一种高精度、高空间分辨率的横向剪切干涉波前测量方法

摘要

一种高精度、高空间分辨率的横向剪切干涉波前测量方法，在x和y方向分别进行两次测量，第二次测量采用的剪切量比第一次测量采用的剪切量大1，即若x和y方向第一次测量的剪切量分别为S

说明书

技术领域

本发明属于光学检测技术领域，涉及一种横向剪切干涉波前测量方法，特别是一种高精度、高空间分辨率的横向剪切干涉波前测量方法。

背景技术

横向剪切干涉是一种自干涉波前测量技术，待测波前与其自身横向平移的部分产生干涉，消除了对额外参考波面的需求，因此理论上可以达到很高的测量精度。横向剪切干涉是一种共光路干涉技术，其对振动和环境扰动不敏感，对测量环境的要求不高。另外，横向剪切干涉对光源的空间相干性要求较低，且其灵敏度可以通过调整剪切量的大小进行调节。由于以上优点，横向剪切干涉在波前测量领域得到了很重要的应用。随着波前测量精度要求进入亚纳米尺度，横向剪切干涉的重要性日益凸显，尤其是在光刻技术领域。光刻机是极大规模集成电路制造的核心装备，其投影物镜是一直是高端光学成像系统的代表。集成电路特征尺寸的持续缩小，对光刻机投影物镜的分辨率提出的要求越来越高，因此对投影物镜波像差的检测和控制技术的精度要求也越来越高。目前最高端的商用光刻机的投影物镜的波像差已经控制到亚纳米量级，波像差检测技术的精度需要达到更高。无论是对当前最高端的、用于1xnm节点集成电路量产的商用光刻机，即193nm浸没式光刻，还是最有希望在10nm以下节点实现量产的下一代光刻技术，即极紫外光刻，横向剪切干涉都是能够用于投影物镜波像差原位检测的、为数不多的几种技术中的重要的一种。特别地，国际光刻机巨头ASML公司在其系列商用高端光刻机中以横向剪切干涉技术作为投影物镜波像差原位检测技术，其具有测量精度高、速度快、工作稳定、系统结构简单等优点。在ASML公司当前最先进的面向1xnm节点的商用光刻机NXT1970Ci中，同样采用横向剪切干涉作为其波像差检测技术，且能够同时实现掩模同轴对准功能。简言之，横向剪切干涉技术是当今非常重要的一种高精度的波前测量技术。

横向剪切干涉的一个特点，同时也是一个缺点，是其直接的测量结果不是待测波前自身，而是其在两个正交剪切方向上的差分，即差分波前，因此需要从差分波前中重建出待测波前。重建方法有很多种，可以分为模式法和区域法两大类。模式法是将待测波前展开为一组基函数，通过测量的差分波前求解待测波前的基函数系数。模式法是一种拟合方法，其拟合的精度受限于重建采用的基函数的项数。参与重建的项数越多，则重建精度越高，反之亦然。然而，受限于计算机的计算能力，以及计算时间的要求，参与重建的项数不可能无限制的增大，因此，模式法重建存在原理性误差。而且，重建的空间分辨率也受限于参与重建的项数，对于较复杂的像差，通过低阶项不能重建。区域法是根据剪切原理通过一个系数矩阵建立离散的待测波前和离散的差分波前之间的关系方程组，通过最小二乘法求解待测波前在一系列离散点上的值的方法。与模式法相比，区域法理论上精度更高、空间分辨率更高，可以用于分析高阶像差。因此区域法是一种很重要的横向剪切干涉波前重建方法。

区域法有很多种，且不同的区域法对测量过程的要求不同。根据测量次数的不同，可以分为两次测量法、四次测量法和多方向多次测量法。两次测量法是常规方法，即在相互正交的两个方向上分别进行一次剪切干涉测量。这种方法以Rimmer方法(在先技术[1]：M.P.Rimmer,“Methodforevaluatinglateralshearinginterferograms,”Appl.Opt.13,623-629(1974).)为代表，其缺点是重建波前的空间分辨率受限于剪切量的大小，空间分辨率与剪切量成反比，剪切量大则空间分辨率低，剪切量小则空间分辨率高，其原因是重建波前的抽样间隔只能等于剪切量，而不能小于剪切量。因此，为获得高空间分辨率的波前测量结果，必须采用非常小的剪切量，而在小剪切量的情况下，横向剪切干涉测量信号的信噪比很低。

