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一种空间绳网机器人的逼近动力学建模方法

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本发明公开了一种空间绳网机器人的逼近动力学建模方法，针对空间绳网机器人的逼近动力学问题，研究其动力学建模及解算方法，首先建立建模参考坐标系并提出建模假设条件，再建立柔性网模型以及空间绳网机器人的逼近动力学模型，最后进行系绳运动的速度跳变建模；由于空间绳网机器人在逼近目标过程中，四个单片网机构均处于绷紧状态，以平面有限元理论中的T3单元为基础，利用位置矢量的矩阵形式可以有效描述单片网机构的动力学。本发明可以有效降低单片网结构动力学模型复杂度，提高模型解算速度。

著录项

公开/公告号CN104143021A

专利类型发明专利
公开/公告日2014-11-12

原文格式PDF
申请/专利权人西北工业大学;
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申请/专利号CN201410341265.8
发明设计人孟中杰;黄攀峰;刘正雄;袁建平;
展开▼

申请日2014-07-17
分类号G06F17/50(20060101);
代理机构61200 西安通大专利代理有限责任公司;
代理人蔡和平
地址 710072 陕西省西安市碑林区西北工业大学友谊校区583信箱
入库时间 2023-12-17 01:54:18

法律信息

法律状态公告日

法律状态信息

法律状态
2017-07-11

授权

授权
2014-12-10

实质审查的生效 IPC(主分类):G06F17/50 申请日:20140717

实质审查的生效
2014-11-12

公开

公开

说明书

技术领域

本发明属于新型航天器动力学建模研究的领域，具体涉及一种空间绳网机器人的逼近动力学建模方法。

背景技术

空间绳网机器人是一种新型的“空间平台+连接系绳+柔性网(含自主机动单元)”结构的空间机器人系统，可针对各种目标进行捕获，且具有极大的容差能力，主要应用于空间垃圾清理任务。其主要工作流程为：首先由搭载空间绳网机器人的空间平台靠近目标至空间绳网机器人的作用距离范围内；然后由空间平台发射空间绳网机器人的柔性网，再由自主机动单元在自身的位姿控制机构和导航设备以及空间平台测控系统的支持下，控制柔性网按预定的轨迹与速度向目标进行逼近飞行；最后由柔性网碰撞并包裹目标，从而完成对于目标的捕获，并由空间平台利用连接系绳将目标拖曳至大气层或坟墓轨道，然后切断连接系绳。空间绳网机器人的结构如附图1所示。1表示空间平台，2表示连接系绳，3表示柔性网，4为连接系绳与柔性网的连接点，5,6,7,8表示安装于柔性网上的四个自主机动单元。

但是，柔性网使得空间绳网机器人的逼近动力学变得十分复杂，动力学建模非常困难。文献(于洋，宝音贺西，李俊锋.空间柔性网抛射展开过程动力学建模与仿真[J].宇航学报，2010，31(5)：1289-1296)和文献(敬忠良，袁建平等.航天器自主操作的测量与控制[M].北京：中国宇航出版社，2011： 493-518)将柔性网离散化为质点和弹性杆单元的结构，在此基础上建立了柔性网的动力学模型；文献(Provot X.Deformation constraints in a mass-spring model to describe rigid cloth behavior[C].Proceedings of Graphics Interface，Quebec， Canada，1995)采用质点弹簧模型建立了网结构的动力学模型。但是这类质点弹簧模型虽然建模原理简单，但建立的模型十分复杂，且以各质点为对象的数学模型很难用于控制系统设计。另外，由于组成柔性网的系绳杨氏模量极高，模型仿真计算缓慢。研究设计一种空间绳网机器人的新型建模方法势在必行。

发明内容

本发明的目的是针对空间绳网机器人的逼近动力学问题，研究其动力学建模及解算方法，提供一种空间绳网机器人的逼近动力学建模方法，该方法为空间绳网机器人的研究奠定了基础。

