基于速度庞加莱截面双小行星系统周期轨道搜索方法

摘要

本发明涉及一种基于速度庞加莱截面双小行星系统周期轨道搜索方法，属于航空航天领域；包括以下步骤：1.获取小行星的质量和尺寸，进行归一化；2.建立系统旋转坐标系；3.选定搜索范围，沿X轴方向选择探测器初始位置，逐步增大初始速度，进行轨道积分，终止条件为穿过预定截面；然后根据终止点速度绘制庞加莱映射图；4.选择映射图中曲线穿过轴线临近的两个初始点，通过取初始状态平均值重新积分，得到新的穿越轴线的初始点，反复迭代，获得精确值；5.改变探测器的初始位置重复3，4步，直至取值涵盖所选搜索区域。对比已有方法，本发明方法具有效率高，搜索全面，计算简单等特点，适用于探测器对双小行星系统进行探测的轨道设计。

说明书

技术领域

本发明涉及一种双小行星系统周期轨道的搜索方法，特别涉及一种基于 速度庞加莱截面针对双小行星系统的全局周期轨道的搜索方法，属于航空航 天技术领域，适用于探测器对双小行星系统进行探测的轨道设计。

背景技术

对小天体的环绕探测和采样返回是小天体探测的重要组成部分。在探测 任务的设计中，需要对小行星附近的轨道进行设计。小行星附近的周期轨道 具有良好的动力学特性，可以作为理想的探测轨道和着陆轨道的停泊轨道。

双小行星系统是一类特殊的小行星系统，有两颗小行星绕着共同的质心 旋转，类似于地球-月球系统的形式，可以采用三体系统类似的模型来研究 探测器的运动。但与行星—卫星的形式不同，两颗小行星的质量较接近，质 量比较大，同时小行星的尺寸与两小行星间的距离比值也较大，无法将其当 作质点来考虑。

目前对于小行星附近周期轨道的搜索方法中，在先技术【1】(参见 Richardson D L.Analytic construction of periodic orbits about the  collinear points[J].Celestial mechanics,1980,22(3):241-253.) 给出了三体系统中平衡点附近的周期轨道搜索方法，在系统平衡点处施加小 扰动，根据线性化的方程给出扰动量随时间的变化关系，给出平衡点附近周 期轨道的初值，根据变量替换可以得到方程的三阶解析解，利用解析解作为 初值，通过微分修正可以得到精确的周期轨道。利用该方法可以得到三体系 统内共线平动点附近的Halo轨道，李萨如轨道，平面和垂直李雅普诺夫轨 道，该方法可以较为精确的获得周期轨道，且适用于不同的质量比，但只能 用于平衡点附近的周期轨道搜索，当扰动远离平衡点时，该方法无法得到周 期轨道，且无法找到系统全局的周期轨道，解析表达式计算复杂。系统内的 多圈周期轨道也无法通过该方法得到。

在先技术【2】(参见Yu Y,Baoyin H.Generating families of 3D  periodic orbits about asteroids[J].Monthly Notices of the Royal  Astronomical Society,2012,427(1):872-881.)给出了单体小行星旋转 固连系下的周期轨道搜索方法，在本体固连系下采用庞加莱界面对穿过的轨 道进行分析，考虑穿过平面位置接近的点进行微分修正，获得精确的周期轨 道，运用该方法可以搜索到小行星216的多族周期轨道，但这类轨道仅适用 于因小行星形状不规则而产生在本体固连系下的轨道搜索，对于双小行星系 统并不适用。

全面，快速的得到双小行星系统内的周期轨道是研究探测器在小行星附 近运动的关键也是未来小行星探测任务的基础。当前的方法给出的系统内周 期轨道不全面，且仅能得到单圈周期轨道，对多圈周期轨道搜索方法不收敛。

发明内容

本发明的目的是为了解决上述双小行星系统中周期轨道搜索受限制的 问题，提出一种基于速度庞加莱截面针对双小行星系统的全局周期轨道的搜 索方法，该方法利用模型的对称性和轨道演化的连续性对沿轴线方向的对称 轨道进行搜索，可以实现系统内具有对称性的全局周期轨道搜索，使周期轨 道的范围从平衡点附近扩大至系统内全区域。

本发明的思想是基于双小行星系统旋转坐标系，采用速度庞加莱截面和 模型的对称性对双星系统内的全局周期轨道进行搜索，利用二分法提高搜索 效率，同时可以得到环绕系统多圈的周期轨道，该方法具有效率高，搜索全 面，计算简单等特点，可适用于不同尺寸和质量比的双小行星系统周期轨道 搜索。

为实现上述目的，本发明通过以下技术方案实现：

一种基于速度庞加莱截面双小行星系统全局周期轨道的搜索方法，包括 以下步骤：

步骤一、获取双小行星的质量和尺寸，并进行归一化；

步骤二、建立双小行星系统旋转坐标系；

步骤三、选定周期轨道搜索范围，沿X轴方向选择探测器的初始位置， 逐步增大初始速度，根据下式进行轨道积分，积分终止条件为穿过预定截面； 然后根据终止点的速度参数绘制庞加莱映射图；