为解决这个问题，Dai等人提出一种线性插值法(在线技术[2]：FengzhaoDai,FengTang,XiangzhaoWang,OsamiSasaki,“Generalizedzonalwavefrontreconstructionforhighspatialresolutioninlateralshearinginterferometry,”J.Opt.Soc.Am.A29,2038-2047(2012).)，这种方法将待测波前和差分波前通过一个非列满秩的系数矩阵相关联，通过给待测波前赋初始值的方法将非列满秩的系数矩阵拓展为列满秩，并通过线性插值方法从两个正交方向的差分波前中计算出初始值，最后通过最小二乘法重建出待测波前。这种方法重建波前的抽样间隔直接由CCD的像素尺寸决定，而不受限于剪切量的大小，在大剪切量下也可以实现高空间分辨率的重建。这种方法的缺点是重建精度低，因为重建精度受限于初始值的精度，通过线性插值法计算的初始值精度不高，不能满足高精度的波前测量需求。为提高测量精度，Dai等人提出一种模式法与区域法的混合重建方法(在先技术[3]：FengzhaoDai,FengTang,XiangzhaoWang,OsamiSasaki,andMinZhang,“Highspatialresolutionzonalwavefrontreconstructionwithimprovedinitialvaluedeterminationschemeforlateralshearinginterferometry,”Appl.Opt.52,3946-3956(2013).)，这种方法首先通过模式法重建待测波前，然后将部分重建结果作为初始值通过区域法重建出待测波前，这种方法同样可以在大剪切量下实现高空间分辨率的重建，其相对线性插值法在一定程度上可以提高波前重建精度，但是如前所述，通过模式法重建获取的初始值仍然是一种估计，因此这种方法同样不能满足高精度(如亚纳米)的波前测量需求。Yin提出一种四次测量区域法(在先技术[4]：Z.Yin,“Exactwavefrontrecoverywithtiltfromlateralshearinterferograms,”Appl.Opt.48,2760–2766(2009).)，在两个相互正交的方向上分别进行两次测量，根据每个测量方向待重建的点数，对该方向上的两次测量的剪切量进行设计，可以使重建波前的抽样间隔与剪切量无关，从而实现高空间分辨率的重建。由于未采用任何的估计或拟合，因此这种方法理论上可以实现完美的重建，重建精度仅受限于计算机的舍入误差。这种方法可以满足高精度甚至是亚纳米精度的波前测量需求。但是这种方法存在剪切量受限的问题，某个测量方向的两次测量的剪切量需满足它们的乘积等于该方向待测波前抽样点数的限制。这就使得剪切量的可选择范围很小。Nomura提出一种多方向测量法(在先技术[5]：T.Nomura,S.Okuda,K.Kamiya,H.Tashiro,andK.Yoshikawa,“ImprovedSaundersmethodfortheanalysisoflateralshearinginterferograms,”Appl.Opt.41,1954–1961(2002).)，这种方法与常规的在相互正交的两个方向上进行剪切测量不同，其在多个方向上进行多次剪切测量，这种方法可以在大剪切量下实现高精度、高空间分辨率的重建。但是其缺点也很明显，即需要进行很多次的测量，测量过程复杂，也很耗时。

发明内容

本发明的目的在于克服上述在先技术的不足，提供一种高精度、高空间分辨率的横向剪切干涉波前测量方法。这种方法通过在相互正交的两个方向上分别进行两次测量，可以在大剪切量下实现完美的二维波前重建，即理论上无重建误差，且空间分辨率仅受限于光电探测器的像素尺寸，而与剪切量无关。且每个方向上两次测量采用的剪切量可以在一个最大值下自由选取，选择范围更大。

