不同的负载质量，台车依然能够快速、准确的到达目标位置，同时负载摆动得以快速消除，几乎无残余摆动。这些仿真结果表明了本发明所提控制算法对不同的负载质量具有强鲁棒性。

第三组仿真：接下来，进一步测试本方法在台车运送距离发生变化而控制增益不变时的性能。因此，控制增益与第一组仿真中的保持一致。考虑以下四种台车目标位置：

1)p_d＝1m；

2)p_d＝2m；

3)p_d＝3m；

4)p_d＝4m。

仿真结果如图7所示。由图7可知，针对不同的目标位置，台车仍可快速、准确的到达目标位置，同时在整个运输过程中，负载、吊钩的摆动始终小于1.7°，并且几乎无残余摆动。也就是说，当目标位置增大时，负载摆动的幅值并未明显的增加，这也证明了本文所提控制算法有效减少了驱动力的初始值，实现台车的平滑启动，从而减少负载摆动的幅值。

第四组仿真：为模拟外部扰动，在台车运输过程中对第二级摆角添加三种类型的外部干扰。具体来说，在3到4秒间施加脉冲扰动，11到12秒间施加正弦扰动，15到16秒间施加随机扰动，这三种扰动的幅值均为2°。

相应的仿真结果如图8所示。由图8可知，本文所设计控制器可快速有效地抑制并消除这些外部扰动，表明了本方法的强鲁棒性。

本发明针对二级摆型桥式吊车系统提出了一种具有初始控制输入约束的基于能量耦合的控制方法，这种方法可以解决现有调节控制方法不能保证台车平滑启动的缺点。所提控制方法结构简单，并且通过引入一个广义的负载水平位移信号，加强了台车运动、吊钩摆动、负载绕吊钩的摆动之间的耦合关系，提升了控制器在定位消摆方面的暂态性能。此外，为保证台车的平滑启动，减少驱动力的初始值，在控制率中引入了平滑的双曲正切函数。数值仿真结果验证了所提控制方法的可行性、有效性以及对负载质量、绳长、目标位置变化与不同外部扰动的强鲁棒性。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

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