基于螺旋空间交集运算的并联机构自由度分折方法

摘要

本发明公开了一种基于螺旋空间交集运算的并联机构自由度分析方法。该方法的步骤如下：计算支链螺旋空间的维数；计算双支链单环机构动平台自由度；计算两条支链螺旋空间的交集空间；计算多环并联机构动平台的自由度；布置并联机构的驱动器；识别支链中可能存在的局部自由度；计算并联机构的整体自由度。本发明能够无例外地正确计算所有类型并联机构的动平台自由度和机构整体自由度；对于单环机构，无需求取双支链螺旋空间的交集空间，而能直接获得动平台自由度；对于两条支链螺旋空间并集的维数等于一条支链螺旋矩阵的秩，或者等于两条支链螺旋矩阵的秩之和的情况，能够直接获得交集空间而无需任何运算。

说明书

技术领域

本发明涉及一种并联机构自由度分析方法，尤其是涉及一种基于螺旋空间 交集运算的并联机构自由度分析方法。

背景技术

机构自由度计算是分析和设计新型机器的基础。自经典的 Chebychev-Grübler-Kutzbach（CGK）公式提出以来，机构自由度研究已有大约 150年的历史。在漫长的生产实践中，CGK公式能够正确方便地计算出大多数 机构的自由度。然而人们也发现少数机构尤其是空间并联机构的自由度不能用 CGK公式正确地得出。于是许多学者对机构自由度进行了深入研究，并提出了 一些计算自由度的新方法。研究机构自由度的新方法，一方面可以正确而无例 外地计算全部类型机构的自由度；另方面能够更深刻地认识机构运动的本质， 可以形成机构综合的有效方法。

黄真于1997年在专著《并联机器人机构学理论及控制》（高等教育出版社, 北京,1997:18-28）中提出了修正的CGK自由度计算公式。基于约束螺旋理论 定义机构的阶，通过求解公共约束获得机构的阶数，从而得到修正的CGK公式。 赵景山于2004年在《Mechanism and Machine Theory》（2004,39:621-643）的论 文“A theory of degrees of freedom for mechanisms”中提出了基于互易螺旋的自 由度分析方法。由并联机构各条支链的运动螺旋求解支链约束螺旋，再求解全 体约束螺旋的互易螺旋，从而得到机构的运动螺旋。这些运动螺旋数目就是机 构动平台的自由度，然而不一定等于机构整体自由度。Gogu于2005年在 《European Journal of Mechanics A–Solids》（2005,24:690-711）的论文 “Mobility and spatiality of parallel robots revisited via theory of linear  transformations”中提出了用于计算机构自由度的线性变换理论。通过雅可比矩 阵的线性变换来计算机构操作空间的维数。这种方法需要计算各条支链操作空 间的交集，因而适用于各条支链运动副轴线相互平行或垂直的机构；但对于存 在运动副轴线不相互平行或垂直的机构，支链操作空间交集的计算很困难。Yu 等于2009年在《Robotica》（2009,27:915-927）的论文“Mobility analysis of  complex joints by means of screw theory”中采用螺旋理论分析了复杂运动副的自 由度。复杂运动副是由若干简单运动副复合构成的。通过运动副螺旋与约束螺 旋的等价变换来获得修正的CGK自由度计算公式。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于螺旋空间交集运算的并联机构自由度分析 方法。

本发明采用的技术方案是，该方法的步骤如下：

（1）计算支链螺旋空间的维数：设$ⁱj为第i条支链中第j个运动副的螺旋 向量，则支链i各运动副组成的运动螺旋的集合为M_i={$ⁱ1,$ⁱ2，...,$ⁱn_i}，集合构 成的矩阵的秩为Rank(M_i)≤6，因此支链i的运动螺旋构成Rank(M_i)维螺旋空间， 记为A_i，螺旋空间A_i的维数Dim(A_i)=Rank(M_i)；

（2）计算双支链单环机构动平台自由度：一条支链螺旋空间A₁的维数 Dim(A₁)=Rank(M₁)，另一条支链螺旋空间A₂的维数Dim(A₂)=Rank(M₂)，M₁∪ M₂={$¹1,$¹2，...,$¹n1,$²1,$²2，...,$²n₂}，则螺旋空间A₁和A₂的并集空间的维数 Dim(A₁∪A₂)=Rank(M₁∪M₂)，因此单环并联机构动平台自由度计算为