本发明的技术解决方案如下：

一种高精度、高空间分辨率的横向剪切干涉波前测量方法，其特征在于该方法在相互正交的x和y两个方向上分别进行两次测量，两次测量分别采用不同的剪切量，且第二次测量的剪切量是第一次测量的剪切量加1，即如果x和y方向第一次测量的剪切量分别为S_x和S_y，则x和y方向第二次测量的剪切量分别为S_x+1和S_y+1，通过x和y方向的第一次测量建立离散的待测波前和离散的差分波前测量值之间关系的线性方程组，然后通过x和y方向的第一次和第二次测量得到的离散的差分波前计算求解所述线性方程组所需的初始值，最后利用这些初始值通过最小二乘法求解所述的线性方程组，计算出离散的待测波前，最终实现高精度、高空间分辨率的波前测量。

上述高精度、高空间分辨率的横向剪切干涉波前测量方法采用的测量系统包括剪切发生装置、二维光电探测器和计算机，该二维光电探测器的输出端与计算机的输入端相连，测量时将光电探测器置于剪切发生装置之后，具体的测量步骤如下：

(1)、进行x方向的两次测量

调整剪切发生装置，使剪切沿x方向，首先进行第一次测量，调整剪切发生装置，将剪切量设置为S_x，S_x为整数，待测波前穿过剪切发生装置后，产生两个与待测波前完全相同的波前，所述的两个完全相同的波前发生干涉，通过二维光电探测器获取干涉信号I_x1，并输入计算机保存，所述的两个完全相同的波前在x方向有一个横向错位，横向错位量在二维光电探测器的成像面上为S_x个像素，所述的像素为二维光电探测器的基本成像单元；然后调整剪切发生装置，将剪切量设置为S_x+1，通过二维光电探测器获取x方向第二次测量的剪切干涉信号，表示为I_x2，并输入计算机保存；

(2)、进行y方向的两次测量

调整剪切发生装置，使剪切沿y方向，首先进行第一次测量，调整剪切发生装置，将剪切量设置为S_y，S_y为整数，待测波前穿过剪切发生装置后，产生两个与待测波前完全相同的、在y方向有一个横向错位的波前，横向错位量在二维光电探测器成像面上为S_y个像素，两个波前发生干涉，通过二维光电探测器获取干涉信号I_y1，并输入计算机保存；调整剪切发生装置将剪切量设置为S_y+1，通过二维光电探测器获取y方向第二次测量的剪切干涉信号I_y2，并输入计算机保存；

(3)、从干涉图中计算差分波前

通过干涉图相位提取方法(参见：MalacaraZ,ServinM.Interferogramanalysisforopticaltesting[M].CRCpress,2005.)从计算机保存的干涉信号I^x1、I^x2中分别提取x方向第一次测量和第二次测量的相位和并从两个相位中分别计算差分波前ΔW^x1和ΔW^x2，计算公式分别为和ΔW^x1和ΔW^x2均为二维矩阵数据，维度分别为N×(N-S_x)和N×(N-S_x-1)，N表示待测波前W在x或y方向的离散点数，N为正整数；通过干涉图相位提取方法从计算机保存的干涉信号I_y1、I_y2中分别提取y方向第一次测量和第二次测量的相位和并从两个相位分别计算差分波前ΔW^y1和ΔW^y2，计算公式分别为和ΔW^y1和ΔW^y2均为二维矩阵数据，维度分别为(N-S_y)×N和(N-S_y-1)×N；

(4)、差分波前矢量化

将二维矩阵数据的差分波前ΔW^x1进行重新排列，表示为一维矢量数据ΔW^x1，排列的方式为逐行排列，即二维矩阵数据ΔW^x1的第1行数据为一维矢量数据ΔW^x1的第1个至第N-S_x个数据，二维矩阵数据ΔW^x1的第2行数据为一维矢量数据ΔW^x1的第N-S_x+1个至第2(N-S_x)个数据，依此类推，直至二维矩阵数据ΔW^x1的最后一行，即第N行；将二维矩阵数据的差分波前ΔW^y1进行重新排列，表示为一维矢量数据ΔW^y1，排列的方式为逐行排列，即二维矩阵数据ΔW^y1的第1行数据为一维矢量数据ΔW^y1的第1个至第N个数据，二维矩阵数据ΔW^y1的第2行数据为一维矢量数据ΔW^y1的第N+1个至第2N个数据，依次类推，直至二维矩阵数据ΔW^y1的最后一行，即第N-S_y行；

