基于模糊理论的加速退化试验建模方法

摘要

本发明公开了一种基于模糊理论的加速退化试验建模方法，具体步骤为：步骤一、利用模糊理论，将退化数据合理模糊化，得到模糊退化数据；步骤二、利用模糊退化回归，建立加速退化试验线性模糊退化模型；步骤三、模型参数评估及寿命和可靠度模糊预测。本发明根据建立的模糊线性退化模型给出模型参数的模糊评估值，并进一步给出产品的模糊寿命预测区间以及模糊可靠度区间，相比于传统的统计分析方法给出的点估计值，本发明的结果更合理，更具有参考价值。

说明书

技术领域

本发明是基于模糊理论的加速退化试验建模方法，属于加速退化试验技术领域，用于解 决可靠性与系统工程领域的技术问题。

背景技术

随着科技的发展、产品可靠性要求越来越高，针对具有长寿命和高可靠性特点的产品， 需要利用试验中观测到的失效数据的加速寿命试验(ALT—Accelerated Life Testing)已经无 法满足要求。由于长寿命和高可靠性产品有时在ALT中很难观测到失效或根本观测不到失效， 这就对产品的寿命与可靠性评估带来了极大的困难。加速退化试验(ADT—Accelerated  Degradation Testing)就是在这种背景下发展起来的。所谓加速退化试验是在失效机理不变 的基础上，通过寻找产品寿命与应力之间的关系(加速模型)，利用产品在高(加速)应力水 平下的性能退化数据去外推或评估正常应力水平下的寿命特征的试验技术和方法。加速试验 是进行长寿命高可靠产品寿命评估的主要手段。相比于加速寿命试验，ADT中不必观测到实 际失效，产品关键性能参数值蕴含了大量产品寿命与可靠性信息，因此可节省一定成本。所 以加速退化试验具有更广阔的应用前景。

ADT主要针对性能退化故障进行研究。对于ADT而言，使用的应力施加方式与ALT相 同。ADT中，性能参数退化的快慢通常与施加的应力大小有关，而这种退化参数变化率是通 过加速模型来描述的。在ADT中，加速模型的选择与ALT中加速模型建立的思想和方法都 一致，且可相互通用。

加速退化试验的统计分析主要基于退化模型的选择。退化模型主要分为三类：1)基于数 据(Data-driven)的性能退化模型；2)基于模型(Model-based)的性能退化模型；3)基 于数据和模型的混合(Hybrid)模型。类型1的统计方法通常结合SVM(参考文献[1]：Shuzhen  Li；Xiaoyang Li；Tongmin Jiang；,"Life and reliability forecasting of the CSADT using Support  Vector Machines[C],"Reliability and Maintainability Symposium(RAMS),2010Proceedings  pp.1-6,25-28Jan.2010)、神经网络(参考文献[2]：Shuzhen Li；Xiaoyang Li；Tongmin Jiang；"A  prediction method of life and reliability for CSALT using Grey RBF neural networks[C],"Industrial  Engineering and Engineering Management,2009.IE&EM'09.16th International Conference on, vol.,no.,pp.699-703,21-23Oct.2009、时间序列(参考文献[3]Li Wang；Xiaoyang Li；Tongmin  Jiang；Bo Wan；"SLD constant-stress ADT data analysis based on time series method[C]," Reliability,Maintainability and Safety,2009.ICRMS 2009.8th International Conference on,vol., no.,pp.1313-1317,20-24July 2009)等。类型2的统计方法主要有基于维纳过程(参考文献[4]： Gorjian N,Ma L,Mittinty M,et al.A review on degradation models in reliability  analysis[M]//Engineering Asset Lifecycle Management.Springer London,2010:369-384.)、基于 gamma过程(参考文献[5]：Tseng S T,Balakrishnan N,Tsai C C.Optimal step-stress accelerated  degradation test plan for gamma degradation processes[J].Reliability,IEEE Transactions on,2009, 58(4):611-618.)等。类型3即结合二者的统计方法(参考文献[6]：Wang L Z,Wang X H,Jiang  T M,et al.A Lifetime Prediction Method Based on Multi-performance Parameters[J].Journal of  Applied Sciences,2013,13(20).)。

