一种含间隙精密机构中滞回摩擦耗能的估计方法

摘要

本发明提供了一种含间隙精密机构中滞回摩擦耗能的估计方法，步骤：1、首先对研究对象进行等效系统建模；2、依据系统模型获得系统总体动力学方程，并进行质量归一化变换，减少分析变量数目；3、采用分段展开计算，综合构建运动副接触-脱离总运动过程的滞回摩擦表达式；4、对各个分阶段进行变换，最终获得滞回位移的二次近似表达式及滞回位移对系统位移的导数表达式；5、描绘出明确的摩擦力滞回特性曲线，得到间隙运动副中滞回摩擦的耗能大小。本发明用于单侧间隙情形下系统的滞回曲线描述，能定量地分析含间隙精密机构中滞回摩擦引起的能量损耗，提高系统工作的可靠性和安全性。

说明书

技术领域

本发明涉及系统能量损耗分析领域，具体地，涉及一种含间隙精密机构中滞回摩 擦耗能的估计方法。

背景技术

随着现在科技的进步，机械装置朝着高精度高速轻量化方向发展。在机械运动副中 无法避免地存在着间隙，来自工艺制造误差和安装位置误差等等。而运动副之间又存在 着非线性的滞回摩擦力，这是由摩擦的粘滞特性所导致的。这种滞回特性的摩擦又会引 起系统的能量损耗，降低系统的工作效率和可靠性。随着机构组成越来越复杂，对系统 精密性要求较高时，运动副中的微小间隙就不能忽略，必须考虑微小间隙情形下滞回摩 擦带来的能量损耗。

目前常用的描述滞回曲线的模型有Bouc-Wen模型、Preisach模型、 Prandtl-Ishlinskii模型和Dahl模型等等，这些滞回模型被广泛应用于地面隔震、混 凝土摩擦耗能、磁流变阻尼器和压电驱动器等领域。以上滞回模型大都是用以描述物体 材料自身的滞回特性。而在运动副中，由于间隙的存在，运动副之间的摩擦力也是呈滞 回变化规律的，而且还是非连续作用，目前对于非连续滞回摩擦力还没有明确的描述方 法。在实际工程应用中，对运动副之间的摩擦力的计算通常采用简单的线性库伦摩擦力 公式进行简化等效。但是对于精密系统，非连续摩擦力的滞回特性所引起的耗能影响不 可忽视，简单线性摩擦公式所计算的结果已经无法满足精密系统的设计要求。滞回摩擦 力不但会影响精密运动副传动的准确性和精密度，还可能使得运动副趋向于非稳态振 动，甚至出现严重损坏。

发明内容

针对现有技术中的缺陷，本发明的目的是提供一种精密机构运动副之间滞回特性 摩擦力耗能的估计方法，能定量地分析间隙引起的能量损耗，提高系统工作的可靠性和 安全性。

为实现以上目的，本发明提供一种含间隙精密机构中滞回摩擦耗能的估计方法， 所述方法包括如下步骤：

步骤1、根据精密机构中运动副的实际运动情形，建立起等效系统动力学模型；采 用Bouc-Wen滞回模型来表征系统中的非线性滞回位移，并使用非光滑函数表达间隙， 获得系统总体的动力学方程和滞回位移的状态方程，从而完成运动副之间非连续摩擦力 的理论建模；

步骤2、将步骤1建立的系统的总体动力学方程进行质量归一化处理，归一化后使 得系统仅刚度、阻尼和外激励幅值进行了等因子缩放，而对系统位移变量无影响，因此 有利于在后续分析过程中不引入运动副质量的影响，减少分析过程中变量的数目；

步骤3、依据有限元思想，把步骤2的方程按照运动副的实际传动过程进行分段展 开，针对每个阶段进行计算和处理，结合边界条件，最后综合得到运动副整个传动过程 的滞回位移变化规律；

步骤4、对于分阶段中的状态方程进行积分求解，并采用级数展开对结果进行近似 表达，最终获得滞回位移的二次近似表达式及滞回位移对系统位移的导数表达式，从而 定量得到运动副传动过程中无法实际测量的滞回位移大小；

步骤5、由步骤4得到的滞回位移的二次近似表达式及滞回位移对系统位移的导数 表达式，描绘出明确的运动副中摩擦力的滞回曲线，滞回曲线的面积表征了滞回摩擦力 的耗能，从而得到运动副中具有滞回特性的摩擦力耗能大小，最终得到模型中各参数对 系统耗能的影响，尤其是间隙改变对摩擦力滞回特性带来的影响。

优选地，步骤1中，建立起等效系统动力学模型，具体为：

$m_1\stackrel{··}{u}+c_1\stackrel{·}{u}+p_1(u,z)=F_1\left(t\right).$

其中：u表示系统广义坐标系下的位移，z表示系统的非线性滞回位移，m₁表示质 量，c₁表示黏性阻尼，p₁(u,z)表示系统的刚度函数，F₁(t)表示系统所受外力；ü表示加 速度、表示速度。

