自动调整用于空间分布过程的大规模多元模型预测控制器

摘要

用于多阵列造纸机横向(CD)过程的大规模多元模型预测控制器的自动调整方法可以显著改善相对于传统控制器的控制器的性能。造纸机CD过程是大规模空间分布动态系统。由于这些系统的(几乎全部)空间变量性质，由具有矩形轮换矩阵块的转移矩阵近似闭环转移函数，转移矩阵的输入和输出奇异向量是维数与致动器的数量或测量的数量相等的傅立叶分量。该近似使用于这些系统的模型预测控制器能够通过数字搜索最优化权重来进行调整，以便在用于性能和鲁棒性的二维频率域中使闭环转移函数具有适当形状。一种新颖的定标方法用于在空间频率域中对多元系统的输入和输出进行定标。

说明书

技术领域

本发明通常涉及用于监控和控制连续造纸(continuoussheetmaking)系统的技术，并特别是涉及自动调整用于例如造纸机横向过程的空间分布过程的大规模多元模型预测控制器。

背景技术

在利用现代高速机器造纸的技术中，必须连续监控和控制纸性质以保证纸张质量并在制造过程出现扰动时使不合格的成品量最小化。最经常要测量的纸张变量包括制造过程中不同阶段时纸张的基本重量、水分含量和纸厚度测径器(即厚度)。通常通过例如在过程开始时调节给料供给速度、在过程中期附近调节施加给纸张的蒸汽量、或在过程结束时改变压光辊之间的夹压力，来控制这些过程变量。

造纸机采用跨越连续移动卷筒展开的大型致动器阵列来控制如由从致动器的下游的一个(或数个)扫描传感器测量的纸性质的横向(CD)分布。通常，设计者正使用配对规则来选择用于控制一个纸张性质的一个CD致动器阵列，而多阵列CD过程的相互作用在传统CD控制中通常被忽略。

不幸的是大多数良好设计的单阵列CD系统是病态的(ill-conditioned)。即使在稳态时，一些它们的奇异值也小得难以察觉。大维数和病态使这些过程向控制提出挑战。近来已经提出对于多阵列CD过程而言过程的病态可能是由于多阵列测量和致动器之间的相互作用。这意味着多阵列CD系统比单阵列CD系统可能更难以控制。

已经对CD过程中的模型预测控制(MPC)的应用考虑过一段时间。虽然大多数刊发论文仅考虑一个致动器阵列和一个受控性质，从而不注意控制多个纸张性质的并列多CD致动器阵列的问题，但是多阵列CD控制系统变得更加普遍。工业模型预测控制实施可以采用从补充工业模型识别工具(complementary industrial modelidentification tool)获得的CD过程的多阵列模型。多阵列控制的优点在已经报道过的改善的性能方面是明显的。在线最优化的主要缺点是所需的巨大的计算负担，如约束二次方程式编程(QP)问题可能需要产生如600个那么多的致动器选点，从频繁如每15秒上至6000次测量上经受上至1800个约束。最优化问题是高结构化的，而开发这种结构的最优化算法已经被开发出来。可能的补充技术是使用模型缩小技术来减少最优化问题的大小。

在R.Shridhar和D.J.Cooper的“A tuning strategy forunconstrained multivariable model predictive control”，Industrial&Engineering Chemistry & Research，vol.37，no.10，pp 4003-4016，1998，和D.Dougherty和D.J.Cooper的“Tuningguidelines of a dynamic matrix controller for integrating(non-self-regulating)processes”，Industrial&EngineeringChemistry&Research，vol.42，no.8，pp 1739-1752，2003中，作者提出用于多元动态矩阵控制器的一些调整指导方针。在K.Y.Rani和H.Unbehauen的“Study of predictive controller tuningmethods”，Automatica，vol.33，no.12，pp 2243-2248，1997中，作者提出基于调整规则和闭环防真的用于预测控制器的调整程序。

在J.H.Lee和Z.Yu的“Tuning of model predictivecontrollers for robust performance”，Computers&ChemicalEngineering，vol.18，no.1，pp.15-37，1994中，提出基于MPC控制器的闭环性质的频率域分析的调整规则。在A.Al-Ghazzawi等的“On-line tuning strategy for model predictive controller”，Journal of Process Control，vol.11，no.3，pp 265-284，2001中，基于闭环预测的输出和MPC调整参数之间的线性近似提出用于线性模型预测控制算法的在线调整策略。J.Trierweiler和L.A.Farina的“RPN tuning strategy for model predictive control”，Journal of Process Control，vol.13，no.7，pp.591-598，2003，基于用于多输入多输出(MIMO)MPC的鲁棒性能数量(robustperformance number)提出一种调整策略。不过，上述调整策略不可直接用于调整大规模二维工业CD MPC，尤其是在空间域中。