为了实现上述目的，本发明所采用的技术方案包括以下步骤：

1)建立建模参考坐标系并提出建模假设条件；

2)建立单片柔性网的模型；

3)建立空间绳网机器人的逼近动力学模型；

4)建立系绳连接点(4)与自主机动单元间系绳运动的速度跳变模型。

所述的步骤1)中，建立建模参考坐标系的具体方法是：

首先建立地心惯性系OXYZ，其坐标原点O位于地球中心，OX轴指向地球的春分点，OZ轴指向地球北极，OY轴在赤道平面内垂直于OX轴；然后建立轨道坐标系O_oX_oY_oZ_o，其坐标原点O_o位于空间平台(1)的质心，O_oX_o轴沿机动空间平台(1)轨道的切向，指向空间平台(1)运动方向，O_oZ_o轴与原点O_o和地心O的连线重合，指向地心，O_oY_o轴沿轨道平面负法线方向。

所述的步骤1)中，建模假设条件具体如下：

假设1.空间平台(1)运行于圆轨道，且质量要远大于系绳、柔性网(3) 和自主机动单元质量的总和；

假设2.忽略空间平台与柔性网的连接系绳(2)的弹性与质量，忽略自主机动单元体积，逼近任务中，连接系绳(2)处于绷紧状态；

假设3.柔性飞网的质量分布均匀，网孔很小，在逼近目标过程中不大幅变形；

假设4.由于系绳杨氏模量极大，假设系绳连接点(4)与自主机动单元间、自主机动单元间的系绳不可伸长。

所述的步骤2)中，建立单片柔性网模型的具体方法是：

系绳连接点(4)与柔性网(3)的四个自主机动单元将柔性网分为四块，利用假设3，将四片柔性网分别建模为三角形薄壳；以系绳连接点(4)与柔性网(3)的第一自主机动单元(5)和第二自主机动单元(6)组成的单片柔性网为例说明，A表示系绳连接点(4)，B表示第一自主机动单元(5)，C表示第二自主机动单元(6)，R₁，R₂，R₃分别表示A,B,C在地心惯性系下的位置矢量；

针对单片柔性网，采用平面有限元理论中的T3单元来描述；对于单片柔性网上任一点D，其在地心惯性系下的位置矢量为：

R≈s₁R₁+s₂R₂+s₃R₃ (1)

式中，s₁、s₂、s₃表示点D在薄壳上的面积坐标，它们满足：

$s_{1} = \frac{{\overline{S}}_{ΔBCD}}{{\overline{S}}_{ΔABC}}, s_{2} = \frac{{\overline{S}}_{ΔCAD}}{{\overline{S}}_{ΔABC}}, s_{3} = \frac{{\overline{S}}_{ΔABD}}{{\overline{S}}_{ΔABC}}$

其中，表示单片柔性网在未发生任何变形条件下三角形的面积；

建立系绳连接点(4)与第一自主机动单元(5)和第二自主机动单元(6) 组成的单片柔性网的拉格朗日函数：

$(\begin{matrix} L_{456} = {\int \int}_{ΔABC} \frac{1}{2} ρ {\overset{\cdot}{R}}^{T} \overset{\cdot}{R} dΣ - {\int \int}_{ΔABC} (- ρ \frac{GM}{| | R | |}) dΣ \\ = \frac{m_{W}}{4} \int_{0}^{1} d s_{1} \int_{0}^{1 - s_{1}} (\frac{1}{2} {\overset{\cdot}{R}}^{T} \overset{\cdot}{R} + ρ \frac{GM}{| | R | |}) d s_{2} \end{matrix}) - - - (2)$

式中，dΣ表示三角形薄壳上的面积微元，ρ表示单片柔性网的平均面密度， m_W表示整个柔性网的总质量，G表示万有引力常数，M表示地球的质量；

对单片柔性网的拉格朗日函数求变分，得：

$δ \int_{t_{1}}^{t_{2}} L_{456} dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} [\frac{m_{W}}{4} \int_{0}^{1} d s_{1} \int_{0}^{1 - s_{1}} δ R^{T} (- \overset{\cdot \cdot}{R} - ρ \frac{GM}{{| | R | |}^{3}} R) d s_{2}] dt - - - (3)$

其中，δ为变分符号，t₁,t₂表示积分时间；

利用C-W方程将上式转换到轨道坐标系下，得到：

$\int_{t_{1}}^{t_{2}} δ L_{456} dt \approx \int_{t_{1}}^{t_{2}} [\frac{m_{W}}{4} \int_{0}^{1} d s_{1} \int_{0}^{1 - s_{1}} - δ r^{T} (\overset{\cdot \cdot}{r} + M_{\overset{\cdot}{r}} \overset{\cdot}{r} + M_{r} r) d s_{2}] dt - - - (4)$