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{··}{x}-2\stackrel{·}{y}=x+\frac{(1-\mu )(x+\mu )}{r_1^3}+\frac{\mu (x-1+\mu )}{r_2^3}\\ \stackrel{··}{y}+2\stackrel{·}{x}=y+\frac{(1-\mu )y}{r_1^3}+\frac{\mathrm{\mu y}}{r_2^3}\\ \stackrel{··}{z}=\frac{(1-\mu )z}{r_1^3}+\frac{\mathrm{\mu z}}{r_2^3}\end{array}\right)$

其中μ＝M₂/(M₁+M₂)，M₁为系统中质量较大的小行星质量，M₂为 系统中质量较小的小行星质量；r₁,r₂分别表示探测器到两者的距离，计算公 式如下：

$r_1=\sqrt{{(x+\mu )}^2+y^2+z^2};$

$r_2=\sqrt{{(x-1+\mu )}^2+y^2+z^2};$

探测器的速度满足下述公式：

$V=\sqrt{2\Omega -C};$

其中，C为雅各比常数，表示系统的能量特性；

$\Omega =\frac{1}{2}[(x^2+y^2)+\mu (1-\mu )]+\frac{1-\mu }{r_1}+\frac{\mu }{r_2};$

步骤四、选择映射图中曲线穿过轴线临近的两个初始点，采用二分法， 通过取初始状态的平均值重新积分，得到新的穿越轴线的初始点，反复迭代， 获得穿过轴线的精确值；

步骤五、改变探测器的初始位置重复步骤三和步骤四,直至取值涵盖所 选搜索区域。

作为优选，所述小行星的质量和尺寸，以及二者间的距离，可根据天文 观测数据确定；归一化可通过将双星的质量和作为单位质量，双星间的距离 作为单位长度，对小行星质量和尺寸进行归一化。

作为优选，所述建立双小行星系统旋转坐标系可通过以下方式建立：

将双星系统的质心作为坐标原点，X轴与两星体质心连线重合，质量较 大的行星作为主星，质量较小的行星作为卫星，主星指向卫星方向为正，Z 轴方向为系统自旋方向，Y轴方向满足右手螺旋定则。

作为优选，选择搜索范围为沿X轴方向[-2，2]区间，所述预定截面为垂 直于Y轴同时包含X轴的平面。

本发明方法的原理解释如下：

双小行星系统的动力学模型在双星旋转坐标系下可表示为：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{··}{x}-2\stackrel{·}{y}=x+\frac{(1-\mu )(x+\mu )}{r_1^3}+\frac{\mu (x-1+\mu )}{r_2^3}\\ \stackrel{··}{y}+2\stackrel{·}{x}=y+\frac{(1-\mu )y}{r_1^3}+\frac{\mathrm{\mu y}}{r_2^3}\\ \stackrel{··}{z}=\frac{(1-\mu )z}{r_1^3}+\frac{\mathrm{\mu z}}{r_2^3}\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中μ＝M₂/(M₁+M₂)，M₁为系统中质量较大的小行星质量，M₂为 系统中质量较小的小行星质量；r₁,r₂分别表示探测器到两者的距离。

$r_1=\sqrt{{(x+\mu )}^2+y^2+z^2},r_2=\sqrt{{(x-1+\mu )}^2+y^2+z^2}$

根据方程形式可知系统具有对称特性

即若轨道状态积分时间t经过状态则对称的状态经过相同的时间逆向积分，将经过状 态

同时系统存在一个积分常数，称为雅各比常数

$C=2\Omega -({\stackrel{·}{x}}^2+{\stackrel{·}{y}}^2+{\stackrel{·}{z}}^2)---\left(2\right)$

其中$\Omega =\frac{1}{2}[(x^2+y^2)+\mu (1-\mu )]+\frac{1-\mu }{r_1}+\frac{\mu }{r_2}$

探测器的速度大小为

C可以表示系统的能量特性。固定C，当探测器在系统的位置确定后， 探测器的速度也可确定

根据系统的以上特性可以设计周期轨道的搜索方法，由于探测器在Z方 向的运动相对独立，暂不考虑Z方向的位置和速度，仅考虑探测器在平面的 运动，将探测器的初始状态选择为X轴，即y＝0，同时确定探测器的初始 速度方向沿Y轴正方向，即对于确定的初始位置(x_c,0)，Ω为常值， 减小C，相应的速度大小V也会变化,初始速度为(0,V)。

选择截面为垂直于Y轴同时包含X轴的平面，由于仅考虑平面情况，探 测器穿过截面等同于穿过X轴。记录探测器轨道穿过X轴时的沿X轴方向的 速度如图1所示。绘制轨道初始状态速度与穿过截面时X轴向速度的庞加莱映射图如图2所示，由图可知固定点初始速度发生变化时， 穿过截面时X轴向速度的相应变化。若则根据对称特性，以同样的 初始状态逆向积分也将经过截面的同一点，即可以找到周期轨道。

由于系统为连续系统，因此探测器的速度也应连续变化，均匀增大探测 器的初始速度，曲线穿过X轴，说明在两组初始速度间存在 初始值使采用二分法可以获得穿过X轴的精确值，即为周期轨道初 始值。