由于ADT中搜集到的是产品在加速应力条件下的性能退化数据，而最终需要得到的是产 品在正常应力水平下的寿命。因此，ADT中的数据统计分析问题实质上是预测问题。且其预 测包含两方面：应力维上的高应力向低应力的外推以及时间维上的性能未穿越临界值向穿越 临界值的失效寿命预测。应力维上的外推可以通过事先得到的加速模型采用回归方法，也可 采用灰色预测方法。时间维上的外推，可采用上述的随机过程分析、神经网络、时间序列等 寿命预测方法。

ADT研究的关键是：寻找一个科学合理的数学模型对产品性能退化趋势进行拟合，并在 不同拟合模型的假设下，对ADT进行试验方案设计与数据评估的研究。除了另辟蹊径寻找新 的退化过程拟合模型之外，大多数学者选择漂移布朗运动。由于漂移布朗运动的首达时服从 逆高斯分布，因而，针对逆高斯分布，很多学者进行了各种研究。

模糊理论的研究主要有：

1965年，美国控制论专家L.A.Zadeh教授首次提出了模糊集合的概念，从而开创了模糊 数学分支。模糊数学是处理“亦此亦彼”问题的数学，它弥补了确定性数学的“非此即彼”二值 逻辑的缺陷。自从创立“模糊数学”以来，模糊数学已被广泛应用于自动控制、人工智能、系 统分析等诸多领域，并取得了惊人的成果。

Viertl主要考虑了寿命数据是模糊的条件下，基于贝叶斯理论的系统可靠性评估(参考文 献[7]：Viertl R.On reliability estimation based on fuzzy lifetime data[J].Journal of Statistical  Planning and Inference,2009,139(5):1750-1755.)。黄洪钟做根据模糊退化数据分析了竞争失效 系统的可靠性，提出了系统竞争失效的模糊退化可靠性模型(参考文献[8]：Huang H Z,Zuo M  J,Sun Z Q.Bayesian reliability analysis for fuzzy lifetime data[J].Fuzzy Sets and Systems,2006, 157(12):1674-1686.)。Jamkhaneh较详细的给出了模糊参数的寿命分布模型：二项分布、指数 分布和威布尔分布，并评估了系统的可靠性(参考文献[9]：Jamkhaneh E B.Analyzing System  Reliability Using Fuzzy Weibull Lifetime Distribution[J].International Journal of Applied,2014, 4(1):93-102)。Lin给出了某可修复系统特征的隶属函数，并用模糊指数分布描述系统失效和 维修时间(参考文献[10]：Lin C H,Ke J C,Huang H I.Reliability-based measures for a system  with an uncertain parameter environment[J].International Journal of Systems Science,2012,43(6): 1146-1156.)。

李晓阳(北京航空航天大学.基于模糊理论的加速退化试验预测方法:中 国,CN200910093518.3[P].2010-3-10.)考虑了加速退化试验中失效阈值存在的模糊性， 并以此给出基于漂移布朗运动的加速退化试验预测模型。除此以外，到目前为止还没有加速 退化试验中的模糊理论研究。

发明内容

本发明的目的是为了解决目前加速退化试验中退化数据据有主观性和模糊性，提出了一 种基于模糊理论的加速退化试验建模方法，该方法基于恒定应力加速退化试验，用模糊理论 描述试验数据，利用模糊最小二乘回归对退化数据建模，给出产品寿命和可靠度的模糊区间 估计值。

本发明的基于模糊理论的加速退化试验建模方法，具体步骤为：

步骤一、利用模糊理论，将退化数据合理模糊化，得到模糊退化数据；

步骤二、利用模糊退化回归，建立加速退化试验线性模糊退化模型；

步骤三、模型参数评估及寿命和可靠度模糊预测。

本发明的优点在于：

(1)本发明首次分析了加速退化试验中退化数据的主观性和模糊性，首次将模糊理论引 入到加速退化试验的统计分析中，建立了基于模糊理论的线性退化回归模型；

(2)本发明根据建立的模糊线性退化模型给出模型参数的模糊评估值，并进一步给出产 品的模糊寿命预测区间以及模糊可靠度区间，相比于传统的统计分析方法给出的点估计值， 本发明的结果更合理，更具有参考价值。