其中， $M_{\overset{\cdot}{r}} = (\begin{matrix} 0 & 0 & - 2 ω \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 ω & 0 & 0 \end{matrix}), M_{r} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & ω^{2} & 0 \\ 0 & 0 & - 3 ω^{2} \end{matrix}),$ r为单片柔性网上点D在轨道坐标系O_oX_oY_oZ_o下的位置矢量；ω为空间平台(1)轨道运动的平均角速度；

同理，写出其他三片柔性网的表达式；设r₄,r₅,r₆,r₇,r₈分别表示系绳连接点(4)、第一自主机动单元(5)、第二自主机动单元(6)、第三自主机动单元(7)以及第四自主机动单元(8)在轨道坐标系O_oX_oY_oZ_o下的位置矢量，将其写为矩阵形式：

$r_{N} = {[r_{4}^{T}, r_{5}^{T}, r_{6}^{T}, r_{7}^{T}, r_{8}^{T}]}^{T}$

则：

$(\begin{matrix} \int_{t_{1}}^{t_{2}} δ L_{456} dt \approx \int_{t_{1}}^{t_{2}} - δ r_{N}^{T} [\frac{m_{W}}{4} (M_{1}^{456} {\overset{\cdot \cdot}{r}}_{N} + M_{2}^{456} {\overset{\cdot}{r}}_{N} + M_{3}^{456} r_{N})] dt \\ \int_{t_{1}}^{t_{2}} δ L_{467} dt \approx \int_{t_{1}}^{t_{2}} - δ r_{N}^{T} [\frac{m_{W}}{4} (M_{1}^{467} {\overset{\cdot \cdot}{r}}_{N} + M_{2}^{467} {\overset{\cdot}{r}}_{N} + M_{3}^{467} r_{N})] dt \\ \int_{t_{1}}^{t_{2}} δ L_{478} dt \approx \int_{t_{1}}^{t_{2}} - δ r_{N}^{T} [\frac{m_{W}}{4} (M_{1}^{478} {\overset{\cdot \cdot}{r}}_{N} + M_{2}^{478} {\overset{\cdot}{r}}_{N} + M_{3}^{478} r_{N})] dt \\ \int_{t_{1}}^{t_{2}} δ L_{485} dt \approx \int_{t_{1}}^{t_{2}} - δ r_{N}^{T} [\frac{m_{W}}{4} (M_{1}^{485} {\overset{\cdot \cdot}{r}}_{N} + M_{2}^{485} {\overset{\cdot}{r}}_{N} + M_{3}^{485} r_{N})] dt \end{matrix}) - - - (5)$

其中，L₄₆₇L₄₇₈L₄₈₅分别表示系绳连接点(4)与第二自主机动单元(6)、第三自主机动单元(7)，系绳连接点(4)与第三自主机动单元(7)、第四自主机动单元(8)，系绳连接点(4)与第四自主机动单元(8)、第一自主机动单元(5) 分别组成的三个单片柔性网的拉格朗日函数；表示矩阵的直积运算；

$(\begin{matrix} M_{1}^{lmn} = M^{lmn} \otimes I_{3 \times 3} \\ M_{2}^{lmn} = M^{lmn} \otimes M_{\overset{\cdot}{r}} \\ M_{3}^{lmn} = M^{lmn} \otimes M_{r} \end{matrix})$ (lmn＝456,467,478,485)，M^lmn为5×5矩阵，其任意元素满足：

所述的步骤3)中，建立空间绳网机器人的逼近动力学模型的具体方法是：

首先分析系绳连接点与四个自主机动单元间、四个自主机动单元间系绳的不可伸长假设对逼近动力学建模带来的影响；

以系绳连接点(4)和第一自主机动单元(5)间系绳为例，设L₄₅为连接点 (4)和第一自主机动单元(5)之间系绳的标称长度，则，||r₄-r₅||≤L₄₅；引入间隙函数g₄₅对这一现象进行描述：

g₄₅＝L₄₅-||r₄-r₅||≥0 (7)

对应的约束反力λ₄₅满足：

$λ_{45} = (\begin{matrix} 0 & g_{45} > 0 \\ 0 & g_{45} = 0, {\overset{\cdot}{g}}_{45} > 0 \\ 0 & g_{45} = 0, {\overset{\cdot}{g}}_{45} = 0, {\overset{\cdot \cdot}{g}}_{45} > 0 \\ \geq 0 & g_{45} = 0, {\overset{\cdot}{g}}_{45} = 0, {\overset{\cdot \cdot}{g}}_{45} = 0 \end{matrix}) - - - (8)$