DOF(MovingPlatform)=Rank(M₁)+Rank(M₂)-Rank(M₁∪M₂)        (1)；

（3）计算两条支链螺旋空间的交集空间：

根据两条支链的运动螺旋集合M₁和M₂及其并集M₁∪M₂，计算这些集合构 成的螺旋矩阵的秩N₁=Rank(M₁)，N₂=Rank(M₂)，N₃=Rank(M₁∪M₂)，假定N₁≥ N₂，显然N₃>=N₁，如果N₃=N₁，则A₁∩A₂=A₂，即A₂就是螺旋空间A₁∩A₂的 交集空间，如果N₃=N₁+N₂，说明M₂中全体螺旋向量对M₁∪M₂中螺旋向量的 数目都有贡献，即螺旋空间A₁与螺旋空间A₂互不包含，此时即机 构不能运动，如果N₁<N₃<N₁+N₂，说明M₂中部分螺旋向量对M₁∪M₂中螺旋向 量的数目有贡献，A₁∩A₂螺旋空间中的基螺旋数目为N₁+N₂-N₃，此时需要按如 下步骤计算A₁∩A₂的基螺旋的：

（3.1）在6维空间中分别计算螺旋空间A₁和A₂的补集空间，记为T₁和T₂， 显然T₁∪A₁=T₂∪A₂=R₆，若螺旋向量用$=(l,m,n,p,q,r)^T表示，则螺旋集合 所构成的螺旋矩阵为

$S=\left(\begin{array}{cccc}{l}_1& l_2& ···& l_{n1}\\ m_1& m_2& ···& m_{n1}\\ n_1& n_2& ···& n_{n1}\\ p_1& p_2& ···& p_{n1}\\ q_1& q_2& ···& q_{n1}\\ r_1& r_2& ···& r_{n1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\$}_1& {\$}_2& ···& {\$}_{n1}\end{array}\right)$

计算补集空间的方法就是求解以下齐次线性方程组

S^Tx=0                                                (2)

方程组的非0解表示了补集空间的基螺旋，如此分别求出螺旋集合M₁和 M₂中螺旋系的互补螺旋，将这两组互补螺旋的集合分别记为Q₁和Q₂，它们即 分别为补集空间T₁和T₂的基螺旋；

（3.2）按照步骤（3.1）计算T₁和T₂的并集空间T₁∪T₂，即并集Q₁∪Q₂中的基螺旋；

（3.3）在6维空间中计算并集空间T₁∪T₂的补集空间，即为A₁∩A₂，显然 (T₁∪T₂)∪(A₁∩A₂)=R⁶，计算方法是根据(式2)求解集合Q₁∪Q₂中各螺旋的互 补螺旋，将其集合记为M₁₂，则集合M₁₂中有6-Rank(Q₁∪Q₂)条螺旋，它们即为 A₁∩A₂的基螺旋，这些基螺旋张成的螺旋空间就是所要求的交集空间，交集空 间的维数Dim(A₁∩A₂)=Rank(M₁₂)；

（4）计算多环并联机构动平台的自由度：计算公式为

DOF(MovingPlatform)=Rank(M₁₂)+Rank(M₃)-Rank(M₁₂∪M₃)    (3)；

（5）布置并联机构的驱动器：对于并联机构的任意两条支链，不含冗余驱 动的并联机构驱动布置方案必须满足以下条件，一是去除掉配置驱动器的运动 副后，支链运动螺旋集合M₁’构成的螺旋矩阵的秩Rank(M₁’)<Rank(M₁)，同样 Rank(M₂’)<Rank(M₂)，二是去除掉配置驱动器的运动副后，两条支链运动螺旋集 合的并集M₁’∪M₂’构成的螺旋矩阵的秩Rank(M₁’∪M₂’)=Rank(M₁∪M₂)，三是 去除掉配置驱动器的运动副后，两条支链运动螺旋集合的并集构成的螺旋矩阵 的秩Rank(M₁’∪M₂’)=Rank(M₁’)+Rank(M₂’)；

