一种悬臂梁鲁棒自适应控制方法

摘要

本发明公开了一种悬臂梁鲁棒自适应控制方法，设计一个理想的悬臂梁动态模型，其中包含足够丰富的频率信号，作为系统参考轨迹，整个自适应控制系统保证实际悬臂梁轨迹跟踪上参考轨迹，达到一种理想的动态特性，补偿了制造误差和环境干扰。将悬臂梁本身参数看做未知的系统参数，组成一个参数误差向量θ，设计一个滑模函数并使滑模函数的导数为零得出等效控制器，在此基础上加上反馈项和鲁棒项作为输入信号，基于Lyapunov方法设计控制器参数θ的自适应律，保证系统的稳定性，使跟踪误差收敛于零，同时所有参数收敛于真值。

说明书

技术领域

本发明涉及一种悬臂梁鲁棒自适应控制方法。

背景技术

悬臂梁是指梁的一端为不产生轴向、垂直位移和转动的固定支座，另一端为自由端(可以产生平行于轴向和垂直于轴向的力)。在工程力学受力分析中，比较典型的简化模型。在实际工程分析中，大部分实际工程受力部件都可以简化为悬臂梁。

1985年，Bailey等将一整片压电薄膜PVDF贴于整个梁上作为作动器,采用常增益(CGC)和常幅值(CAC)反馈对悬臂梁的振动控制进行了实验研究。1991年,Lee等提出了压电模态传感器与压电模态驱动器的设计方法，该方法通过调整贴于结构之上的压电薄膜的形状和改变压电薄膜的极化方向来设计模态传感器和模态驱动器,但欲改变所控模态的阶数,则要改变压电传感层和压电驱动层和形状与粘贴方式。近年来,孙东昌等以控制各阶模态所需的控制电能尽可能小作为目标,进行压电智能梁的振动控制研究；王宗利等提出了一种状态相关的LQR控制方法。

但是，例如对于压电悬臂梁的建模，通常忽略由于粘贴压电材料或者埋入压电材料给梁结构带来刚度和质量上的改变，并且由于生产制造过程中不可避免的加工误差以及环境温度的影响，会造成原件特性与设计之间的差异，导致悬臂梁存在参数不确定性，难以建立精确的数学模型等问题。再加上工作环境中的外界扰动作用不可忽略，使得悬臂梁的轨迹追踪控制难以实现，且鲁棒性较低。传统的控制方法完全基于悬臂梁的名义值参数设计，且忽略正交误差和外界扰动的作用，虽然在大部分情况下系统仍是稳定的，但追踪效果远不理想，这种针对单一环境设计的控制器具有很大的使用局限性。基于传统的控制方法的悬臂梁在使用上还存在不便与缺陷，亟待进一步改进。

发明内容

针对上述问题，本发明提供一种悬臂梁鲁棒自适应控制方法，在控制规律中加入鲁棒项和反馈项，提高悬臂梁系统在存在模型不确定、参数摄动以及外界扰动力等各种干扰情况下，对理想轨迹的追踪性能和整个系统的鲁棒性，同时基于Lyapunov稳定性理论设计的自适应律能够保证闭环系统的全局稳定性。