用于实施造纸机CD MPC控制系统的程序在图1中示出。选择预测水平和最优化权重的第三步通常是ad hoc，并通常经由闭环系统的仿真来估计。该技术的状态是迅速成为对于大规模MPC问题无法解决的问题的试误法。一阶静态最优化器已经被提出，用于在准确预测稳态性能的同时大大减少计算时间。对于CD过程而言，已经看出可以在空间域和时间域中分别调整CD控制器。不过，即使利用静态最优化器，通过试误法调整多元CD预测控制器也是非常困难的，即使对于有经验的工程师也是如此，这是因为存在如此多的(通常大于10)调整参数。另一个实际问题是未指出对于不可避免的模型不确定性来说控制器是否是鲁棒稳定的。

发明内容

本发明针对用于大规模多元MPC的新颖自动调整方法。该方法特别适于应用于造纸机或机外超级压光机中的空间分布的多CD阵列过程。

单阵列CD过程可以由矩形轮换矩阵近似，并接着转换到空间和时间频率域中。本发明部分基于认识到多CD阵列过程可以由矩形轮换矩阵块近似。在适当转换和置换之后，可以将大维数的对象模型(plant model)分离成跨越空间频率的小MIMO系统的族。将在二维频率域中进行调整。过程模型的定标保证调整的参数不随测量和促动的物理单位变化而改变。自动调整的多阵列CD过程在二维频率域中提供所需的闭环行为。

在一个实施例中，本发明针对用于空间分布过程的多元模型预测控制器(MPC)的自动调整方法，包括下列步骤：

(a)识别用于空间分布过程的过程模型；

(b)对过程模型的输入和输出进行定标；

(c)将过程模型转换到二维频率域中；

(d)将MPC转换到二维频率域中；

(e)确定空间调整参数关于模型不确定性的最佳解；和

(f)确定时间调整参数关于模型不确定性的最佳解。

步骤(e)和(f)的每一个都可以采用(i)非结构性模型不确定性，例如乘法(multiplicative)输入不确定性、乘法输出不确定性、逆加法模型不确定性、逆乘法输入不确定性、逆乘法输出不确定性，或(ii)结构性模型不确定性，来满足鲁棒稳定条件。

在另一个实施例中，本发明针对一种过程控制系统，其具有多元模型预测控制器(MPC)，用于提供对具有至少一个被操纵致动器阵列和至少一个受控测量阵列的多阵列横向(CD)过程的控制，一种用于提供过程控制的方法，包括下列步骤：

(a)通过下列步骤自动调整MPC：

(i)识别用于CD过程的过程模型；

(ii)对过程模型的输入和输出进行定标；

(iii)将过程模型转换到二维频率域中；

(iv)将MPC转换到二维频率域中；

(v)计算用于MPC的空间和时间调整参数的可能范围；

(vi)确定空间调整参数关于模型不确定性的最佳解；和

(vii)确定时间调整参数关于模型不确定性的最佳解；

(b)将最佳调整参数输入到MPC；和

(c)利用MPC对多阵列CD过程进行控制。

在另一个实施例中，本发明针对在多元阵列横向过程中形成材料的系统，其中该系统包括：

至少两组致动器阵列，每个在横向(CD)上都毗连材料分布，其中每组致动器阵列都是可控的以改变材料的性质；

用于测量和获得关于材料在横向上的性质的性质数据的装置；和

用于为多阵列横向过程提供CD控制的多元模型预测控制器(MPC)，其中MPC包括用于自动调整MPC的装置，其中MPC响应于指示性质数据的信号，给至少两组致动器阵列提供信号以改变材料的性质。

附图说明

图1是用于实施工业造纸机CD控制的程序；

图2是造纸厂中使用的机外(off-machine)超级压光机过程。

图3是具有方程14中的无约束MPC的闭环系统框图；

图4是空间频率域中sub子对象模型(subplant model)的对角线性质；

图5是方程23中的块对角线性质；

图6a是CD MPC的调整程序；

图6b是CD MPC系统的自动调整程序；

图7(a)和7(b)描绘出空间频率域中的灵敏度函数(a)和控制灵敏度函数(b)的图形(仅示出一个测量和一个致动器阵列)；

图8(a)和8(b)描绘出时间频率域中的灵敏度函数(a)和控制灵敏度函数(b)的图形(仅示出一个测量和一个致动器阵列)；

图9是空间频率域中的定标静态模型的奇异值的图形；

图10(a)-(f)是空间频率域中稳态时的((a)、(b)和(c))和时间频率域中零空间频率时的((d)、(e)和(f))灵敏度函数的图形；

图11(a)-(c)是通过使用不同控制策略测量分布的2-σ趋势图的曲线。

具体实施方式

本发明的自动调整的方法将通过把该技术实施在控制造纸机的高度压光过程的大规模多元MPC中来说明。高度压光是造纸业中的公共过程。高度压光过程是机上连续过程或机外分批过程。利用它来改善纸张的表面性质，例如对于高质量印刷纸张关键的平滑和光泽(发亮)。纸张可以是无涂层的、单面涂层的或双面涂层的。