（6）识别支链中可能存在的局部自由度：对于按照步骤（5）进行驱动器 布置的机构，排除各支链含有驱动器的运动副，然后计算各支链新的螺旋矩阵 的秩，记为Rank(M²_i)，然后去除一个驱动器，则支链增加一个原驱动器所在运 动副的运动螺旋，计算新增一个运动螺旋之后支链螺旋矩阵的秩，记为 Rank(M³_i)，若Rank(M³_i)=Rank(M²_i)，说明原驱动器所在运动副为局部自由度， 这个驱动器确实应该去除掉，若Rank(M³_i)>Rank(M²_i)，说明原驱动器所在运动 副不是局部自由度，这个驱动器不能去除，重复上述过程直到全部驱动器都完 成检验，对于不再含有驱动器布置在局部自由度的机构，排除各支链含驱动器 的运动副，然后计算各支链新的螺旋矩阵的秩Rank(M⁴_i)，并计算此时支链所剩 运动副的自由度之和W_i，则各条支链的局部自由度数目ξ_i=W_i-Rank(M⁴_i)；

（7）计算并联机构的整体自由度：考虑了支链冗余运动螺旋和局部自由度 的机构整体自由度公式为

$\mathrm{DOF}\left(\mathrm{Mechanism}\right)=\mathrm{DOF}\left(\mathrm{MovingPlatform}\right)+\underset{i=1}{\overset{I}{\Sigma }}{F}_{\mathrm{ri}}-\underset{i=1}{\overset{I}{\Sigma }}{\xi }_i---\left(4\right)$

其中，支链冗余运动螺旋的自由度为

$F_{\mathrm{ri}}=\underset{j=1}{\overset{g_i}{\Sigma }}{F}_{\mathrm{ij}}-\mathrm{Rank}\left(M_i\right)$

表示支链中全体运动副自由度总和。

通过并联机构各支链运动螺旋空间的交集空间维数来计算动平台的自由 度。

通过互补螺旋的概念，给出了螺旋空间交集运算的详细过程。

对于双支链单环机构，无需求取交集空间，而能直接获得动平台自由度。

对于两条支链螺旋空间并集的维数等于一条支链螺旋矩阵的秩，或者等于 两条支链螺旋矩阵的秩之和的情况，能够直接获得交集空间而无需任何运算。

本发明具有的有益效果是：

1)本发明提出的自由度计算方法能够无例外地正确计算所有类型并联机构 的动平台自由度和机构整体自由度；

2)本发明提出的自由度计算方法对于单环机构，无需求取双支链螺旋空间 的交集空间，而能直接获得动平台自由度；

3)本发明提出的自由度计算方法对于两条支链螺旋空间并集的维数等于一 条支链螺旋矩阵的秩，或者等于两条支链螺旋矩阵的秩之和的情况，能够直接 获得交集空间而无需任何运算。

附图说明

图1是基于螺旋空间交集运算的并联机构自由度计算的流程图。

图2是单环6R并联机构示意图。

图3是多环3-CPR并联机构示意图。

图中：1、圆柱副，2、移动副，3、转动副，4、圆柱副，5、移动副，6、 转动副，7、圆柱副，8、移动副，9、转动副。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的说明。

（1）结合单环6R机构对本发明作进一步说明。基于螺旋空间交集运算的 并联机构自由度计算方法的流程图见图1所示，对于单环机构自由度计算，包 括以下关键步骤：

1)计算支链螺旋空间的维数；

2)计算双支链单环机构动平台自由度；

3)布置并联机构的驱动器；

4)识别支链中可能存在的局部自由度；

5)计算并联机构的整体自由度。

以图2所示的单环6R机构为例。机构每个运动副都是转动副，以图2中P 点所在杆件为机构动平台，P点左边为第一支链，P点右边为第二支链。

1)计算支链螺旋空间的维数：

由于每条支链均由三个转动副组成，每个转动副有一个自由度。根据螺旋 理论，第一支链的螺旋矩阵的秩为Rank(M₁)=3，因此第一支链螺旋空间的维数 是3；第二支链的螺旋矩阵的秩Rank(M₂)=3，因此第二支链螺旋空间的维数也 是3。

2)计算双支链单环机构动平台自由度：

由于第一支链和第二支链螺旋空间的并集螺旋矩阵的秩为Rank(M₁∪ M₂)=3，根据(式1)有，DOF(MovingPlatform)=Rank(M₁)+Rank(M₂)-Rank(M₁∪M₂)=3+3-3=3，即机构动平台自由度为三个。