(5)、计算初始值

在离散的待测波前W上选定一个点，将该点在离散的待测波前W上的坐标表示为(r,c)，r和c分别表示离散的待测波前W的第r行和第c列，以该点为起始点在W上取一个S_y×S_x的子网格，将该子网格命名为初始值网格，该初始值网格子网格四个顶点的坐标分别为(r,c)、(r,c+S_x-1)、(r+S_y-1,c)及(r+S_y-1,c+S_x-1)。

首先将待测波前W在(r,c)点的值设置为零，即W_r,c＝0，然后通过x方向的两次测量的差分波前ΔW^x1和ΔW^x2及W_r,c＝0逐个迭代计算初始值网格第一行除(r,c)点外的其他值，即W_r,j，j＝c+1,c+2,…,c+S_x-1计算公式如下：

$\left(\begin{array}{c}{W}_{r,c+S_x+1}={\mathrm{\Delta W}}_{r,c}^{x2}+W_{r,c}\\ W_{r,c+1}=W_{r,c+S_x+1}-{\mathrm{\Delta W}}_{r,c+1}^{x1}\\ W_{r,c+S_x+2}={\mathrm{\Delta W}}_{r,c+1}^{x2}+W_{r,c+1}\\ W_{r,c+2}=W_{r,c+S_x+2}-{\mathrm{\Delta W}}_{r,c+2}^{x1}\\ \begin{array}{c}·\\ ·\\ ·\end{array}\\ W_{r,c+2S_x-1}={\mathrm{\Delta W}}_{r,c+S_x-2}^{x2}+W_{r,c+S_x-2}\\ W_{r,c+S_x-1}=W_{r,c+2S_x-1}-{\mathrm{\Delta W}}_{r,c+S_x-1}^{x1}\end{array}\right)$

然后通过W_r,c＝0及W_r,j(j＝c+1,c+2,…,c+S_x-1)结合y方向两次测量的差分波前ΔW^y1和ΔW^y2逐行计算初始值网格其余点上的值，即W_i,j,i＝r+S_y+1～r+S_y-1，j＝c～c+S_x-1，每一行的值逐个迭代计算，计算公式如下：

$\left(\begin{array}{c}{W}_{r+S_y+1,j}={\mathrm{\Delta W}}_{r,j}^{y2}+W_{r,j}\\ W_{r+1,j}=W_{r+S_y+1,j}-{\mathrm{\Delta W}}_{r+1,j}^{y1}\\ W_{r+S_y+2,j}={\mathrm{\Delta W}}_{r+1,j}^{y2}+W_{r+1,j}\\ W_{r+2,j}=W_{r+S_y+2,j}-{\mathrm{\Delta W}}_{r+2,j}^{y1}\\ \begin{array}{c}·\\ ·\\ ·\end{array}\\ W_{r+2S_y-1,j}={\mathrm{\Delta W}}_{r+S_y-2,j}^{y2}+W_{r+S_y-2,j}\\ W_{r+S_y-1,j}=W_{r+2S_y-1,j}-{\mathrm{\Delta W}}_{r+S_y-1,j}^{y1}\end{array}\right)$

待测波前在初始值网格上的值计算完成后，将这些值表示为维度为S_y×S_x二维矩阵如下：

将二维矩阵数据采取逐行排列的方式表示为维度为S_yS_x×1的一维列向量排列方式为的第一行数据为的第1个至S_x个数据，的第二行数据为的第S_x+1个数据至第2S_x个数据，以此类推，直至的第S_y行数据，的形式如下：

${\tilde{W}}_s=\left(\begin{array}{c}{W}_{r,c}\\ W_{r,c+1}\\ \begin{array}{c}·\\ ·\\ ·\end{array}\\ W_{r,c+S_x-1}\\ W_{r+1,c}\\ W_{r+1,c+1}\\ \begin{array}{c}·\\ ·\\ ·\end{array}\\ W_{r+1,c+S_x-1}\\ \begin{array}{c}·\\ ·\\ ·\end{array}\\ W_{r+S_y-1,c}\\ W_{r+S_y-1,c+1}\\ \begin{array}{c}·\\ ·\\ ·\end{array}\\ W_{r+S_y-1,c+S_x-1}\end{array}\right)$