应该明白本发明的技术足以灵活到可应用于受到多元MPC控制的任何大规模工业多元横向(CD)过程。例如，除了机外和机上高度压光过程之外，其它造纸机过程也可以通过多元MPC进行控制。由潮湿原料连续造纸的适当造纸机过程在下列多个专利中被进一步介绍，例如，美国专利MacHattie等人的6,805,899，Heaven等人的6,466,839，Hu等人的6,149,770，Hagart-Alexander等人的6,092,003，Heaven等人的6,080,278，Hu等人的6,059,931，Hu等人的6,853,543和He的5,892,679，它们都转让给了Honeywell International，Inc.并通过参考并入在此。本发明技术还可以应用于塑料纸制造(plasticsheetmaking)、橡胶纸制造(rubber sheetmaking)和板金操作(sheetmetal operation)。

超级压光机的多CD阵列过程模型

图2示出造纸厂中采用的机外超级压光机过程。将超级压光机CD过程用作典型的多CD阵列过程模型来说明本发明。也就是，象其它造纸机CD过程那样，超级压光过程是二维(空间和时间)过程。过程开始于在开卷机10处由卷轴开卷纸张。接着在垂直布置的一系列辊12、14、16、18、20、22、24、26、28和30之间装入纸张。纸张经过的两个辊之间的点被称为辊隙。将辊布置成利用堆垛中间的两个连续的软辊18、20来交替改变硬和软。包含两个连续软辊的辊隙被称为换向辊隙。就是在这点处由硬辊进行的工作从纸张的一侧转移到另一侧。纸张经过该堆垛底部出来，通过测量纸张性质的扫描器40，并接着在重绕架42处的卷轴上卷起。用于造纸制造的在线扫描传感器在美国专利Dahlquist的4,879,471、Dahlquist等人的5,094,535和Dahlquist的5,166,748中公开，它们全部转让给了Honeywell International，Inc.并通过参考并入在此。可选地，为了CD测量，传感器阵列可以沿着CD定位在毗连移动的纸张的任何适当位置处。

利用热水加热辊16和22。该过程还配备有两个蒸汽盒致动器阵列48和50以及两个感应加热致动器阵列44和46。对于两个蒸汽盒致动器阵列而言，纸正面(top side)的那个指定为u₁而纸反面(wire side)的那个指定为u₄。对于两个感应加热致动器阵列而言，纸正面的那个指定为u₂而纸反面的那个指定为u₃。每个蒸汽盒致动器阵列都有n₁＝n₄＝31个致动器而每个感应加热致动器阵列都有n₂＝n₃＝64个致动器。被控制的纸张性质是由y₁指示的纸正面光泽(平滑)、由y₂指示的纸厚度测径器(厚度)和由y₃指示的纸反面光泽。在扫描器的传感器的信号处理之后，测量阵列的数量为m＝192。当该示例性超级压光机具有维数192的3个测量和4个致动器阵列时，本发明的调整方法可应用于具有其它仪器配置的超级压光机，并且实际上，该方法通常可应用于其它多元CD过程。

多CD阵列系统过程模型由下式给出：

Y(z)＝G(z)U(z)+D(z)，(1)

$G\left(z\right)=\left(\begin{array}{cccc}{G}_{11}\left(z\right)& G_{12}\left(z\right)& 0& 0\\ G_{21}\left(z\right)& G_{22}\left(z\right)& G_{23}\left(z\right)& G_{24}\left(z\right)\\ 0& 0& G_{33}\left(z\right)& G_{34}\left(z\right)\end{array}\right)---\left(2\right)$

G_ij(z)＝P_ijh_ij(z)，(3)

其中

Y(z)＝[y₁(z)，y₂(z)，y₃(z)]^T∈C^576×1，y₁(z)∈C^192×1，

U(z)＝[u₁(z)，u₂(z)，u₃(z)，u₄(z)，]^T∈C^190×1，

$u_j\left(z\right)\in C^{n_j\times 1},j=\mathrm{1,2,3,4}$

D(z)＝[d₁(z)，d₂(z)，d₃(z)]^T∈C^576×1，d_i(z)∈C^192×1，

$h_{\mathrm{ij}}\left(z\right)=\frac{(1-a_{\mathrm{ij}})z^{-T_{\mathrm{dij}}}}{1-a_{\mathrm{ij}}{z}^{-1}},$

这里Y(z)、U(z)和D(z)分别是扰动分布、致动器分布和测量分布的z-变换；P_ij是描述(i，j)^th过程的空间响应的(i，j)^th相互作用矩阵；h_ij(z)是(i，j)^th过程的时间响应的z-变换，整数T_dij表示(i，j)^th过程死时间，而a_ij与(i，j)^th过程时间常数和采样时间有关。空间相互作用矩阵P_ij和时间响应h_ij(z)通过标准工业软件工具由输入-输出数据识别，例如在D.M.Gorinevsky和C.Gheorghe的“Identification tool forcross-directional processes”，IEEE Transactions on ControlSystems Technology，vol.11，no.5，pp 629-640，Sept，2003.中所描述的。阵列中的每个致动器都被认为具有相同的空间响应形状。另外，空间相互作用矩阵P_ij被近似为矩形轮换矩阵(RCMs)。在J.Fan等人的“Two dimensional frequency analysis for unconstrainedmodel predictive control of cross directional processes”，Automatica，vol.40，no.11，pp.1891-1903，2004.中进一步介绍了RCMs的概念以及它们的性质。实际上，这种近似通常是较小的。