为实现上述技术目的，达到上述技术效果，本发明通过以下技术方案实现：

一种悬臂梁鲁棒自适应控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

S01：建立悬臂梁的理想动力学模型：

x_m＝Asin(wt)，

式中，A是悬臂梁在x坐标轴方向上的振幅，t是时间，w为悬臂梁在x坐标轴方向上给定的振动频率，x_m为理想振动轨迹；

则向量形式为：

$>{\stackrel{··}{q}}_m+k_m{q}_m=0,$>

式中，q_m为x_m,k_m为w²,为q_m的二阶导数；

S02：建立悬臂梁无量纲动力学方程：

建立悬臂梁系统的非量纲向量模型，

$>\stackrel{··}{q}+C\stackrel{·}{q}+\mathrm{Kq}=u+f,$>

式中，q为实际的振动轨迹，分别为q的一阶导数、二阶导数，u为鲁棒自适应控制律，f为悬臂梁的外界干扰，C，K是悬臂梁自身的参数，C为阻尼项，K为频率项；

S03：建立滑模函数，使滑模函数对时间的导数为零得到控制规律，并在控制规律中加入反馈项和鲁棒项；

S04：基于Lyapunov方法建立鲁棒自适应律。

优选，步骤S03具体包括如下步骤：

定义滑模函数s为：

$>s=\stackrel{·}{e}+\mathrm{\lambda e},$>

式中，e＝q-q_m为跟踪误差，为e的一阶导数，λ为滑模参数；

滑模函数对时间的导数为：

$>\stackrel{·}{s}=u+f-C\stackrel{·}{q}-\mathrm{Kq}+\lambda \left(\stackrel{·}{q}-{\stackrel{·}{q}}_m\right)+k_m{q}_m,$>

即：$>\stackrel{·}{s}=u+f-(\stackrel{·}{q},q){[C,K]}^T+\lambda \left(\stackrel{·}{q}-{\stackrel{·}{q}}_m\right)+k_m{q}_m,$>

定义：θ^*＝[C,K]^T为参数误差向量，

则，$>\stackrel{·}{s}=u+f-Y{\theta }^{*}+Q,$>

使以得到等效控制u_εq：

u_εq＝Yθ^*-Q-f，

加入反馈项和鲁棒项建立鲁棒自适应控制规律为：

u＝Yθ-Q+u_s1+u_s2＝Yθ-Q-k_ss-ηtanh(s)，

式中，u_s1＝-k_ss为反馈项，u_s2＝-ηtanh(s)为鲁棒项，k_s为反馈系数，η为鲁棒系数，θ是参数误差向量θ^*的估计值。

优选，步骤S04具体包括如下步骤：

李雅普诺夫函数为：

$>v=\frac{1}{2}{s}^T\mathrm{Ps}+\frac{1}{2}{\tilde{\theta }}^T{\gamma }^{-1}\tilde{\theta },$>

令v的导数得到鲁棒自适应律：

式中，γ、P为对称正定矩阵，s是滑模面。

本发明的有益效果是：

一、悬臂梁的动态特性是一种理想模式，补偿了制造误差和和环境干扰；

二、在控制算法中加入了反馈项，大大提高了悬臂梁振动轨迹跟踪速度和参数估计速度，同时减小了震荡幅值；

三、在控制算法中加入鲁棒项，抵消了环境干扰和悬臂梁本身的参数不确定性，改善了系统的鲁棒性和动态特性；

四、基于Lyapunov方法建立的自适应算法能够保证整个闭环系统的全局渐进稳定性；

五、本方法对悬臂梁的控制不需要建立在对象精确建模的基础上，节省了建模的费用。

附图说明

图1是本发明悬臂梁系统的简化模型示意图；

图2是本发明的原理图；

图3是本发明具体实施例中悬臂梁的轨迹跟踪效果曲线图；

图4是本发明具体实施例中悬臂梁参数C的估计响应曲线图；

图5是本发明具体实施例中悬臂梁参数K的估计响应曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和具体的实施例对本发明技术方案作进一步的详细描述，以使本领域的技术人员可以更好的理解本发明并能予以实施，但所举实施例不作为对本发明的限定。

悬臂梁系统的简化模型示意图如图1所示，一种悬臂梁鲁棒自适应控制方法，利用鲁棒自适应的控制方法，在控制律中加入反馈项和鲁棒项，应用于悬臂梁的控制器中，对悬臂梁进行控制。具体包括如下步骤：