优选地，步骤1中，用Bouc-Wen滞回模型来表征系统中的非线性滞回位移z，系统 的刚度函数表达式为：

p₁(u,z)＝{αk[u(t)-ε]+(1-α)k[z(t)-ε]}H(u-ε)

其中，k表示运动副之间的弹性恢复力，α表示系统中非线性滞回刚度与弹性 刚度的比值，ε表示间隙的大小，符号函数H(t)表征单侧间隙的非连续性。

优选地，步骤2中，将步骤1中动力学方程归一化简化为：

$\stackrel{··}{u}+c\stackrel{·}{u}+p(u,z)=F\left(t\right).$

其中，分别是对步骤1中动力学方程参数质 量归一化后得到的参数。即对运动副的刚度、阻尼和外激励幅值进行了等质量因子的缩 放，从而大大降低了动力学方程的计算复杂程度，减少了后续分析过程的变量数目。

优选地，步骤3中，具体的：

观察物体运动情况，可知有物体与边界接触，和物体与边界脱离两种状态，只有当 物体与边界接触时，才会受到滞回摩擦的作用，因此状态方程展开式里只考虑z>e的情 形；得到展开后的状态方程为：

$\stackrel{·}{z}=A\stackrel{·}{u}-(\beta +\gamma )\stackrel{·}{u}(z-ϵ),\stackrel{·}{u}>0,z-ϵ>0$

$\stackrel{·}{z}=A\stackrel{·}{u}-(\beta -\gamma )\stackrel{·}{u}(z-ϵ),\stackrel{·}{u}>0,z-ϵ>0$

其中，z表示非线性滞回位移，表示滞回速度，表示啮合速度，A,β,γ是调节滞 回曲线的形状参数。以上得到的物体朝边界正向运动和反向运动两种阶段下的状态方程 表达式，有利于后续分阶段对状态进行变换计算。这里对状态方程的展开，是依据运动 副中的滞回摩擦力非连续作用的特点，采用分阶段定量细化计算，最后再将各个阶段的 结果进行综合，得到总的传动过程中的滞回摩擦力变换规律。

优选地，步骤4中，对展开后的状态方程进行积分求解，获得积分后的滞回位移 z表达式有：

$1)---z_1\left(u\right)=C_1{e}^{-(\gamma +\beta )u}+\frac{A}{\gamma +\beta }+ϵ,\gamma +\beta \ne 0$

$2)---z_2\left(u\right)=C_2{e}^{-(\gamma +\beta )u}+\frac{A}{\gamma -\beta }+ϵ,\gamma -\beta \ne 0$

3)z₃＝Au+C₃,γ+β＝0

4)z₄＝Au+C₄,γ-β＝0

利用高阶级数展开方法，获得滞回位移的二次近似表达式为：

$z_1\left(u\right)=-A{e}^{(\beta +\gamma )ϵ}[\frac{1}{(\beta +\gamma )}-u+\frac{(\beta +\gamma )}{2}{u}^2]+\frac{A}{\gamma +\beta }+ϵ$

$z_2\left(u\right)=[y-ϵ-\frac{A}{\gamma -\beta }]e^{(\gamma -\beta )x}[1-(\gamma -\beta )u+\frac{{(\gamma -\beta )}^2}{2}{u}^2]+\frac{A}{\gamma -\beta }+ϵ$

进一步求得滞回位移对系统位移的导数表达式为：

$\frac{d{z}_1}{\mathrm{du}}=A{e}^{(\beta +\gamma )ϵ}$

$\frac{{\mathrm{dz}}_2}{\mathrm{du}}=\frac{2\mathrm{A\beta }}{\gamma +\beta }{e}^{(\gamma -\beta )x}+\frac{A}{\gamma +\beta }{e}^{(\gamma +\beta )ϵ-2\mathrm{\beta x}}.$

其中，z₁表示正向运动过程中的非线性位移，z₂表示反向运动过程中的非线性位移， u表示齿轮的啮合位移，A,β,γ是调节滞回曲线的形状参数，dz₁/du表示正向运动时滞 回位移关于时间的导数，dz₂/du表示反向运动时滞回位移关于时间的导数，dz₁/du和 dz₂/du反映了滞回曲线的斜率大小x表示系统正向运动最远处的啮合位移值，y表示系 统正向运动最远处的滞回位移值。

步骤4得到了不同阶段情况下运动副中摩擦力作用下的滞回位移二次近似表达式， 和其关于系统位移的变化规律，从而定量描述出运动副中摩擦力的数学表达式。

与现有技术相比，本发明具有如下的有益效果：

本发明针对含单侧间隙的系统，可以进行较精确的滞回曲线描绘，从而得到系统的 耗能情况；本发明结果通用性强，有效解决了微小间隙对系统耗能的影响的定量分析， 提高了设备的安全性。

附图说明

通过阅读参照以下附图对非限制性实施例所作的详细描述，本发明的其它特 征、目的和优点将会变得更明显：

图1为本发明原理框图；

图2为本发明的含单侧间隙系统的动力学模型图；

图3为本发明的滞回曲线关于参数A的变化图；

图4为本发明的滞回曲线关于间隙的变化图；其中：(a)为e＝0时的滞回曲线图和 相图；(b)为e＝0.8时的滞回曲线图和相图；(c)为e＝1时的滞回曲线图和相图；

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明进行详细说明。以下实施例将有助于本领域的技术人 员进一步理解本发明，但不以任何形式限制本发明。应当指出的是，对本领域的普通技 术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进。这些都属于 本发明的保护范围。