通常，为了正确调整CD MPC控制系统，有必要要求调整参数不随测量和促动的物理单位改变而改变。还要求调整参数不随测量和促动的分辨率改变而改变。测量和促动的分辨率改变意味着仅仅输入和输出的维数被增大/减小而空间响应形状不改变(也就是，P_ij的列向量的维数和P_ij的列向量的数量被增大/减小但是它们的形状不改变)。为了完成这种任务，有必要对(1)中的过程模型G(z)定标(scaled)。在正确的预处理之后，可以通过在例如Lu的美国专利5,574,638中介绍的标准技术来实现定标，该专利转让给了Honeywell International，Inc.，其通过参考被并入这里。下面给出用于多CD过程模型G(z)的新颖定标函数。

定标

可以将多横向过程模型G(z)转换成一系列小矩阵模型，其根据如下“时间和空间频率”部分所示的空间频率进行分类。稳态时(z＝1)，这些模型是：

$g(v_k,1)=\left(\begin{array}{cccc}{g}_{11}(v_k,1)& g_{12}(v_k,1)& 0& 0\\ g_{21}(v_k,1)& g_{22}(v_k,1)& g_{23}(v_k,1)& g_{24}(v_k,1)\\ 0& 0& g_{33}(v_k,1)& g_{34}(v_k,1)\end{array}\right),---\left(4\right)$

这里v_k是第k阶空间频率(k＝0，1，...p)，v_p是(除了那些零相互作用subplant之外的)所有subplant的最小“截止”频率。可以将一个subplant v_c的“截止”频率限定为

$\left|\tilde{f}\left(v\right)\right|\le \xi ·\max \left(\right|\tilde{f}\left(v\right)\left|\right)$对于v≥v_c    (5)

这里ξ＝0.1～0.5，表示(3)中的P_ij的空间频率分量。

这里(4)中的全部“可控制的”频率模型g(v_k，1)的平均模型用于表现非定标模型，

$\bar{g}=\left(\begin{array}{cccc}{\bar{g}}_{11}& {\bar{g}}_{12}& 0& 0\\ {\bar{g}}_{21}& {\bar{g}}_{22}& {\bar{g}}_{23}& {\bar{g}}_{24}\\ 0& 0& {\bar{g}}_{33}& {\bar{g}}_{34}\end{array}\right),---\left(6\right)$

这里

${\bar{g}}_{\mathrm{ij}}=\frac{{\Sigma }_{k=0}^p{g}_{\mathrm{ij}}(v_k,1)}{p+1},$这里i＝1，2，3，j＝1，2，3，4，

p是来自全部subplant v_p的上述最小“截止”频率。

令定标函数为对角线矩阵d_y∈R^3×3和d_u∈R^4×4，于是“可控制的”频率范围中的定标平均模型g_s∈R^3×4由下式定义：

${\bar{g}}_s=d_y·\bar{g}·d_u^{-1}---\left(7\right)$

d_y和d_u用于使g的条件数最小化并可以通过美国专利5,574,638中介绍的迭代方法来解决。

用于(1)中的输入U(z)和输出Y(z)的定标函数为：

D_y＝diag(d_y(I)I_m，d_y(2)I_m，d_y(3)I_m)，(8)

$D_u=\mathrm{diag}(d_u\left(1\right)I_{n_1},d_u\left(2\right)I_{n_2},d_u\left(3\right)I_{n_3},d_u\left(4\right)I_{n_4}),---\left(9\right)$

这里算子“diag”表示产生对角线矩阵，而I_x意味着x乘x单位矩阵。因此，可以通过下式计算定标的输入、输出和多CD过程模型

U_s(z)＝D_uU(z)，(10)

Y_s(z)＝D_yY(z)，(11)

$G_s\left(z\right)=D_{y}G\left(z\right)D_u^{-1},---\left(12\right)$

为了简化符号，从现在开始，将模型G(z)认为是不受输入和输出的物理单位影响的定标模型。

也已经假设真实的过程响应属于一组可行的响应模型，其可以描述为

G_p(z)∈∏：＝{G(z)+Δ(z)：σ(Δ(e^iω))＜α‖G(z)‖_∞}。   (13)

这里α∈(0，1)是将扰动转移矩阵G_p(z)限制到(1)中的标称模型G(z)附近的正标量数量，Δ(z)是非结构附加的模型不确定性，σ表示最大奇异值，z＝e^iω和符号ω表示时间频率。