S01：建立悬臂梁的理想动力学模型：

x_m＝Asin(wt)，

式中，A是悬臂梁在x坐标轴方向上的振幅，t是时间，w为悬臂梁在x坐标轴方向上给定的振动频率，x_m为理想振动轨迹；

则向量形式为：

$>{\stackrel{··}{q}}_m+k_m{q}_m=0,$>

式中，q_m为x_m,k_m为w²,为q_m的二阶导数；

理想动力学模型即是参考模型。

S02：建立悬臂梁无量纲动力学方程：

建立悬臂梁系统的非量纲向量模型，

$>\stackrel{··}{q}+C\stackrel{·}{q}+\mathrm{Kq}=u+f,$>

式中，q为实际的振动轨迹，分别为q的一阶导数、二阶导数，u为鲁棒自适应控制律，f为悬臂梁的外界干扰，C，K是悬臂梁自身的参数，C为阻尼项，K为频率项；

S03：建立滑模函数，使滑模函数对时间的导数为零得到控制规律，并在控制规律中加入反馈项和鲁棒项；

S04：基于Lyapunov方法建立鲁棒自适应律。

优选，步骤S03具体包括如下步骤：

定义滑模函数s为：

$>s=\stackrel{·}{e}+\mathrm{\lambda e},$>

式中，s代表滑模面，e＝q-q_m为跟踪误差，为e的一阶导数，λ为滑模面参数；

滑模函数对时间的导数为：

$>\stackrel{·}{s}=u+f-C\stackrel{·}{q}-\mathrm{Kq}+\lambda \left(\stackrel{·}{q}-{\stackrel{·}{q}}_m\right)+k_m{q}_m,$>

将其整理为带有参数误差向量的形式为：

$>\stackrel{·}{s}=u+f-(\stackrel{·}{q},q){[C,K]}^T+\lambda \left(\stackrel{·}{q}-{\stackrel{·}{q}}_m\right)+k_m{q}_m,$>

定义：是一个参数已知的1×2的矩阵，θ^*＝[C,K]^T为参数误差向量，$>Q=\lambda \left(\stackrel{·}{q}-{\stackrel{·}{q}}_m\right)+k_m{q}_m$>是一个已知的常数，

则，$>\stackrel{·}{s}=u+f-Y{\theta }^{*}+Q,$>

使以得到等效控制鲁棒自适应律u_εq，要使则

$>u_{\mathrm{ϵq}}=Y{\theta }^{*}-Q-f,$>

加入反馈项和鲁棒项建立鲁棒自适应控制规律为：

u＝Yθ-Q+u_s1+u_s2＝Yθ-Q-k_ss-ηtanh(s)，

式中，u_s1＝-k_ss为反馈项，u_s2＝-ηtanh(s)为鲁棒项，k_s为反馈系数，η为鲁棒系数，θ是参数误差向量θ^*的估计值。

优选，步骤S04具体包括如下步骤：

李雅普诺夫(Lyapunov)函数为：

$>v=\frac{1}{2}{s}^T\mathrm{Ps}+\frac{1}{2}{\tilde{\theta }}^T{\gamma }^{-1}\tilde{\theta },$>

v为一个正定的标量函数，P＝P^T,γ＝γ^T为对称正定矩阵，s是滑模面，Lyapunov函数对时间的导数为：

$>\stackrel{·}{v}=s^{T}P\stackrel{·}{s}+{\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}}^T{\gamma }^{-1}\tilde{\theta },$>

为保证需要满足η＞f，令v的导数得到鲁棒自适应律：

本发明所述的基于在控制规律中加入鲁棒项和反馈项的悬臂梁鲁棒自适应控制方法为将鲁棒自适应方法应用于悬臂梁的控制上，设计一个理想的悬臂梁动态模型，其中包含足够丰富的频率信号，作为系统参考轨迹，整个自适应控制系统保证实际悬臂梁轨迹跟踪上参考轨迹，达到一种理想的动态特性，补偿了制造误差和环境干扰。将悬臂梁本身参数看做未知的系统参数，组成一个参数误差向量θ，设计一个滑模函数并使滑模函数的导数为零得出等效控制器，在此基础上加上反馈项和鲁棒项作为输入信号，基于Lyapunov方法设计控制器参数θ的自适应律，保证系统的稳定性，使跟踪误差收敛于零，同时所有参数收敛于真值。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