(6)、波前重建

求解出初始值列向量后，即可通过最小二乘法求解拓展后的线性方程组M_eW＝ΔW_e，求解方法为：

$\hat{W}={\left({M_e}^T{M}_e\right)}^{-1}{M_e}^T{\mathrm{\Delta W}}_e$

其中，

$M_e=\left(\begin{array}{c}{M}^x\\ M^y\\ H\end{array}\right)$及${\mathrm{\Delta W}}_e=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta W}}^{x1}\\ {\mathrm{\Delta W}}^{y1}\\ {\tilde{W}}_s\end{array}\right)$

而H、M^y及M^x分别由以下几式给出，

$H_{ij}=\left(\begin{array}{cc}1,& j=[r+(k-2)]\times N+c+(l-1)\\ 0,& otherwise\end{array}\right)$

$M^y[m,n]=\left(\begin{array}{cc}-1,& m=n\\ 1,& m=n-{\mathrm{NS}}_y\\ 0,& otherwise\end{array}\right)$

及$M_x[m,n]=\left(\begin{array}{cc}-1,& m=n\\ 1,& m=n-S_x\\ 0,& otherwise\end{array}\right)$

表示重建后待测波前列向量，其维度为N²×1，将N²×1的一维列向量重新排列为N×N的二维矩阵格式，即为最终波前测量结果排列方式为将其一维列向量的1到第N个数据作为二维矩阵的第2行数据，将的N+1到第2N个数据作为的第2行数据，以此类推，直至的第(N-1)N+1到第N²个数据作为的第N行。

本发明的原理为：相对传统的在x和y方向分别进行两次测量的方法，本发明在x和y方向分别增加一次测量，剪切量相对前一次测量分别增加1，通过第一次测量建立待测波前和差分波前之间的线性方程组，通过第一次测量和第二次测量得到的差分波前计算该线性方程组求解所需的初始值，这些初始通过测量数据求得，因此是精确值，而不是估计值，使得重建精度得到大幅提高；两个方向各增加一次测量，未被第一次测量数据相关联的待测波前数据点，通过第二次测量发生关联，使得抽样间隔不再受限于剪切量，因此即使在大剪切量下也可实现高空间分辨率重建；另外，本发明单方向两次测量的两个剪切量可自由选择，不受必须可被该方向抽样点数整除的限制。

本发明与在先技术相比，具有以下优点：

1、与在先技术[1]相比，本发明待测波前的抽样间隔不受剪切量大小的限制，在大剪切量下也可以实现高空间分辨率的重建；

2、与在先技术[2]和在先技术[3]相比，本发明采取测量的方法计算初始值，比在先技术[2]和[3]采取估计的方法计算的初始值更精确，因此重建精度更高；

3、与在先技术[4]相比，本发明可以实现二维重建，而且可以通过软件自动化实现，更重要的是本发明的剪切量可以自由选择，而在先技术[4]的剪切量必须满足能够被相应剪切方向的抽样点数整除的限制条件；

4、与在先技术[5]相比，本发明仅需在x方向和y方向各两次，共四次测量，而在先技术[5]需要在多个方向上进行多次测量，因此本发明相对在先技术[5]测量过程更简单。