工业CD模型预测控制器

本发明方法可以自动调整空间分布过程使用的任何适当的大规模多元模型预测控制器。在该示例中，该方法在用于CD过程的近来开发的工业MPC控制器中被采用，所述CD过程在转让给了HoneywellASCa Inc的Backstrom和He的美国专利6,807,510中被介绍，该专利通过参考并入在此。对于这种工业MPC，二次方程式编程问题如下，

$\underset{\mathrm{\Delta U}\left(k\right)}{\min }\underset{i=1}{\overset{H_p}{\Sigma }}E{(k+i)}^T\mathrm{QE}(k+i)+\{\mathrm{\Delta U}{\left(k\right)}^T{Q}_2\mathrm{\Delta U}\left(k\right)$

$+{(U\left(k\right)-U_i)}^T{Q}_3(U\left(k\right)-U_i)+U{\left(k\right)}^T{Q}_{4}U\left(k\right)\}---\left(14\right)$

受到(1)和致动器阵列上的下列约束：

ΩΔU(k)≤b-φU(k-1)    (15)

这里$E\left(k\right)=\hat{Y}\left(k\right)-Y_{\mathrm{sp}}\left(k\right),$是预测输出分布，Y_sp是用于受控纸张性质的选点，H_p是预测水平，并将控制水平选择为1，这是由于相对简单的动态和计算考虑，致动器阵列ΔU(k)(＝U(k)-U(k-1))和U_i中的变化是用于致动器分布的目标位置，而权重

Q₁＝diag(q₁₁I_m，q₁₂I_m，q₁₃I_m)，(16)

Q_j＝diag(q_j1I_n1，…，q_j4I_n4)，j＝2，3，(17)

$Q_4=\mathrm{diag}(q_{41}{B}_{n_1}^T{B}_{n_1},···,q_{44}{B}_{n_4}^T{B}_{n_4}),---\left(18\right)$

这里diag(x₁，…，x_n)意味着(块)对角线矩阵具有(块)对角线元素x₁，…，x_n，I_x表示x乘x单位矩阵，$B_{n_j}\in R^{n_j\times n_j}$被称为“弯曲力矩矩阵”；q_ii(i＝1至3)、q_jk(j＝2，3，4)和k＝1至4是正标量数量，其需要被调整，(15)中的Ω、φ和b分别是约束矩阵和向量，其由致动器上的物理限制的考虑、或有时由过程的热考虑分别得出。

闭环转移函数

严格地讲，(14)-(15)中的模型预测控制器是时间变化的非线性控制器。非常难以直接分析闭环系统的性质。因此，在该示例中，策略是首先忽略约束(15)，然后计算闭环转移矩阵并基于这些矩阵分析系统的性能和鲁棒性，并最终为了实施而再次引入约束(15)。当再次引入约束时这种技术不保证性能，所以它将提供对于通常情况下可接受的性能，此时没有约束起作用。它以这种方式提供电流试误加闭环仿真方法上的优点。目标是设计权重Q₁至Q₄，使用于非约束情况的闭环转移函数具有二维频率域中的所需性质。

图3示出具有非约束MPC的闭环系统的框图。来自(1)-(3)和(4)的常数预滤器矩阵K_r∈R^576×576和复转移矩阵K(z)∈C^190×576的导出是标准的。

图3中的线性闭环系统对于(13)中的全部对象(plant)G_p(z)都是鲁棒稳定的，如果它是标称稳定的并且

${\left|\right|R\left(z\right)\Delta \left(z\right)\left|\right|}_{\infty }<1\Leftarrow \bar{\sigma }\left(R\left(e^{\mathrm{i\omega }}\right)\right)<\frac{1}{\bar{\sigma }\left(\Delta \left(e^{\mathrm{i\omega }}\right)\right)},\forall \omega ,,---\left(20\right)$

R(z)＝K(z)·[I-G(z)K(z)]^-1，(21)

这里Δ(z)是(13)中的非结构不确定性，而结果(20)是由小增益定理得出的，R(z)∈C^190×576(也被称为控制敏感度函数)是使致动器选点U(z)与输出扰动D(z)相连接的标称闭环转移矩阵。

可以由图3的使被测量的分布Y(z)与输出扰动D(z)相联系的标称转移矩阵将CD控制性能标准定义为，

S(z)＝[I-G(z)K(z)]^-1，(22)