一、悬臂梁的动态特性是一种理想模式，补偿了制造误差和和环境干扰；

二、在控制算法中加入了反馈项，大大提高了悬臂梁振动轨迹跟踪速度和参数估计速度，同时减小了震荡幅值；

三、在控制算法中加入鲁棒项，抵消了环境干扰和悬臂梁本身的参数不确定性，改善了系统的鲁棒性和动态特性；

四、基于Lyapunov方法建立的自适应算法能够保证整个闭环系统的全局渐进稳定性；

五、本方法对悬臂梁的控制不需要建立在对象精确建模的基础上，节省了建模的费用。

以图1所示的悬臂梁系统为例，其原理如图2所示，压电智能悬臂梁在压电作动器作用下的模态运动方程是：

$>{\stackrel{··}{q}}_i\left(t\right)+2{\xi }_i{w}_i{\stackrel{·}{q}}_i\left(t\right)+{w_i}^2{q}_i\left(t\right)=B_i{U}_a---\left(1\right)$>

式中，ξ_i是第i阶结构阻尼；w_i是第i阶固有频率；B_i＝K_a[φ'_i(x₂)-φ'_i(x₁)]，φ'_i(x₂)、φ'_i(x₁)是质量归一化的正交模态矩阵，K_a为压电耦合系数，U_a为输入电压，实际情况中应考虑外界扰动，我们现将悬臂梁的模态运动方程(1)式重写如下非量纲向量形式：

$>\stackrel{··}{q}+C\stackrel{·}{q}+\mathrm{Kq}=u+f---\left(2\right)$>

式中，C,K∈R^i*i为系统参数，其中C为阻尼项，K为频率项，f为扰动项，u为输入向量，其中u＝B_iU_a。

轨迹跟踪误差：

e＝q-q_m  (3)

建立滑模函数为：

$>s=\stackrel{·}{e}+\mathrm{\lambda e}---\left(4\right)$>

式中λ＝λ^T＞0，为滑模面参数，一般取为元素全为正的对角阵。对s进行求导带入(2)式得：

$>\stackrel{·}{s}=\stackrel{··}{e}+\lambda \stackrel{·}{e}=\stackrel{··}{q}-{\stackrel{··}{q}}_m+\lambda \left(\stackrel{·}{q}-{\stackrel{·}{q}}_m\right)=u+f-C\stackrel{·}{q}-\mathrm{Kq}+\lambda (\stackrel{·}{q}-{\stackrel{·}{q}}_m)+k_m{q}_m---\left(5\right)$>

将式(5)整理成带有参数误差向量的形式，这也是自适应控制分析的一种常用变换方法。

$>\stackrel{·}{s}=u+f-(\stackrel{·}{q},q){[C,K]}^T+\lambda \left(\stackrel{·}{q}-{\stackrel{·}{q}}_m\right)+k_m{q}_m---\left(6\right)$>

定义：θ^*＝[C,K]^T，所以，式(6)可以写成：

$>\stackrel{·}{s}=u+f-Y{\theta }^{*}+Q---\left(7\right)$>

式中，Y是一个参数已知的1×2的矩阵，Q是一个已知的常数，θ^*是一个包含2个未知系统参数的2×1的参数误差向量。使以得到等效控制u_eq：

u_εq＝Yθ^*-Q-f  (8)

所以设计鲁棒自适应控制规律为：

u＝Yθ-Q+u_s1+u_s2＝Yθ-Q-k_ss-ηtanh(s)  (9)

式中，u_s1＝-k_ss为反馈项，u_s2＝-ηtanh(s)为鲁棒项(tanh是双曲正切函数)，θ是参数误差向量θ^*的估计值。

将式(9)带入式(7)得到：

$>\stackrel{·}{s}=Y\tilde{\theta }+f-\mathrm{\eta sign}\left(s\right)-k_{s}s---\left(10\right)$>