附图说明

图1是模糊可靠度曲线图；

图2是固定失效阈值的产品寿命预测分布图；

图3是产品模糊首穿时包络图；

图4是本发明的方法流程图。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

本发明是基于模糊理论的加速退化试验建模方法，如图4所示，包括以下几个步骤：

步骤一、利用模糊理论，将恒定应力加速退化数据合理模糊化，得到模糊退化数据。

加速退化试验的统计分析中，通常采用随机过程来描述产品的性能退化过程。由于布朗 运动是一种具有连续时间参数和连续空间参数的随机过程。许多其它的过程常常可以看作是 它的泛函或某种意义上的推广。目前，布朗运动及其推广已广泛的出现在许多纯科学领域中， 如物理、经济、通信理论、生物、管理科学与数理统计等。同时，由于布朗运动与微分方程 (如热传导方程等)有密切的联系，它已经成为概率与分析联系的重要渠道。因而，漂移布 朗运动是加速退化试验统计分析中，常用来描述性能退化过程的一种随机过程。为此，本发 明有以下假设：

假设1产品的性能退化过程具有单调性，即性能发生的退化不可逆；

假设2每个应力水平下产品的退化失效机理不变；

假设3产品的残余寿命仅依赖于当时已累计失效部分和当时应力水平，而与累积方式无 关；

假设4试验中不存在由退化引发的任何失效，即产品的性能退化未穿越失效阈值；

假设5产品的性能退化可采用下式所示的漂移布朗运动来表示。

Y(t)＝σB(t)+d(s)·t+y₀    (1)

其中，Y(t)—产品性能退化随机过程。t是一种时间尺度。比如对于线性退化过程而言， t就是实际时间τ；而对于非线性退化过程而言，t则可代表实际时间ln(τ)等不同实际时间τ的 函数形式，其分布密度函数记作f(y,t)；

y₀—漂移布朗运动的起始点，产品性能在初始时刻t₀的初始值

B(t)—标准布朗运动，B(t)～N(0,t)

d(s)—漂移系数，也可称为性能退化率。它是一个仅与应力s相关的确定性函数，因此 是加速模型；

σ—扩散系数。刻画了产品生产过程中不一致性与不稳定性、性能测量设备的测量能力及 测量误差以及试验过程中外部噪声等随机因素对产品性能的影响。通常，这些随机因素不会 随时间和应力条件的改变而改变，因此扩散系数也不随应力和时间而改变，是常数。

设共有n个产品，分成k组，在k个应力水平下进行恒定应力加速退化试验，每个应力 水平下有n_l个样本，每个应力水平下收集m_l个数据。收集每个应力水平下的性能退化数据。

以式(1)拟合退化过程，根据失效数据的变化趋势，选择不同的时间函数形式，用回归方 程：

E(Y(t))＝d(S)·t+y₀    (2)

进行线性或非线性拟合。进而回归得到每个应力水平下的退化率d(S_l)。性能退化率是一个仅 与应力有关的确定性函数：

其中是应力的函数。得到每个应力水平下的d(S_l)，进而与构成数对 用回归方法外推得到正常应力水平下的退化率。

采用极大似然法估计漂移布朗运动的扩散系数：

${\sigma }^2=\frac{1}{n·(m-k)}\underset{l=1}{\overset{k}{\Sigma }}\underset{i=1}{\overset{n_l}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{m_l-1}{\Sigma }}\frac{{[x_{\mathrm{lij}}-d\left(S_l\right){\mathrm{\Delta t}}_{\mathrm{lij}}]}^2}{\Delta t_{\mathrm{lij}}}---\left(3\right)$

将得到的各应力水平下的退化率带入式(3)，得到扩散系数的估计值。然后结合式(1)和式(4) 预测产品寿命与可靠度

$R\left(t\right)=\Phi \left[\frac{L-y_0-d\left(s\right)t}{\sigma \sqrt{t}}\right]-\exp \left(\frac{2d\left(s\right)(L-y_0)}{{\sigma }^2}\right)\Phi [-\frac{L-y_0+d\left(s\right)t}{\sigma \sqrt{t}}]---\left(4\right)$