后两种形式的约束反力与系统状态的二次导数相关，将其写为隐式方程：

$(\begin{matrix} g_{45} = 0, {\overset{\cdot}{g}}_{45} = 0 \\ {\overset{\cdot \cdot}{g}}_{45} λ_{45} = 0, {\overset{\cdot \cdot}{g}}_{45} \geq 0, λ_{45} \geq 0 \end{matrix}) - - - (9)$

同理，写出系绳连接点(4)与第二自主机动单元(6)，连接点(4)与第三自主机动单元(7)，连接点(4)与第四自主机动单元(8)，第一自主机动单元(5)与第二自主机动单元(6)，第二自主机动单元(6)与第三自主机动单元(7)，第三自主机动单元(7)与第四自主机动单元(8)，第四自主机动单元 (8)与第一自主机动单元(5)之间系绳的间隙函数(g₄₆,g₄₇,g₄₈,g₅₆,g₆₇,g₇₈,g₈₅) 和约束反力λ₄₆,λ₄₇,λ₄₈,λ₅₆,λ₆₇,λ₇₈,λ₈₅表达；

将间隙函数和约束反力写为矩阵，得：

g_N＝[g₄₅,g₄₆,g₄₇,g₄₈,g₅₆,g₆₇,g₇₈,g₈₅]^T

λ_N＝[λ₄₅,λ₄₆,λ₄₇,λ₄₈,λ₅₆,λ₆₇,λ₇₈,λ₈₅]^T

利用拉格朗日法对空间绳网机器人的逼近动力学进行建模

整个系统的拉格朗日函数满足：

$L = \frac{1}{2} m_{P} {\overset{\cdot}{R}}_{o}^{T} {\overset{\cdot}{R}}_{o} - \frac{GM m_{P}}{| | R_{o} | |} + L_{456} + L_{467} + L_{478} + L_{485} + Σ_{i = 5}^{8} m_{M} [\frac{1}{2} R_{i}^{T} R_{i} - \frac{GM}{| | R_{i} | |}] - - - (10)$

式中，m_P表示空间平台(1)的质量，m_M表示自主机动单元的质量；R_o表示空间平台(1)在地心惯性系下的坐标，R_i(i＝5,…,8)表示第一自主机动单元(5)、第二自主机动单元(6)、第三自主机动单元(7)以及第四自主机动单元(8) 在地心惯性系下的坐标；

另外，系统中非保守力所做的功满足：

$δ^{'} W = - δ r_{4}^{T} \frac{r_{4}}{| | r_{4} | |} F_{T} + Σ_{i = 5}^{8} δ R_{i}^{T} F_{i} + δ g_{N} λ_{N} - - - (11)$

式中，r₄表示系绳连接点(4)在轨道坐标系O_oX_oY_oZ_o下的位置矢量，F_T表示空间平台和柔性网的连接系绳拉力，F_i(i＝5,…,8)表示作用在自主机动单元上的推力；

由广义Hamilton原理可知，空间绳网机器人的逼近动力学满足：

$\int_{t_{0}}^{t_{1}} (δL + δ^{'} W) dt = 0 - - - (12)$

将式(10)和式(11)代入方程(12)并使用分步积分进行化简可得：

$\int_{t_{0}}^{t_{1}} {- δ r_{N}^{T} [\frac{m_{W}}{4} (M_{1}^{W} {\overset{\cdot \cdot}{r}}_{N} + M_{2}^{W} {\overset{\cdot}{r}}_{N} + M_{3}^{W} r_{N})] - Σ_{i = 2}^{5} δ r_{i}^{T} [m_{M} ({\overset{\cdot \cdot}{r}}_{i} + M_{\overset{\cdot}{r}} {\overset{\cdot}{r}}_{i} M_{r} r_{i})] + δ r_{N}^{T} F + δ r_{N}^{T} {(\frac{\partial g_{N}}{\partial r_{N}})}^{T} λ_{N}} dt = 0 - - - (13)$