式中，$>\tilde{\theta }=\theta -{\theta }^{*}.$>

下面采用李雅普诺夫(Lyapunov)函数，从确保全局的稳定性出发，设计控制器参数的自适应律。

考虑到滑模函数的导数式(10)，设计李雅普诺夫函数为：

$>v=\frac{1}{2}{s}^T\mathrm{Ps}+\frac{1}{2}{\tilde{\theta }}^T{\gamma }^{-1}\tilde{\theta }---\left(11\right)$>

式中,P＝P^T,γ＝γ^T为对称正定矩阵，同时此函数包含了滑模函数和参数估计向量。基于此李雅普诺夫函数设计的自适应律就能保证它们都按照规定的规律变化。

Lyapunov函数对时间的导数为：

$>\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{v}=s^{T}P\stackrel{·}{s}+{\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}}^T{\gamma }^{-1}\tilde{\theta }\\ =s^{T}P(Y\tilde{\theta }+f-\mathrm{\eta sign}\left(s\right)-k_{s}s)+{\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}}^T{\gamma }^{-1}\tilde{\theta }\\ =s^T\mathrm{Pf}-s^t\mathrm{P\eta sign}\left(s\right)-s^{T}P{k}_{s}s+(s^T\mathrm{PY}\tilde{\theta }+{\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}}^T{\gamma }^{-1}\tilde{\theta })\\ =\mathrm{sPf}-\tanh \left(s\right)\mathrm{P\eta }-s^2{\mathrm{Pk}}_s+(s^T\mathrm{PY}\tilde{\theta }+{\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}}^T{\gamma }^{-1}\tilde{\theta })\end{array}\right)$>

为使最简单的方法就是满足η＞f，同时使最后一项为零。即要求：

$>s^T\mathrm{PY}\tilde{\theta }+{\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}}^T{\gamma }^{-1}\tilde{\theta }=0---\left(12\right)$>

$>\stackrel{·}{\stackrel{~}{\theta }}=\stackrel{·}{\theta }=-\gamma Y^T\mathrm{Ps}$>

因此自适应律为：

$>\stackrel{·}{\theta }=-\gamma Y^T\mathrm{Ps}---\left(13\right)$>

选择上述自适应律后有：

$>\stackrel{·}{v}=\mathrm{sPf}-\tanh \left(s\right)\mathrm{P\eta }-s^{2}P{k}_s<0.$>

符合要求。

为了更加直观地显示本发明提出的基于在控制规律中加入鲁棒项和反馈项的悬臂梁鲁棒自适应控制方法，现利用数学软件MATLAB/SIMULINK对本控制方案进行计算机仿真实验。

参考现有文献，选取悬臂梁的参数为：C＝0.18,K＝56.4。理想轨迹描述为：q＝sin(t)。悬臂梁为零初始状态。考虑外界扰动作用为与理想轨迹共振的噪声，外界扰动取f＝randn(1)。仿真试验中，自适应律的两个待设定的参数取γ＝diag{10,10}，P＝1000，反馈项系数k_s＝1000，鲁棒项系数η＝100。运行仿真程序，得到发明具体实施例的仿真结果曲线如附图3,4,5所示。

其中，附图3展示了在本发明提出的控制方法下的悬臂梁的轨迹跟踪效果曲线。从附图可以看出，控制系统能够使得悬臂梁的输出，在不知道悬臂梁参数和结构以及存在外界干扰作用的情况下，能够迅速地跟踪上给定的理想轨迹，整个闭环系统渐进稳定，且追踪误差很小，达到了满意的效果。

附图4和5展示了悬臂梁参数C和K参数估计响应曲线，结果表明它们都能收敛到各自的真值，且调节时间较短。

从以上仿真图可以看出，本发明提出的控制方法对悬臂梁的轨迹跟踪有着很好的控制效果，大大提高了悬臂梁系统的追踪性能和鲁棒性，对悬臂梁振动轨迹的高精度控制提供了理论依据和仿真基础。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的技术知识。

以上仅为本发明的优选实施例，并非因此限制本发明的专利范围，凡是利用本发明说明书及附图内容所作的等效结构或者等效流程变换，或者直接或间接运用在其他相关的技术领域，均同理包括在本发明的专利保护范围内。