这里S(z)∈C^576×576也被称为灵敏度函数。

工业模型预测控制器(14)中可用的设计自由度是权重矩阵Q(1)至Q(4)和预测水平H_p。这些参数应被自动调整使得：

(i)由(14)和(1)给出的闭环控制系统对于(13)中的所有G_p(z)∈∏都是稳定的；

(ii)稳态时，(14)中的误差分布E(k)的2-范数被保持得尽量小；和

(iii)二维频率域中的所需闭环性质。

时间和空间频率

这部分概述关于矩形轮换矩阵(RCMs)和矩形轮换块矩阵提出的部分工作。

已知这些单CD阵列系统G_ij(z)是空间频率限带的。因此，(2)中的G_ij(z)近似为空间频率限带RCMs。令$G\left(z\right)(=F_m{G}_{\mathrm{ij}}\left(z\right)F_{n_j}^H)$表示空间频率域中的模型，这里F_m∈C^192×192和$F_{n_j}\in C^{n_j\times n_j}$是复傅立叶矩阵而H意味着共轭转置。注意${\tilde{G}}_{\mathrm{ij}}\in C^{192\times n_j}$具有如图4中所示的对角线非零元素，其表示由于其RCM特性导致的空间频率增益。在图4中，g_ij(v₀，z)是零空间频率v₀时的增益，g_ij(v_k，z)和是共轭的并表示具有不同相位的相同空间频率增益，对于偶数n_j有p＝q-1＝n_j/2-1，而对于奇数n_j有p＝q-1＝(n_j-1)/2。

二维频率域中的多阵列CD过程模型可以通过下式得到

$\hat{G}\left(z\right)=P_y{F}_{y}G\left(z\right)F_u^H{P}_u^T,---\left(23\right)$

这里P_y∈R^576×576和P_u∈R^190×190是置换(酉)矩阵，而F_y和F_u是

F_y＝diag(F_m，F_m，F_m)，$F_u=\mathrm{diag}(F_{n_1},F_{n_2},F_{n_3},F_{n_4}).$

矩阵如图5中所示，这里g(v_k，z)通过下式得到

$g(v_k,z)=\left(\begin{array}{cccc}{g}_{11}(v_k,z)& g_{12}(v_k,z)& 0& 0\\ g_{21}(v_k,z)& g_{22}(v_k,z)& g_{23}(v_k,z)& g_{24}(v_k,z)\\ 0& 0& g_{33}(v_k,z)& g_{34}(v_k,z)\end{array}\right),$

可以通过解出按照低到高的空间频率分类的小维数矩阵g(v₀，z)、g(v_k，z)和的奇异值，来得到的奇异值。最终我们可以根据空间频率得到(2)中G(z)的奇异值。

对于多阵列系统，如果(2)中的标称对象G(z)是RCM-块矩阵并且其子对象(subplant)G_ij(z)是空间限带的，则图(3)中的非约束MPC控制器K(z)、(22)中的灵敏度函数S(z)和(21)中的转移矩阵R(z)也具有空间限带的RCM-块结构。这使闭环转移函数的分析进入到二维频率域。

自动调整

由(14)式，调整参数是预测水平H_p和权重Q₁至Q₄。通常(14)中预测水平H_p的设计是基于过程的动态并被选择成最大时间延迟T_dij与子对象的最大时间常数的3倍之和。

可以通过注意不失去一般性来减少调整参数选择中自由度的数量。(14)中的Q₁可以被固定并通过Q₂、Q₃和Q₄修改闭环性能。通常在CD MPC中，权重矩阵Q₂被认为是影响闭环系统的动态而Q₃影响更慢的行为和稳态性能，Q₄影响高空间频率行为。

从J.Fan等人的“Two-dimensional frequency analysis forunconstrained model predictive control of cross-directionalprocesses”，Automatica，vol.40，no.11，pp.1891-1903，2004，中的定理3，已知二维频率域中(22)中的灵敏度函数S(z)在稳态(z＝1)时不依赖于Q₂，而在空间频率v＝0时不依赖于Q₄。这意味着可以分别调整闭环控制系统，首先在稳态时用于空间频率域中的空间调整，接着在空间频率v＝0时用于时间频率域中的时间调整。在图6a中概述调整策略。调整目标是令控制器尽可能主动(aggressive)，同时仍遵守(20)中的鲁棒稳定条件，也就是，令(17)、(18)中的q_2j、q_3j、q_4j(j＝1)尽可能小。

在这种设计中，已经假设用户将基于产品的要求和致动器的物理考虑来提供相对重要的被控制性质和相对主动的被操纵致动器阵列。对于默认而言，每个被控制的性质都被认为是相同重要的并且每个致动器阵列都同样主动地工作。令q_i1，j和q_ik，j(k＝2，3，4)分别表示第i次测量的相对重要参数和第j次致动器阵列的相对主动参数。对于这些参数的默认值都为1。

可以在如图6b中所示的CD MPC系统的自动调整方法中采用如图6a中所示的调整策略，这里用于实施模型识别工具以识别过程模型的优选技术是执行标准撞击测试和模型识别步骤，其例如在美国专利Gorinevsky和Heaven的6,086,237中被介绍，该专利转让给了Honeywell International，Inc，通过参考并入在此。使用过程模型，可以在可能的预计算范围内自动搜索易于调节的调整参数。被确定的调整参数被接着加载给控制CD过程的MPC，例如超级压光机。本发明方法保证控制器是最佳的和加鲁棒的，也就是，控制系统能够在多种操作条件下始终如一地操作。