式中，

$M_{i}^{W} = M_{i}^{456} + M_{i}^{467} + M_{i}^{478} + M_{i}^{485} (i = 1,2,3),$

$F = {[- F_{T} r_{4}^{T} / | | r_{4} | |, F_{5}^{T}, F_{6}^{T}, F_{7}^{T}, F_{8}^{T}]}^{T},$

对(13)式进行整理，同时考虑变分的任意性得系统的动力学方程为：

$M {\overset{\cdot \cdot}{r}}_{N} + C {\overset{\cdot}{r}}_{N} + K r_{N} = F + {(\frac{\partial g_{N}}{\partial r_{N}})}^{T} λ_{N} - - - (14)$

式中，

$M = \frac{m_{W}}{4} M_{1}^{W} + m_{M} diag (0,1,1,1,1) \otimes diag (1,1,1),$

$C = \frac{m_{W}}{4} M_{2}^{W} + m_{M} diag (0,1,1,1,1) \otimes M_{\overset{\cdot}{r}},$

$K = \frac{m_{M}}{4} M_{2}^{W} + m_{M} diag (0,1,1,1,1) \otimes M_{r} .$

整个系统的解算通过构建隐式方程，利用Lemke算法进行求解。

所述的步骤4)中，系绳运动的速度跳变建模的具体方法是：

假设在t^-时刻，节点i和节点j之间的距离达到标称长度L_ij，而两个节点的相对速度不为0，且有相互远离的趋势；于是，在t时刻连接两个节点的系绳绷紧，由于系绳的刚度和阻尼都比较高，所以类似于碰撞过程，系绳会在极短时间内产生了比较大的张紧力，从而使得两个节点在t⁺时刻具有了沿系绳方向一致的速度；

为了描述瞬间的速度跳变，将动力学方程(14)在[t^-,t⁺]上积分，得：

$\int_{t^{-}}^{t^{+}} M {\overset{\cdot \cdot}{r}}_{N} dt + \int_{t^{-}}^{t^{+}} C {\overset{\cdot}{r}}_{N} dt + \int_{t^{-}}^{t^{+}} K r_{N} dt = \int_{t^{-}}^{t^{+}} Fdt + {(\frac{\partial g_{N}}{\partial r_{N}})}^{T} \int_{t^{-}}^{t^{+}} λ_{N} dt - - - (15)$

由于在极短的时间内，位置矢量r_N还来不及发生变化，同时由于控制力F是有限的，因此方程左侧的后两项和右侧的第一项为0；对于那些满足系绳绷直条件的约束，即满足g_i＝0且其约束力在无限小的时间内趋向于无穷大，因此其积分不为0，而对于那些不满足绷直条件的约束，其约束反力为有限值，因而积分也为0；

为了便于表达，将满足绷直条件的约束取出，将其编号从小到大排列得到列向量按照同样的顺序排列对应的间隙函数和约束反力能够得到列向量和另外，分别将约束反力向量λ_NT和在时间段[t^-,t⁺]记作Λ_NT和两者之间满足：

$Λ_{NT} = M_{RT} {\overline{Λ}}_{NT} - - - (16)$

其中，

$M_{RT} (i, j) = (\begin{matrix} 1 & i = {\overline{I}}_{NT} (j) \\ 0 & others \end{matrix})$

于是，方程(15)能够化简为：

$M ({\overset{\cdot}{r}}_{N} |_{t^{+}} - {\overset{\cdot}{r}}_{N} |_{t^{-}}) = {(\frac{\partial g_{N}}{\partial r_{N}})}^{T} M_{RT} {\overline{Λ}}_{NT} - - - (17)$

另外，对于间隙函数向量它在t⁺时刻必须满足：

${\overset{\cdot}{\overline{g}}}_{NT} |_{t^{+}} = 0 - - - (18)$

则：绷紧系绳的速度跳变模型为：

$(\begin{matrix} M ({\overset{\cdot}{r}}_{N} |_{t^{+}} - {\overset{\cdot}{r}}_{N} |_{t^{-}}) = {(\frac{\partial g_{N}}{\partial r_{N}})}^{T} M_{RT} {\overline{Λ}}_{NT} \\ {\overset{\cdot}{\overline{g}}}_{NT} |_{t^{+}} = 0 \end{matrix}) - - - (19) .$