附图说明

图1为本发明高精度、高空间分辨率的波前测量方法所采用的横向剪切干涉测量系统的示意图；

图2本发明高精度、高空间分辨率的横向剪切干涉波前测量方法的流程图；

图3(a)本发明x方向第一次测量得到的离散的差分波前，(b)本发明x方向第二次测量得到的离散的差分波前；

图4(a)本发明y方向第一次测量得到的离散的差分波前，(b)本发明y方向第二次测量得到的离散的差分波前；

图5(a)本发明x方向第一次测量得到的矩阵数据形式的离散差分波前，(b)本发明x方向第一次测量得到的矩阵数据形式的差分波前对应的列向量形式的差分波前；

图6(a)本发明y方向第一次测量得到的矩阵数据形式的离散差分波前，(b)本发明y方向第一次测量得到的矩阵数据形式的差分波前对应的列向量形式的差分波前；

图7本发明初始值网格在待测波前中的位置；

图8本发明初始值计算方法；

图9待测波前及利用本发明测量该波前的测量结果与测量误差；

图10本发明波前重建误差与x和y方向第一次测量采用的剪切量之间关系的仿真计算结果

具体实施方式

下面结合实施例和附图对本发明作进一步说明，但不应以此限制本发明的保护范围。

先请参阅图1，图1为本发明横向剪切干涉测量系统的示意图，由图1可见，本发明采用的横向剪切干涉测量系统包括剪切发生装置2、二维光电探测器5和计算机6，测量时待测波前1穿过剪切发生装置2后，产生两个与待测波前相同的波前3和4，波前3和4在二维光电探测5上发生干涉，干涉信号由计算机获取、存储并运算，最终得到待测波前。

请参阅图2，图2为本发明高精度、高空间分辨率的横向剪切干涉波前测量方法的流程图，由图2可见，该方法在相互正交的x和y两个方向上分别进行两次测量，两次测量分别采用不同的剪切量，且第二次测量的剪切量是第一次测量的剪切量加1，即如果x和y方向第一次测量的剪切量分别为S_x和S_y，则x和y方向第二次测量的剪切量分别为S_x+1和S_y+1，具体的测量步骤如下：

(1)、进行x方向的两次测量

调整剪切发生装置2，使剪切沿x方向，首先进行第一次测量，调整剪切发生装置2，将剪切量设置为S_x，S_x为正整数，待测波前1穿过剪切发生装置2后，产生两个与待测波前1完全相同的波前3和4，所述的两个完全相同的波前发生干涉，通过二维光电探测器5获取干涉信号I_x1，并输入计算机6保存，波前3和4在x方向有一个横向错位，横向错位量在二维光电探测器5的成像面上为S_x个像素；然后调整剪切发生装置2，将剪切量设置为S_x+1，通过二维光电探测器5获取x方向第二次测量的剪切干涉信号I_x2，并输入计算机6保存；

(2)、进行y方向的两次测量

调整剪切发生装置2，使剪切沿y方向，首先进行第一次测量，调整剪切发生装置2，将剪切量设置为S_y，S_y为正整数，待测波前1穿过剪切发生装置2后，产生两个与待测波前1完全相同的、在y方向有一个横向错位的波前，横向错位量在二维光电探测器5成像面上为S_y个像素，两个波前发生干涉，通过二维光电探测器5获取干涉信号I_y1，并输入计算机6保存；调整剪切发生装置将剪切量设置为S_y+1，通过二维光电探测器5获取y方向第二次测量的剪切干涉信号，表示为I_y2，并输入计算机6保存；

(3)、从干涉图中计算差分波前

通过干涉图相位提取方法从计算机6保存的干涉信号I^x1、I^x2中分别提取x方向第一次测量和第二次测量的相位和并从两个相位中分别计算差分波前ΔW^x1和ΔW^x2，计算公式分别为和如图3所示，ΔW^x1和ΔW^x2均为二维矩阵数据，维度分别为N×(N-S_x)和N×(N-S_x-1)，N表示待测波前W在x或y方向的离散点数，N为正整数；通过干涉图相位提取方法从计算机6保存的干涉信号I_y1、I_y2中分别提取y方向第一次测量和第二次测量的相位和并从两个相位中分别计算差分波前ΔW^y1和ΔW^y2，计算公式分别为和如图4所示，ΔW^y1和ΔW^y2均为二维矩阵数据，维度分别为(N-S_y)×N和(N-S_y-1)×N；

(4)、差分波前矢量化

将二维矩阵数据的差分波前ΔW^x1进行重新排列，表示为一维矢量数据ΔW^x1，如图5所示，排列的方式为逐行排列，即二维矩阵数据ΔW^x1的第1行数据为一维矢量数据ΔW^x1的第1个至第N-S_x个数据，二维矩阵数据ΔW^x1的第2行数据为一维矢量数据ΔW^x1的第N-S_x+1个至第2(N-S_x)个数据，依此类推，直至二维矩阵数据ΔW^x1的最后一行，即第N行；将二维矩阵数据的差分波前ΔW^y1进行重新排列，表示为一维矢量数据ΔW^y1，如图6所示，排列的方式为逐行排列，即二维矩阵数据ΔW^y1的第1行数据为一维矢量数据ΔW^y1的第1个至第N个数据，二维矩阵数据ΔW^y1的第2行数据为一维矢量数据ΔW^y1的第N+1个至第2N个数据，依次类推，直至二维矩阵数据ΔW^y1的最后一行，即第N-S_y行；