以及给定失效阈值的前提下，产品首穿时分布公式

$f(t;y_0,a)=\frac{a-y_0}{\sigma \sqrt{2\pi t^3}}\exp \{-\frac{{[(a-y_0)-d\left(S\right)·t]}^2}{2{\sigma }^{2}t}\}---\left(5\right)$

本发明以恒定应力加速退化试验(CSADT)为例，介绍加速退化试验模糊寿命与可靠性 评估模型的建立与评估方法，和本发明提供的基于模糊理论的加速退化试验预测方法。

(1)确定产品的寿命分布和加速模型。

设产品的寿命分布服从指数分布。常用的加速模型有阿伦尼斯(Arrhenius)模型、逆幂率 模型、艾琳(Eyring)模型等，其形式都可表示对数线性形式：其中，是应 力s的某一已知函数，例如，对阿伦尼斯(Arrhenius)模型而言，s＝T，T为绝对温 度；对逆幂率模型而言，s可表示电压、电流、功率等；d(s)为性能退化率；a、b 为常数。根据产品自身特点、敏感应力和性能参数退化情况等，确定产品的加速模型。

(2)利用模糊理论处理试验数据

目前加速退化试验的统计分析方法主要解决的是随机不确定性，如产品的差异性，误差等对 试验结果的影响。已有的模型如粒子滤波并结合贝叶斯理论可以较好的削弱随机不确定性的影响。 但在加速退化试验中还存在认知不确定性。如未知产品工作应力间的相关性时，试验中单一施加 敏感应力的准确性；加速模型的通用性等。由于认知的不足以及设备、经费等条件制约，加速退 化试验只能选择敏感应力进行试验。从试验数据的角度考虑，加速退化试验设计基于若干全符假 设条件，但试验环境无法模拟真实而复杂的工作环境，加速应力也只选择了敏感应力，如果综合 考虑了所有因素，那么加速退化试验数据是不够准确的，相对于工作环境下的试验数据是存在波 动的，具有认知不确定性，具有模糊性。常用的隶属函数可分为偏小型、偏大型和中间型三类。 所以本发明采用属于中间型的对称三角形隶属函数描述数据。具体定义形式为：

${\tilde{t}}_{\mathrm{ij}}=(m_{t_{\mathrm{ij}}},g_{t_{\mathrm{ij}}})(i=\mathrm{1,2},...k;j=\mathrm{1,2},...r_i)---\left(6\right)$

其中：k为应力水平数，r为每个应力水平下的失效数，与本发明中试验设定一致；为 模糊数的中心值，即实际记录时间；为偏离中心值的幅度(也可以成为模糊幅度)，且有 $g_{t_{\mathrm{ij}}}>0.$

其隶属函数为：

本发明中，定义为当前加速试验退化数据相对于相同条件下，综合状态下的加速退化 试验数据的隶属函数；中心值设为实际监测的退化值，模糊幅度定义为0.1倍的中心值。

经过模糊处理，将精确的加速退化试验失效数据t_ij模糊化为具有对称三角形隶属函数的模 糊失效数据

步骤二、结合模糊最小二乘回归方法，建立线性模糊退化模型；

(1)模糊线性最小二乘回归模型

考虑如下模糊线性回归模型：

$\tilde{y}={\tilde{A}}_0+{\tilde{A}}_1{x}_1+{\tilde{A}}_2{x}_2+...+{\tilde{A}}_p{x}_p---\left(8\right)$

其中，x_i(i＝1,2,...p)为清晰数，为模糊数，在本发明认为二者是对称三 角模糊数，即(k＝1,2,...,n),记m＝{m₁,m₂,...m_n}，g＝{g₁,g₂,...g_n}， a＝{a₀,a₁,...a_n}，r＝{r₀,r₁,...r_n}，$X=\left(\begin{array}{cccc}1& x_{11}& ...& x_{1p}\\ ...& ...& ...& ...\\ 1& x_{n1}& ...& x_{\mathrm{np}}\end{array}\right)$

那么回归结果分别为：

$\left(\begin{array}{c}\hat{a}={\left(X^{T}X\right)}^{-1}{X}^{T}m\\ \hat{r}={\left(X^{T}X\right)}^{-1}{X}^{T}g\end{array}\right)---\left(9\right)$