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

本发明针对空间绳网机器人的逼近动力学问题，研究其动力学建模及解算方法，首先建立建模参考坐标系并提出建模假设条件，再建立柔性网模型以及空间绳网机器人的逼近动力学模型，最后进行系绳运动的速度跳变建模；由于空间绳网机器人在逼近目标过程中，四个单片网机构均处于绷紧状态，以平面有限元理论中的T3单元为基础，利用位置矢量的矩阵形式可以有效描述单片网机构的动力学。本发明的主要优势是可以有效降低单片网结构动力学模型复杂度，提高模型解算速度。

进一步的，本发明步骤3)，利用系绳杨氏模量极高的特点，将系绳建模为不可伸长；并利用间隙函数和约束反力建模系绳松弛时张力为零的特点。模型稳定度高，计算速度快，可以避免系绳的珠式模型(质点弹簧模型)仿真步长小，计算缓慢，易于发散的问题。

进一步的，本发明步骤4)，有效反映了系绳绷紧时的动力学特性，将珠式模型中极短时间发生的动力学用瞬态形式进行描述，简化建模复杂度。同步骤3) 一起，从根本上解决了珠式模型计算步长必须很小，否则极易发散的问题。

附图说明

图1为空间绳网机器人的结构示意图；

图2为空间绳网机器人的单片柔性网机构示意图；

图3为系绳绷紧瞬间，两端点的速度跳变示意图。

其中，1为空间平台；2为连接系绳；3为柔性网；4为连接点；5为第一自主机动单元；6为第二自主机动单元；7为第三自主机动单元；8为第四自主机动单元。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细的说明：

参见图1至图3，本发明一种空间绳网机器人的逼近动力学建模方法，包括以下步骤：

一：建立建模参考坐标系并提出建模假设条件

首先建立地心惯性系OXYZ，其坐标原点O位于地球中心，OX轴指向地球的春分点，OZ轴指向地球北极，OY轴在赤道平面内垂直于OX轴；然后建立轨道坐标系O_oX_oY_oZ_o，其坐标原点O_o位于空间平台的质心，O_oX_o轴沿机动平台轨道的切向，指向平台运动方向，O_oZ_o轴与原点O_o和地心O的连线重合，指向地心，O_oY_o轴沿轨道平面负法线方向。坐标系示意图如附图1所示。

空间绳网机器人的逼近动力学建模基于如下假设：

(1)空间平台运行于圆轨道，且质量要远大于连接系绳、柔性网和自主机动单元质量的总和；

(2)忽略柔性网与平台连接系绳的弹性与质量，忽略自主机动单元体积，逼近任务中，连接系绳处于绷紧状态；

(3)柔性飞网的质量分布均匀，网孔很小，在逼近目标过程中不大幅变形；

(4)由于系绳杨氏模量极大，假设系绳连接点4与自主机动单元间、自主机动单元间的系绳不可伸长；

二：建立单片柔性网的模型

由于系绳连接节点与四个自主机动单元将柔性飞网分为四块，利用假设3，可将四块网结构建模为三角形薄壳。以系绳连接点与自主机动单元5,6组成的单片网结构为例，其建模示意如附图2所示。A表示系绳连接点4，B表示自主机动单元5，C表示自主机动单元6。R₁，R₂，R₃分别表示A,B,C在地心惯性系下的位置矢量。

针对单片网机构，采用平面有限元理论中的T3单元来描述。对于网结构上任一点D，其在地心惯性系下的位置矢量为：

R≈s₁R₁+s₂R₂+s₃R₃ (1)

式中，s₁、s₂、s₃表示点D在薄壳上的面积坐标，它们满足：

$s_{1} = \frac{{\overline{S}}_{ΔBCD}}{{\overline{S}}_{ΔABC}}, s_{2} = \frac{{\overline{S}}_{ΔCAD}}{{\overline{S}}_{ΔABC}}, s_{3} = \frac{{\overline{S}}_{ΔABD}}{{\overline{S}}_{ΔABC}}$

其中，表示柔性网在未发生任何变形条件下三角形的面积。

于是，建立连接点4与自主机动单元5，6组成的单片网结构的拉格朗日函数：

式中，dΣ表示三角形薄壳上的面积微元，ρ表示柔性网的平均面密度，m_W表示柔性网的总质量，G表示万有引力常数，M表示地球的质量。

对单片网结构的拉格朗日函数求变分，得：

其中，δ为变分符号，t₁,t₂表示积分时间。

利用C-W方程将上式转换到轨道坐标系下。

其中， $M_{\overset{\cdot}{r}} = (\begin{matrix} 0 & 0 & - 2 ω \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 ω & 0 & 0 \end{matrix}), M_{r} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & ω^{2} & 0 \\ 0 & 0 & - 3 ω^{2} \end{matrix}),$ r为网结构上点D在轨道坐标系 O_oX_oY_oZ_o下的位置矢量。ω为空间平台轨道运动的平均角速度。