(5)、计算初始值

如图7所示，在离散的待测波前W上选定一个点，将该点在离散的待测波前W上的坐标表示为(r,c)，r和c分别表示离散的待测波前W的第r行和第c列，以该点为起始点在W上取一个S_y×S_x的子网格，将该子网格命名为初始值网格，该初始值网格7的四个顶点的坐标分别为(r,c)、(r,c+S_x-1)、(r+S_y-1,c)及(r+S_y-1,c+S_x-1)。

如图8所示，首先将待测波前W在(r,c)点的值设置为零，即W_r,c＝0，然后通过x方向的两次测量的差分波前ΔW^x1和ΔW^x2及W_r,c＝0逐个迭代计算初始值网格第一行除(r,c)点外的其他值，即W_r,j，j＝c+1,c+2,…,c+S_x-1计算公式如下：

$\left(\begin{array}{c}{W}_{r,c+S_x+1}={\mathrm{\Delta W}}_{r,c}^{x2}+W_{r,c}\\ W_{r,c+1}=W_{r,c+S_x+1}-{\mathrm{\Delta W}}_{r,c+1}^{x1}\\ W_{r,c+S_x+2}={\mathrm{\Delta W}}_{r,c+1}^{x2}+W_{r,c+1}\\ W_{r,c+2}=W_{r,c+S_x+2}-{\mathrm{\Delta W}}_{r,c+2}^{x1}\\ \begin{array}{c}·\\ ·\\ ·\end{array}\\ W_{r,c+2S_x-1}={\mathrm{\Delta W}}_{r,c+S_x-2}^{x2}+W_{r,c+S_x-2}\\ W_{r,c+S_x-1}=W_{r,c+2S_x-1}-{\mathrm{\Delta W}}_{r,c+S_x-1}^{x1}\end{array}\right)$

然后通过W_r,c＝0及W_r,j(j＝c+1,c+2,…,c+S_x-1)结合y方向两次测量的差分波前ΔW^y1和ΔW^y2逐行计算初始值网格其余点上的值，即W_i,j,i＝r+S_y+1～r+S_y-1，j＝c～c+S_x-1，每一行的值逐个迭代计算，计算公式如下：

$\left(\begin{array}{c}{W}_{r+S_y+1,j}={\mathrm{\Delta W}}_{r,j}^{y2}+W_{r,j}\\ W_{r+1,j}=W_{r+S_y+1,j}-{\mathrm{\Delta W}}_{r+1,j}^{y1}\\ W_{r+S_y+2,j}={\mathrm{\Delta W}}_{r+1,j}^{y2}+W_{r+1,j}\\ W_{r+2,j}=W_{r+S_y+2,j}-{\mathrm{\Delta W}}_{r+2,j}^{y1}\\ \begin{array}{c}·\\ ·\\ ·\end{array}\\ W_{r+2S_y-1,j}={\mathrm{\Delta W}}_{r+S_y-2,j}^{y2}+W_{r+S_y-2,j}\\ W_{r+S_y-1,j}=W_{r+2S_y-1,j}-{\mathrm{\Delta W}}_{r+S_y-1,j}^{y1}\end{array}\right)$

待测波前在初始值网格7上的值计算完成后，将这些值表示为维度为S_y×S_x的二维矩阵如下：

将二维矩阵数据采取逐行排列的方式表示为维度为S_yS_x×1一维列向量形式如下：

${\tilde{W}}_s=\left(\begin{array}{c}{W}_{r,c}\\ W_{r,c+1}\\ \begin{array}{c}·\\ ·\\ ·\end{array}\\ W_{r,c+S_x-1}\\ W_{r+1,c}\\ W_{r+1,c+1}\\ \begin{array}{c}·\\ ·\\ ·\end{array}\\ W_{r+1,c+S_x-1}\\ \begin{array}{c}·\\ ·\\ ·\end{array}\\ W_{r+S_y-1,c}\\ W_{r+S_y-1,c+1}\\ \begin{array}{c}·\\ ·\\ ·\end{array}\\ W_{r+S_y-1,c+S_x-1}\end{array}\right)$