(2)建立线性模糊回归模型；

根据式(2)可以看出，退化数据是模糊的，而时间是精确的，所以构成了精确输入-模糊系 数-模糊输出的模糊回归模型，即认为退化数据和应力水平l下的性能退化率是模糊的，记为 每次同时产品性能监测时间t_lij，设产品性能退化监测值记作 将每个应力水平下所用样本的性能退化数据取均值，得即 每个应力水平下产品性能平均退化数据，且构成数据对其中l＝1,...k；j＝1,...m_l。具体 形式如表1。

表1回归试验数据

采用所述的模糊最小二乘回归方法，每个应力水平下的时间矩阵为：

$X_l=\left(\begin{array}{cc}1& t_1\\ ...& ...\\ 1& t_{\mathrm{ij}}\end{array}\right),m_l=\{{\bar{m}}_{y_{l1}},{\bar{m}}_{y_{l2}},...{\bar{m}}_{y_{l{m}_l}}\},g_l=\{{\bar{g}}_{y_{l1}},{\bar{g}}_{y_{l2}},...{\bar{g}}_{y_{{\mathrm{lm}}_l}}\},a_l=\left\{m_{d\left(S_l\right)}\right\},r_l=\left\{g_{d\left(S_l\right)}\right\}.$

根据式(8)得到各个应力水平l下的与构成数对根据加速模型同样构成了精确输入-模糊输出-模糊系数的模糊回归模型。 但已不是对称三角模糊数，其隶属函数不易给出。利用水平截集的概念，将模糊数转 化为区间数。给定α-水平截集，获得模糊退化率的α-截集区间区间 具有单调性，所以，对区间边界去自然对数值，得到的α-截集区间 本发明采用遍历计算的方法进行参数计算和确定参数隶属函数。

步骤三、模型参数评估及寿命和可靠度模糊预测

(1)遍历算法的参数计算

参数的形式不再是对称三角模糊数，所以其隶属函数不易给出。然而的值又具有 相关性，而且和模糊退化率的取值有关，所以直接采用遍历的方式确定参数的模糊区间 值。已知模糊退化率当每个应力水平下的模糊退化率在各自的 模糊区间取值时，会得到一组真实退化率。例如：当每取一组 [d₁(S₁)，d₁(S₂)，...,d₁(S_k)]，就会回归得到一个常温下的退化率d₁(S₀)。只要取值间隔足 够小，退化率组数足够大，那么得到的常温退化率真值的区间越接近实际值。实际计算中， 共有k个应力水平，那么如果每个应力水平下的模糊退化率区间取p个值，那么就有p^k组 高应力下退化率，回归可以得到p^k个常温下的退化率，进而得到一个常温退化率区间。

同理，根据式(3)，每一组退化率取值可以得到一个扩散系数的估计值，所以即得到p^k 个对应的σ。根据式(4)，利用每组退化率及相应的扩散系数，可得到一组可靠度曲线，数量 也是p^k条。

实施例：

对某晶体管进行失效机理分析，得到温度是其敏感应力，选用阿伦尼兹模型作为加速模 型对该晶体管实施加速退化试验。已知当温度大于270℃时，退化曲线即已经有明显的拐点 出现，说明此时已经引入了新的高温失效机理。所以试验温度在270℃以内。为此，试验中 温度应力分别设定为200℃、220℃、240℃和260℃。每个应力水平下一个样本。采样间 隔0.1小时，每个应力下采集500个数据；阿伦尼兹模型中参数设定为：A＝8.3*10⁵， Ea＝0.5eV,σ＝0.5；初始值为0，性能阈值为500；产品实际工作温度为55℃。通过matlab 仿真得到试验数据。

步骤一、利用模糊理论，将加速退化数据合理模糊化，得到模糊退化数据

(1)加速退化试验基本假设。

假设1产品的性能退化过程具有单调性，即性能发生的退化不可逆；

假设2每个应力水平下产品的退化失效机理不变；

假设3产品的残余寿命仅依赖于当时已累计失效部分和当时应力水平，而与累积方式无 关；

假设4试验中不存在由退化引发的任何失效，即产品的性能退化未穿越失效阈值；

假设5产品的性能退化可采用下式所示的漂移布朗运动来表示。

Y(t)＝σB(t)+d(s)·t+y₀    (10)