同理，可写出其他三片网结构的表达式。设r₄,r₅,r₆,r₇,r₈分别表示系绳连接点4、自主机动单元在轨道坐标系O_oX_oY_oZ_o下的位置矢量，将其写为矩阵形式：

$r_{N} = {[r_{4}^{T}, r_{5}^{T}, r_{6}^{T}, r_{7}^{T}, r_{8}^{T}]}^{T}$

则：

其中，L₄₆₇L₄₇₈L₄₈₅分别表示系绳连接点4与第二自主机动单元6和第三自主机动单元7，系绳连接点4与第三自主机动单元7和第四自主机动单元8，系绳连接点4与第四自主机动单元8和第一自主机动单元5组成的单片网结构的拉格朗日函数。表示矩阵的直积运算。

由于空间绳网机器人在逼近目标过程中，四个单片网机构均处于绷紧状态，以利用平面有限元理论中的T3单元为基础，利用式(5)可以有效描述单片网机构的动力学。本发明的主要优势是可以有效降低单片网结构动力学模型复杂度，提高模型解算速度。

三：建立空间绳网机器人的逼近动力学模型

首先分析系绳连接点与四个自主机动单元间、四个自主机动单元间系绳的不可伸长假设对逼近动力学建模带来的影响。

以系绳连接点4与自主机动单元5间系绳为例,设L₄₅为系绳连接点4与自主机动单元5之间系绳的标称长度，则，||r₄-r₅||≤L₄₅。引入间隙函数g₄₅对这一现象进行描述：

g₄₅＝L₄₅-||r₄-r₅||≥0 (7)

对应的约束反力λ₄₅满足：

后两种形式的约束反力与系统状态的二次导数相关，可将其写为隐式方程：

$(\begin{matrix} g_{45} = 0, {\overset{\cdot}{g}}_{45} = 0 \\ {\overset{\cdot \cdot}{g}}_{45} λ_{45} = 0, {\overset{\cdot \cdot}{g}}_{45} \geq 0, λ_{45} \geq 0 \end{matrix}) - - - (9)$

同理，相应写出系绳连接点4与自主机动单元6，系绳连接点4与自主机动单元7，系绳连接点4与自主机动单元8，自主机动单元5与自主机动单元6，自主机动单元6与自主机动单元7，自主机动单元7与自主机动单元8，自主机动单元8与自主机动单元5间系绳的间隙函数g₄₆,g₄₇,g₄₈,g₅₆,g₆₇,g₇₈,g₈₅和约束反力 λ₄₆,λ₄₇,λ₄₈,λ₅₆,λ₆₇,λ₇₈,λ₈₅表达。

将间隙函数和约束反力写为矩阵，得：

g_N＝[g₄₅,g₄₆,g₄₇,g₄₈,g₅₆,g₆₇,g₇₈,g₈₅]^T

λ_N＝[λ₄₅,λ₄₆,λ₄₇,λ₄₈,λ₅₆,λ₆₇,λ₇₈,λ₈₅]^T

下面利用拉格朗日法对空间绳网机器人的逼近动力学进行建模。

整个系统的拉格朗日函数满足：

式中，m_P表示空间机动平台的质量，m_M表示自主机动单元的质量。R_o表示空间平台在地心惯性系下的坐标，R_i(i＝5,…,8)表示自主机动单元在地心惯性系下的坐标。

另外，系统中非保守力(包括约束反力)所做的功满足：

$δ^{'} W = - δ r_{4}^{T} \frac{r_{4}}{| | r_{4} | |} F_{T} + Σ_{i = 5}^{8} δ R_{i}^{T} F_{i} + δ g_{N} λ_{N} - - - (11)$

式中，r₄表示系绳连接点4在轨道坐标系O_oX_oY_oZ_o下的位置矢量，F_T表示空间平台和柔性网的连接系绳拉力，F_i(i＝5,…,8)表示作用在自主机动单元上的推力。