如图1所示，本实施例提供一种含间隙精密机构中滞回摩擦耗能的估计方法，本 实施例中没有详细说明可以参考发明内容部分，所述方法包括如下步骤：

1.考虑实际运动副中不可避免地存在着微小间隙，在精密机构中无法忽略间隙表面 的滞回摩擦所带来的影响，为了估计滞回摩擦耗能的大小首先对研究对象进行等效系统 建模。以单对圆柱齿轮运动副为例，根据实际齿轮间的啮合运动形式，建立单对齿轮传 动系统的等效动力学模型，如图2所示。M表示单个齿轮的质量，k表示齿轮间的啮合 刚度，c表示齿轮间的啮合阻尼，kz是表征滞回摩擦力的等效弹簧形式，ε表示齿轮的 传动间隙，u(t)表示齿轮运动副在啮合线方向上的相对线位移,F(t)表示齿轮受到 的其他外界激励。根据实际齿轮运动副，可以获取该等效系统模型中的系统参数值。

将啮合刚度和滞回摩擦组合成刚度函数p₁(u,z)来表达，建立的系统动力学模型 为：

$m_1\stackrel{··}{u}+c_1\stackrel{·}{u}+p_1(u,z)=F_1\left(t\right)$

2.为了描述等效系统模型中的滞回位移，选取一种经典的描述滞回曲线的数学 模型，这里选用经典Bouc-wen滞回模型。

然后使用力矩传感器测量空载情形下该单对齿轮啮合传动时的摩擦力值。以此 实测摩擦力信号值为依据对经典Bouc-wen滞回模型进行辨识，辨识出控制滞回曲 线形状和光滑度等因素的表达式参数A,β,γ和n的数值。

经典的Bouc-wen模型对滞回曲线的状态空间表达式为：

$\stackrel{·}{z}=A\stackrel{·}{u}-\beta \left|\stackrel{·}{u}\right|{\left|z\right|}^{n-1}z-\gamma \stackrel{·}{u}{\left|z\right|}^n$

其中，z表示非线性滞回位移，表示滞回速度，表示啮合速度，A,β,γ是调节 滞回曲线的形状参数，n是控制滞回曲线的光滑性参数。参数A,β,γ和n的数值依据实 际运行情形而定。

3.将步骤1和步骤2所得到的系统参数和滞回形状参数，代入本系统模型的方程中。 经过公式变换和推导，得到明确的最终的滞回位移二次表达式和对线性位移的导数表达 式。

4.利用数值计算软件Matlab编写详细的计算程序，输入上述参数进行计算。绘制出 在实际带负载情形下齿轮系统的滞回曲线图，并计算得到滞回摩擦所带来的能量损失。 如图3所示。

5.使用功率计测量该单对齿轮带负载情形下实际传动过程中的能量损失大小。与 步骤3中理论计算得到的摩擦能量损失大小进行对比，验证该滞回摩擦耗能估计方法的 准确性。

在上述过程中，理论计算了某一特定间隙下的齿轮传动副中滞回摩擦耗能大小， 并与实际测得的能损进行了对比验证。最后依据此估计方法，改变理论分析中的间 隙值大小，可以计算得到不同的齿轮运动副界面的摩擦滞回曲线图，如图4所示。 由此来预测随着齿轮运动副间隙的改变，滞回摩擦耗能的变化趋势，可以有效预防 齿轮传动系统中由于滞回摩擦能耗的变化而出现的非稳态振动及混沌运动等故障。

如图2所示，为单对圆柱齿轮啮合的系统动力学模型。将研究对象作为物体m，同 时考虑了外界激励、间隙、滞回摩擦、边界弹性支承和材料黏性阻尼等因素。

如图3所示，为使用数值计算软件编写程序理论计算得到的滞回曲线图和相图。

如图4所示，为预测间隙变化后齿轮系统的摩擦滞回特性趋势图。从图4中可以看 到，当间隙值e较小时，滞回摩擦耗能较大，系统趋向较稳定的周期运动系统，但当间 隙逐渐增大时，滞回摩擦耗能不再恒定，系统运动非线性特性逐渐增强，甚至出现振荡。 因此在实际齿轮传动系统中，要注意在某个恒定间隙下滞回摩擦耗能的变化特点，预防 系统非线性振动的发生。

本发明针对含单侧间隙的系统，可以进行较精确的滞回曲线描绘，从而得到系统的 耗能情况；本发明结果通用性强，能定量地分析含间隙精密机构中滞回摩擦引起的能量 损耗，提高系统工作的可靠性和安全性。

以上对本发明的具体实施例进行了描述。需要理解的是，本发明并不局限于上 述特定实施方式，本领域技术人员可以在权利要求的范围内做出各种变形或修改， 这并不影响本发明的实质内容。