3)布置并联机构的驱动器：

机构动平台有三个自由度，因此需要布置三个驱动器。这三个驱动器可以 布置在6R并联的任意三个关节，均满足要求。

4)识别支链中可能存在的局部自由度：

无论如何布置三个驱动器，两条支链均不含冗余自由度和局部自由度。

5)计算并联机构的整体自由度：

根据(式4)有，$\mathrm{DOF}\left(\mathrm{Mechanism}\right)=\mathrm{DOF}\left(\mathrm{MovingPlatform}\right)+\underset{i=1}{\overset{I}{\Sigma }}{F}_{\mathrm{ri}}-\underset{i=1}{\overset{I}{\Sigma }}{\xi }_i=$$3+0-0=3,$即机构整体自由度为3。

（2）结合多环3-CPR机构对本发明作进一步说明。基于螺旋空间交集运算 的并联机构自由度计算方法的流程图，见图1所示，对于多环机构自由度计算， 包括以下关键步骤：

1)计算支链螺旋空间的维数；

2)计算两条支链螺旋空间的交集空间；

3)计算多环并联机构动平台的自由度；

4)布置并联机构的驱动器；

5)识别支链中可能存在的局部自由度；

6)计算并联机构的整体自由度。

以图3所示的多环3-CPR机构为例。图3中机构含有三条支链，左边为第 一支链，中间为第二支链，右边为第三支链。

1)计算支链螺旋空间的维数：

由于每条支链均由一个圆柱副1、4、7，一个移动副2、5、8，一个转动副 3、6、9组成，圆柱副有二个自由度，移动副有一个自由度，转动副有一个自由 度。根据螺旋理论，第一支链的螺旋矩阵的秩为Rank(M₁)=4，因此第一支链螺 旋空间的维数是4；第二支链的螺旋矩阵的秩Rank(M₂)=4，因此第二支链螺旋 空间的维数也是4；第三支链的螺旋矩阵的秩Rank(M₃)=4，因此第三支链螺旋 空间的维数也是4。

2)计算两条支链螺旋空间的交集空间：

由于Rank(M₁∪M₂)=4，因此第一支链和第二支链的交集空间含有 Rank(M₁)+Rank(M₂)-Rank(M₁∪M₂)=4个基螺旋，将其张成的螺旋空间记为A₁₂， 螺旋矩阵记为M₁₂。由于N₁=N₂=N₃=4，说明M₂中螺旋向量对M₁∪M₂中螺旋向 量的数目没有贡献，即螺旋空间A₁∪A₂完全等于螺旋空间A₁；当然也可以理解 为M₁中螺旋向量对M₁∪M₂中螺旋向量的数目没有贡献，即螺旋空间A₁∪A₂完全等于螺旋空间A₂。因此，此时A₁₂=A₁∩A₂=A₁=A₂，即M₁或者M₂中螺旋 向量是螺旋空间A₁∩A₂的基螺旋，Rank(M₁₂)=4。

3)计算多环并联机构动平台的自由度：

由于Rank(M₃)=4，Rank(M₁₂∪M₃)=5，因此根据(式3)，动平台的自由度 DOF(MovingPlatform)=Rank(M₁₂)+Rank(M₃)-Rank(M₁₂∪M₃)=4+4-5=3。

4)布置并联机构的驱动器：

构动平台有三个自由度，因此需要布置三个驱动器。第一支链和第二支链 的圆柱副的转动自由度上只能布置一个驱动器；若同时布置二个驱动器，则 Rank(M₁’∪M₂’)=3<Rank(M₁∪M₂)=4，即产生过驱动。通常这3个驱动器布 置在第一支链、第二支链、第三支链的圆柱副的移动自由度上。

5)识别支链中可能存在的局部自由度：

无论如何布置二个驱动器，两条支链均不含局部自由度。

6)计算并联机构的整体自由度：

根据(式4)有，$\mathrm{DOF}\left(\mathrm{Mechanism}\right)=\mathrm{DOF}\left(\mathrm{MovingPlatform}\right)+\underset{i=1}{\overset{I}{\Sigma }}{F}_{\mathrm{ri}}-\underset{i=1}{\overset{I}{\Sigma }}{\xi }_i=$$3+0-0=3,$即机构整体自由度为3。