(6)、波前重建

求解出初始值列向量后，即可通过最小二乘法求解拓展后的线性方程组M_eW＝ΔW_e，求解方法为：

$\hat{W}={\left({M_e}^T{M}_e\right)}^{-1}{M_e}^T{\mathrm{\Delta W}}_e$

其中，

$M_e=\left(\begin{array}{c}{M}^x\\ M^y\\ H\end{array}\right)$及${\mathrm{\Delta W}}_e=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta W}}^{x1}\\ {\mathrm{\Delta W}}^{y1}\\ {\tilde{W}}_s\end{array}\right)$

而H、M^y及M^x分别由以下几式给出，

$H_{ij}=\left(\begin{array}{cc}1,& j=[r+(k-2)]\times N+c+(l-1)\\ 0,& otherwise\end{array}\right)$

$M^y[m,n]=\left(\begin{array}{cc}-1,& m=n\\ 1,& m=n-{\mathrm{NS}}_y\\ 0,& otherwise\end{array}\right)$

而M_x由下式给出：

$M_x[m,n]=\left(\begin{array}{cc}-1,& m=n\\ 1,& m=n-S_x\\ 0,& otherwise\end{array}\right)$

表示重建后待测波前列向量，其维度为N²×1，将N²×1的一维列向量重新排列为N×N的二维矩阵格式，即为最终波前测量结果排列方式为将其一维列向量的1到第N个数据作为二维矩阵的第2行数据，将的N+1到第2N个数据作为的第2行数据，以此类推，直至的第(N-1)N+1到第N²个数据作为的第N行。

仿真验证1：用前15项条纹Zernike多项式(参见：J.C.WyantandK.Creath,BasicWavefrontAberrationTheoryforOpticalMetrology,Vol.XIofAppliedOpticsandOpticalEngineeringSeries(Academic,1992),28.)构造一个256×256的待测波前，Zernike系数随机产生，前3项系数(即Z₁～Z₃)置为0，其余12项系数(即Z₄～Z₁₅)分别为[0.9067-0.23281.5356-2.28211.67910.51041.22240.82570.62950.6675-0.7260-0.9979]。将第一次测量x方向和y方向的剪切量分别设置为25和18，采用本发明技术对该波前进行测量，第二次测量x和y方向的剪切量分别为26和19，图9给出了待测波前、波前测量结果以及波前测量误差的仿真图。图9中的波前测量结果也为256×256的波前，因此可证明本发明是一种高空间分辨率的波前测量方法，即使在剪切量达到25和18时(相应剪切率分别为9.8％和0.7％)，也可以实现高空间分辨率重建。图9中的波前测量误差为10^-12量级，这表明本发明是一种精确的波前测量技术。波前测量误差中移除了波前测量的常数项误差，这项的值对波前测量而言不重要，一般的光学测试不关心这一项。

仿真验证2：用前15项条纹Zernike多项式构造一个256×256的待测波前，Zernike系数随机产生，前3项系数(即Z1～Z3)置为0，其余12项系数(即Z4～Z15)分别为[0.9067-0.23281.5356-2.28211.67910.51041.22240.82570.62950.6675-0.7260-0.9979]。在x和y方向第一次测量的剪切量分别小于128(N/2,N＝256)时，本发明的波前测量误差(去除常数项误差)的RMS值如图10所示。由图10可见本发明波前测量误差的RMS在均在10^-10量级或以下，这个误差可以看作是计算机的舍入误差，因此可以证明对于方形波前，本发明在x和y方向的剪切量小于128时可以实现理想的波前测量。即对于方形波前，本发明剪切量可以在N/2以下的值中任意自由选择，而重建精度不受影响。需要注意的是最大剪切量为N/2是针对方形波前，对其他光瞳形状的波前，最大剪切量不同。但是一个普遍的规律是对于一般光瞳形状的波前，只要剪切量小于最大剪切量，本发明都可以实现高精度、高空间分辨率的波前测量。