其中，Y(t)—产品性能退化随机过程。t是一种时间尺度。比如对于线性退化过程而言， t就是实际时间τ；而对于非线性退化过程而言，t则可代表实际时间ln(τ)等不同实际时间τ的 函数形式，其分布密度函数记作f(y,t)；

y₀—漂移布朗运动的起始点，产品性能在初始时刻t₀的初始值

B(t)—标准布朗运动，B(t)～N(0,t)

d(s)—漂移系数，也可称为性能退化率。它是一个仅与应力s相关的确定性函数，因此 是加速模型；

σ—扩散系数。

设共有n个产品，分成k组，在k个应力水平下进行恒定应力加速退化试验，每个应力 水平下有n_l个样本，每个应力水平下收集m_l个数据。收集每个应力水平下的性能退化数据。

以式(10)拟合退化过程，根据失效数据的变化趋势，选择不同的时间函数形式，用回归 方程：

E(Y(t))＝d(S)·t+y₀    (11)

进行线性或非线性拟合。进而回归得到每个应力水平下的退化率d(S_l)。性能退化率是一个仅 与应力有关的确定性函数：

其中是应力的函数。得到每个应力水平下的d(S_l)，进而与构成数对 用回归方法外推得到正常应力水平下的退化率。

采用极大似然法估计漂移布朗运动的扩散系数：

${\sigma }^2=\frac{1}{n·(m-k)}\underset{l=1}{\overset{k}{\Sigma }}\underset{i=1}{\overset{n_l}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{m_l-1}{\Sigma }}\frac{{[x_{\mathrm{lij}}-d\left(S_l\right){\mathrm{\Delta t}}_{\mathrm{lij}}]}^2}{\Delta t_{\mathrm{lij}}}---\left(13\right)$

将得到的各应力水平下的退化率带入式(13)，得到扩散系数的估计值。然后结合式(11)和式 (14)预测产品寿命与可靠度

$R\left(t\right)=\Phi \left[\frac{L-y_0-d\left(s\right)t}{\sigma \sqrt{t}}\right]-\exp \left(\frac{2d\left(s\right)(L-y_0)}{{\sigma }^2}\right)\Phi [-\frac{L-y_0+d\left(s\right)t}{\sigma \sqrt{t}}]---\left(14\right)$

(1)确定产品的加速模型

模型：以温度为加速应力，加速模型选为阿伦尼斯(Arrhenius)模型：

当以温度为应力时，S_k即相当于施加于产品上的开氏温度。

(2)模糊化退化数据

本发明将模糊退化数据的中心值设为实际监测值，模糊幅度设为该应力水平下的实际监 测值的0.1倍。

步骤二、利用模糊退化回归，建立加速退化试验线性模糊退化模型；

(1)模糊线性最小二乘回归模型

根据下述模糊线性回归模型：

$\tilde{y}={\tilde{A}}_0+{\tilde{A}}_1{x}_1+{\tilde{A}}_2{x}_2+...+{\tilde{A}}_p{x}_p---\left(16\right)$

其中，x_i(i＝1,2,...p)为清晰数，为模糊数，在本发明中认为二者是对称 三角模糊数，即(k＝1,2,...,n),记：

$\left(\begin{array}{c}m=\{m_1,m_2,...m_n\},g=\{g_1,g_2,...g_n\},a=\{a_0,a_1,...a_n\}\\ r=\{r_0,r_1,...r_n\},X=\left(\begin{array}{cccc}1& x_{11}& ...& x_{1p}\\ ...& ...& ...& ...\\ 1& x_{n1}& ...& x_{\mathrm{np}}\end{array}\right)\end{array}\right)---\left(17\right)$

那么在加速退化试验中，相应参数矩阵变为：

$\left(\begin{array}{c}{m}_l=\{{\bar{m}}_{y_{l1}},{\bar{m}}_{y_{l2}},...{\bar{m}}_{y_{{\mathrm{lm}}_l}}\},g_l=\{{\bar{g}}_{y_{l1}},{\bar{g}}_{y_{l2}},...{\bar{g}}_{y_{{\mathrm{lm}}_l}}\}\\ a_l=\left\{m_{d\left(S_l\right)}\right\},r_l=\left\{g_{d\left(S_l\right)}\right\},X_l=\left(\begin{array}{cc}1& t_1\\ ...& ...\\ 1& t_{\mathrm{ij}}\end{array}\right)\end{array}\right)---\left(18\right)$