考虑到双星系统的小行星尺寸，若轨道积分过程中距离两小行星的距离 小于相应的小行星半径，则认为轨道与小行星相交，忽略该组初值。

若曲线多次穿越X轴,说明在初始位置存在多组周期轨道的初始 值，如图3所示。对于超过1圈的周期轨道，可以选择轨道多次穿越X轴截 面时的与初始状态绘制庞加莱映射图，穿越点除去单次相交的情况即 为多圈周期轨道的初值，如图4所示。

有益效果

根据本发明给出的全局周期轨道搜索方法，得到的周期轨道位于系统全 区域内，搜索效率高，可以对非平衡点附近的周期轨道和多圈周期轨道进行 搜索。对比已有方法，本发明方法具有效率高，搜索全面，计算简单等特点， 可以对非平衡点附近的周期轨道和多圈周期轨道进行搜索，可适用于不同尺 寸和质量比的双小行星系统周期轨道搜索，适用于探测器对双小行星系统进 行探测的轨道设计。

附图说明

图1是本发明方法初始状态及截面选择示意图；

图2是本发明方法速度庞加莱映射示意图；

图3是本发明方法由速度庞加莱映射确定的周期轨道初值示意 图；

图4是本发明方法由速度庞加莱映射确定的多圈周期轨道初值 示意图；

图5是本发明实施例周期轨道1初值对应的轨道示意图；

图6是本发明实施例周期轨道2初值对应的的轨道示意图；

图7是本发明实施例周期轨道3初值对应的的轨道示意图；

图8是本发明实施例周期轨道4初值对应的的轨道示意图。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明加以详细说明，同时也叙述了本发明 技术方案解决的技术问题及有益效果，需要指出的是，所描述的实施例仅旨 在便于对本发明的理解，而对其不起任何限定作用。

根据发明内容所述，该周期轨道搜索方法分为以下几个部分：确定系统 的质量常数和小行星尺寸，选择探测器初始位置和初始速度方向积分，根据 速度庞加莱映射采用二分法获得精确解。

实施例

1)小行星的质量和尺寸可根据天文观测数据确定，对系统进行归一化 处理，双星的质量和为单位质量，双星间的距离为单位长度，可以得到归一 化后的小行星质量和尺寸；

选择双小行星系统1996FG3为例作为目标进行周期轨道搜索，根据观测 可以得到系统中两星距离为3km，主星直径1.69km，卫星直径0.49km，主 星的质量为3.5×10¹²kg，卫星质量1.0×10¹¹kg，通过归一化后，两星间距离为1， 主星直径0.5633，卫星直径0.1633，主星质量0.972，卫星质量0.0278。

2)选定周期轨道搜索范围，沿X轴方向选择探测器的初始位置，逐步 增大初始速度，根据式(1)进行轨道积分，设定积分终止条件为穿过预定 截面；根据终止点的速度参数绘制庞加莱映射图。

不考虑Z轴方向的变化，选择探测器的初始位置为(0.395，0)，特征 能量C的变化范围为3.53～2.03。根据式(2)，对应的速度V变化范围为 1.083～1.632，方向为Y轴正方向。绘制一次穿越截面庞加莱映射图如图3， 二次穿越截面庞加莱映射图如图4。图3曲线与轴线存在3个交点，图4曲 线与轴线存在4个交点。

3)选择映射图中曲线穿过轴线临近的两个初始点，通过取初始状态的 平均值重新积分，得到新的穿越轴线的初始点，反复迭代，获得穿过轴线的 精确值。

图3中第一个交点的速度范围在1.180～1.184之间，经过迭代得到精确 的周期轨道初速为1.182，对应周期轨道1；图3第二个交点的速度范围在 1.397～1.401之间，经过迭代得到精确的周期轨道初速为1.400，对应周期轨 道2；图3中第三个交点的速度范围在1.563～1.566之间，经过迭代得到精确 的周期轨道初速为1.565，对应周期轨道3。图4中的1，2，4交点速度分别 对应图3中1，2，3交点。图4中第二个较大的速度范围在1.335～1.339之 间，经过迭代得到精确的周期轨道初速为1.337，对应周期轨道4。

4)改变探测器的初始位置重复2，3步,直至取值涵盖所选搜索区域。

由上述步骤可知，本发明方法可以对全区域范围内的周期轨道进行 搜索。图4中周期轨道1初值对应的轨道示意图如图5所示，其轨道呈 现纺锤形，周期轨道2初值对应的轨道示意图如图6所示，其轨道呈现 圆形，周期轨道3初值对应的轨道示意图如图7所示，其轨道呈现月牙 形，而周期轨道4初值对应的轨道示意图如图8所示，其轨道呈现规则 的双环交替形状。其中周期轨道1，2，3为单圈周期轨道，周期轨道4 为多圈周期轨道。

综上所述，本发明提供的一种基于速度庞加莱截面双小行星系统全局 周期轨道的搜索方法计算简单、搜索全面，可以对非平衡点附近的周期轨道 和多圈周期轨道进行搜索。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一 步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不 用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修 改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。