由广义Hamilton原理可知，空间绳网机器人的逼近动力学满足：

$\int_{t_{0}}^{t_{1}} (δL + δ^{'} W) dt = 0 - - - (12)$

将式(10)和式(11)代入方程(12)并使用分步积分进行化简可得：

式中，

$M_{i}^{W} = M_{i}^{456} + M_{i}^{467} + M_{i}^{478} + M_{i}^{485} (i = 1,2,3),$

$F = {[- F_{T} r_{4}^{T} / | | r_{4} | |, F_{5}^{T}, F_{6}^{T}, F_{7}^{T}, F_{8}^{T}]}^{T},$

对(13)式进行整理，同时考虑变分的任意性可得系统的动力学方程为：

$M {\overset{\cdot \cdot}{r}}_{N} + C {\overset{\cdot}{r}}_{N} + K r_{N} = F + {(\frac{\partial g_{N}}{\partial r_{N}})}^{T} λ_{N} - - - (14)$

式中，

$M = \frac{m_{W}}{4} M_{1}^{W} + m_{M} diag (0,1,1,1,1) \otimes diag (1,1,1),$

$C = \frac{m_{W}}{4} M_{2}^{W} + m_{M} diag (0,1,1,1,1) \otimes M_{\overset{\cdot}{r}},$

$K = \frac{m_{M}}{4} M_{2}^{W} + m_{M} diag (0,1,1,1,1) \otimes M_{r} .$

系统的解算可通过构建隐式方程，利用Lemke算法进行求解。

利用系绳杨氏模量极高的特点，将系绳建模为不可伸长；并利用间隙函数和约束反力建模系绳松弛时张力为零的特点。模型稳定度高，计算速度快，可以避免系绳的珠式模型(质点弹簧模型)仿真步长小，计算缓慢，易于发散的问题。

四、建立系绳连接点4与自主机动单元间系绳运动的速度跳变模型

如附图3所示，假设在t^-时刻，节点i和节点j之间的距离达到标称长度L_ij，而两个节点的相对速度不为0，且有相互远离的趋势。于是，在t时刻连接两个节点的系绳绷紧，由于系绳的刚度和阻尼都比较高，所以类似于碰撞过程，系绳会在极短时间内产生了比较大的张紧力，从而使得两个节点在t⁺时刻具有了沿系绳方向一致的速度。

为了描述瞬间的速度跳变，将动力学方程(14)在[t^-,t⁺]上积分，得：

由于在极短的时间内，位置矢量r_N还来不及发生变化，同时由于控制力F是有限的，因此方程左侧的后两项和右侧的第一项为0。对于那些满足系绳绷直条件的约束，即满足g_i＝0且其约束力在无限小的时间内趋向于无穷大，因此其积分不为0，而对于那些不满足绷直条件的约束，其约束反力为有限值，因而积分也为0。

为了便于表达，我们将满足绷直条件的约束取出，将他们的编号从小到大排列得到列向量按照同样的顺序排列对应的间隙函数和约束反力可以得到列向量和另外，分别将约束反力向量λ_NT和在时间段[t^-,t⁺]记作Λ_NT和两者之间满足：

$Λ_{NT} = M_{RT} {\overline{Λ}}_{NT} - - - (16)$

其中，

$M_{RT} (i, j) = (\begin{matrix} 1 & i = {\overline{I}}_{NT} (j) \\ 0 & others \end{matrix})$

于是，方程(15)可以化简为：

$M ({\overset{\cdot}{r}}_{N} |_{t^{+}} - {\overset{\cdot}{r}}_{N} |_{t^{-}}) = {(\frac{\partial g_{N}}{\partial r_{N}})}^{T} M_{RT} {\overline{Λ}}_{NT} - - - (17)$

另外，对于间隙函数向量它在t⁺时刻必须满足：

${\overset{\cdot}{\overline{g}}}_{NT} |_{t^{+}} = 0 - - - (18)$

则：绷紧系绳的速度跳变模型为：

本步骤的速度跳变建模有效反映了系绳绷紧时的动力学特性，将珠式模型中极短时间发生的动力学用瞬态形式进行描述，简化建模复杂度。同第三步一起，从根本上解决了珠式模型计算步长必须很小，否则极易发散的问题。

以上内容仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明权利要求书的保护范围之内。

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