(2)建立线性模糊回归模型；

根据模糊最小二乘回归理论，对每个应力水平下的模糊退化数据进行回归，得到每个应 力水平下的模糊退化率其中也是具有对称三角隶属函数的模糊数，即 $\tilde{d}\left(S_l\right)=(m_{d\left(S_l\right)},g_{d\left(S_l\right)}).$

模糊退化率构成数对根据加速模型同样构成了精确输入-模糊输出-模糊系数的模糊回归模型。但已不是对称三角模糊数， 其隶属函数不易给出。

过仿真计算，可以得到每个应力水平下的模糊退化率为：

$\left(\begin{array}{c}{a}_l=\left\{m_{d\left(S_l\right)}\right\}=\left\{\mathrm{3.8342,6.4242,10.2051,15.6485}\right\}\\ r_l=\left\{g_{d\left(S_l\right)}\right\}=\left\{\mathrm{0.3834,0.6424,1.0205,1.5649}\right\}\end{array}\right)---\left(19\right)$

步骤三、模型参数评估及寿命和可靠度模糊预测

利用水平截集的概念，将模糊数转化为区间数。给定α-水平截集，获得模糊退化率的α-截集区间区间具有单调性，所以，对区间边界去自然对数值，得到 的α-截集区间根据仿真计算结果，4个应力水平下的模糊 对数区间分别为：

$\left(\begin{array}{c}\alpha =0\\ [{\left(\ln \tilde{d}\left(S_1\right)\right)}_{\alpha }^L,{\left(\ln \tilde{d}\left(S_1\right)\right)}_{\alpha }^U]=\left[\mathrm{1.3339,1.3539}\right]\\ [{\left(\ln \tilde{d}\left(S_2\right)\right)}_{\alpha }^L,{\left(\ln \tilde{d}\left(S_2\right)\right)}_{\alpha }^U]=\left[\mathrm{1.8500,1.8700}\right]\\ [{\left(\ln \tilde{d}\left(S_3\right)\right)}_{\alpha }^L,{\left(\ln \tilde{d}\left(S_3\right)\right)}_{\alpha }^U]=\left[\mathrm{2.3127,2.3328}\right]\\ [{\left(\ln \tilde{d}\left(S_4\right)\right)}_{\alpha }^L,{\left(\ln \tilde{d}\left(S_4\right)\right)}_{\alpha }^U]=\left[\mathrm{2.7403,2.7603}\right]\end{array}\right)---\left(20\right)$

每个区间内共取11个值(包含边界值)，根据排列组合思想，则有11^4＝14641组退 化率取值组合，进而通过回归方法得到14641个常温退化率，进而得到常温退化率区间为 [0.0139,0.0172]，以及相应的14641个扩散系数评估值以，整理得到区间[0.5088,0.5130]。

根据可靠度公式：

$R\left(t\right)=\Phi \left[\frac{L-y_0-d\left(s\right)t}{\sigma \sqrt{t}}\right]-\exp \left(\frac{2d\left(s\right)(L-y_0)}{{\sigma }^2}\right)\Phi [-\frac{L-y_0+d\left(s\right)t}{\sigma \sqrt{t}}]---\left(21\right)$

产品的寿命预估公式：

$t_{\mathrm{life}}=\frac{L-y_0}{\tilde{d}\left(S_0\right)}---\left(22\right)$

给定失效阈值的前提下，产品首穿时分布公式：

$f(t;y_0,a)=\frac{a-y_0}{\sigma \sqrt{2\pi t^3}}\exp \{-\frac{{[(a-y_0)-d\left(S\right)·t]}^2}{2{\sigma }^{2}t}\}---\left(23\right)$

可以得到产品的模糊可靠度区间图(图1)、产品固定失效阈值的寿命预测值分布图(图2) 和产品模糊首穿时分布包络图(图3)。