空间调整

为了简化自动调整过程，用于空间调整参数Q₃和Q₄的全局空间比例参数ρ被使用。也就是，

$Q_3=\rho ·\mathrm{diag}(q_{i31}{I}_{n_1},···,q_{i34}{I}_{n_4}),,---\left(24\right)$

$Q_4=\rho ·\mathrm{diag}(q_{i41}{I}_{n_1},···,q_{i44}{I}_{n_4})..---\left(25\right)$

由上述讨论，除了相对重要参数之外的测量权重被固定，

Q₁＝Q_i1＝diag(q_i11I_m，q_i12I_m，q_i13I_m).(26)

稳态时(z＝1)CD MPC的灵敏度函数S(z)和控制灵敏度函数R(z)为：

$S\left(1\right)={[I+G_{\mathrm{ss}}{\rho }^{-1}{(Q_{i3}+Q_{i4})}^{-1}{G}_{\mathrm{sum}}^{\tau }{Q}_{i1}]}^{-1},,---\left(27\right)$

$R\left(1\right)={[\rho (Q_{i3}+Q_{i4})+G_{\mathrm{sum}}^{\tau }{Q}_{i1}{G}_{\mathrm{ss}}]}^{-1}{G}_{\mathrm{sum}}^{\tau }{Q}_{i1},---\left(28\right)$

这里G_ss是定标稳态模型，G_sum是与预测水平和过程动态相关的矩阵。

空间调整目标是找到最小的ρ以满足(20)中的鲁棒稳定条件。首先得出使高限制ρ_high被保证以满足鲁棒稳定条件的范围ρ∈(ρ_low，ρ_high)。保守性能(conservative performance)和自动调整程序中的该结果接着使用关于ρ的分半搜索方法，以便降低保守性(conservativeness)。

对于ρ而言最主动的调整数量是ρ＝0。如果ρ→0，则S(1)→0而σ(R(1))→+∞，这是由于G_ss的最小奇异值几乎为0的事实。因此，ρ的下限为ρ_1ow＝0。

最鲁棒的调整为ρ→+∞。如果ρ-→+∞，则σ(R)→0。不过，为了满足鲁棒稳定条件(20)，需要ρ足够大。由(28)，如果令

ρ＞(1+α)σ((Q_i3+Q_i4)^-1)σ(G_sum)σ(Q_i1)σ(G_ss)，，(29)

则，

$\bar{\sigma }\left(R\left(1\right)\right)<\frac{1}{\alpha \bar{\sigma }\left(G_{\mathrm{ss}}\right)}---\left(30\right)$

这里α表示(13)中模型不确定性的程度。这意味着(20)中的鲁棒稳定条件在稳态时被满足。注意Q_i3和Q_i4对角线元素q_i3j和q_i4j(j＝1至4)是正数。

由(29)，对于Q_i1、Q_i3和Q_i4的所有可能值，ρ的高限(稳态时其满足(20)中的鲁棒稳定条件)为：

${\rho }_{\mathrm{high}}=(1+\alpha )\bar{\sigma }\left(G_{\mathrm{sum}}\right)\bar{\sigma }\left(G_{\mathrm{ss}}\right)\frac{\max (q_{i11},q_{i12},q_{i13})}{\min (q_{i31},···,q_{i34})}---\left(31\right)$

如前面部分中所述的那样，作为RCM-块矩阵，可以通过类似于g(v_k，z)的r(v_k，1)来计算(28)中的控制灵敏度函数R(1)的奇异值。对于每个空间频率，为了满足鲁棒条件，从0到ρ_high搜索最主动的ρ。

$\bar{\sigma }\left(r(v_k,1)\right)<\frac{1}{\alpha \bar{\sigma }\left(G_{\mathrm{ss}}\right)},\forall v_k---\left(32\right)$

搜索方法是分半方法。该方法将保证ρ是收敛的并进一步满足鲁棒稳定条件。

图7中示出的简单示例用于说明减小的Q₃改善了空间性能并减小了鲁棒稳定裕度。为了清楚起见该示例仅示出一个致动器阵列和一个测量阵列的情况。注意图7a中的空间灵敏度函数的最大峰值是1，这不同于其时间对应部分(见图8a)。原因在于控制器在空间域中是非因果的，而控制器在时间域中是因果的。

时间调整

在上述空间调整程序之后，得知空间调整参数Q₃和Q₄。在这部分中，我们将介绍怎样设计时间调整参数Q₂，其被定义为

$Q_2=\gamma ·Q_{i2}=\gamma ·\mathrm{diag}(q_{i21}{I}_{n_1},···,q_{i24}{I}_{n_4}),---\left(33\right)$

这里q_i2j(j＝1至4)是用于4个致动器阵列的用户定义的相对时间主动调整权重(默认值为1)，而γ是全局时间比例参数。时间调整目标是找到适当的γ使面对关于最大灵敏度的约束时鲁棒稳定条件被满足。首先得出γ∈(γ_low，γ_high)的范围，接着在该范围中搜索γ，用于满足鲁棒稳定条件和所需的闭环性能。

空间频率v＝0时，灵敏度函数S(z)和控制灵敏度函数R(z)为：

s(v₀，z)＝[I₃+g(v₀，z)k(v₀，z)]^-1，(34)

r(v₀，z)＝[I₄+k(v₀，z)g(v₀，z)]^-1k(v₀，z)，(35)

这里g(v₀，z)∈C^3×4和k(v₀，z)∈C^4×3分别是空间频率v₀＝0时的对象模型G(z)和控制器K(z)，k(v₀，z)具有下列结构，

k(v₀，z)＝[γΘ(z)+Φ(z)]^-1Ψ(z)，(36)

这里Θ(z)、Φ(z)和Ψ(z)是权重q_12j、q_13j、q_i1j、预测水平H_p和对象模型的时间参数的函数。

γ的最小(或最大的动态主动)值为γ_low＝0(也就是Q₂＝0)。γ的最大(或最大动态惰性(sluggish))值为+∞。但是，我们希望找到不同于+∞的γ的合理最大值。γ的该合理最大值可以使灵敏度函数的最高峰值为η_low(例如，η_low＝1.01)并满足鲁棒稳定条件。也就是，我们希望令γ＝γ_high，以使

‖s(v₀，e^iω，γ)‖_max≤σ(s(v₀，e^iω，γ))≤η_low，(37)

$\bar{\sigma }\left(r(e^{\mathrm{i\omega }},\gamma )\right)<\frac{1}{\bar{\sigma }\left(\Delta \left(e^{\mathrm{i\omega }}\right)\right)},---\left(38\right)$

这里‖s‖_max表示矩阵s的最大元素。

由(37)和(38)可直接获得γ_high。在获得γ的范围之后，设立目标峰值用于图8中的灵敏度函数和控制灵敏度函数(见η_sp和k_sp)。然后，从γ_high到0按顺序搜索全局时间比例以达到灵敏度函数的目标峰值η_sp而不超过控制灵敏度函数的峰值k_sp和违反(38)中的鲁棒稳定条件。如果通过任何γ都不能达到η_sp，则该方法努力找到γ以使控制灵敏度函数的峰值等于k_sp而不违反(38)中的鲁棒稳定条件。在搜索全局时间比例γ的过程中，首先使用更小范围(γ_high，0.1γ_high)来替代整个范围(γ_high，0)，接着使用分半方法来搜索γ，并看峰值是否足够接近它们的目标(也就是说目标的±1％)。如果找到解，则停止搜索。否则，移动到下一个更小范围并再次搜索直到找到解。这种搜索程序的原因是找到相对更大的γ，也就是更鲁棒的控制器是优选的，如果更鲁棒的控制器能够满足性能要求，即最大灵敏度函数峰值和鲁棒稳定条件的话。

图8示出一个简单示例，其说明空间频率v＝0时，时间频率域中的灵敏度函数和控制灵敏度函数。该示例仅示出对于一个受控的纸张性质和一个致动器阵列系统的情况。

示例

来自造纸厂的超级压光机中的CD过程被用作难以通过传统CD控制器进行控制的示例。图9示出空间频率域中稳态时过程模型的奇异值。很明显过程模型的病态是由于低空间频率范围中多致动器阵列和测量阵列的方向性和高空间频率范围中的低增益两方面的缘故。在调整之后，对于空间频率域中稳态时每个测量的灵敏度函数在图10a、b和c中示出，而时间频率域中零空间频率时的灵敏度函数在图10d、e和f中说明。

在工业中，测量分布和目标分布(2-σ)之间的误差分布的2-范数的两倍被认为是控制器的空间性能指数。图11示出通过运行半实物(hardware-in-loop)仿真器中的传统控制器(TC)和MPC的时间性能。对于传统控制器，纸正面和纸反面蒸汽盒致动器阵列用于分别控制纸正面和纸反面的光泽，而两个感应加热致动器阵列用于控制纸厚度测径器分布。很明显MPC控制器的时间性能比传统控制器更好。在使用传统控制器之后，纸正面光泽的2-σ变坏。在表1中总结了两种控制器的空间性能。很明显MPC控制器的空间性能比传统控制器的空间性能更好。

表1

  控制之前2-σ  (TC)控制之后2-σ  (MPC)控制之后2-σ  纸正面光泽  2.8711  4.0326  1.5450  纸厚度测径器  0.0882  0.0758  0.0408  纸反面光泽  3.5333  2.7613  2.3109

上面已经介绍了本发明的原理、优选实施例和操作模式。不过，本发明不应该被理解为限于所讨论的特殊实施例。而是，应该将上述实施例认为是示例性的而非限制性的，并且应该意识到在不背离由所附权利要求限定的本发明的范围的情况下，本领域技术人员可以对这些实施例进行更改。