一种基于拟周期轨道的洛伦兹力多星编队构型方法

摘要

本发明公开的一种基于拟周期轨道的洛伦兹力多星编队构型方法，属于航空航天领域。本发明实现方法为，通过建立带电从星在主星的人工磁场下的运动方程，并对运动方程进行无量纲简化处理，并确定无量纲化的运动方程的平衡点，利用微分修正法和数值延拓法得到平衡点附近的周期轨道，并计算周期轨道中心流形上的拟周期轨道，通过在拟周期轨道频闪映射下的不变曲线上部署多颗带电卫星，实现无工质消耗的洛伦兹力多星编队构型。所述方法无需消耗化学燃料、无化学污染，在近距离空间编队、在轨操作和长时间的空间观测任务中具有应用前景。本发明适用于带电卫星绕地球高轨上带有自旋磁场的航天器进行近距离编队。

说明书

技术领域

本发明涉及航空航天领域，特别涉及一种基于拟周期轨道的洛伦兹力多星编队构型方法，适用于带电卫星绕地球高轨上带有自旋磁场的航天器进行近距离编队。

背景技术

当带电航天器在磁场内运动时，会受到洛伦兹力的影响，该力同时与航天器的瞬时速度以及磁场方向垂直。在地球高轨运行的卫星，也即主星，上部署人工磁场，那么附近的带电卫星，也即带电从星，会受到由主星上磁场产生的洛伦兹力，带电从星在地球引力和洛伦兹力的共同作用下，可以与主星构成无工质消耗的洛伦兹力编队。由于洛伦兹力不消耗推进剂，将其作为新型的动力方式，相对于传统的化学推进方式，展现出了更多的优势，可以作为未来空间任务中一项颇有前景的技术。

现有的已发展的关于洛伦兹力编队在先技术[1](参见高扬.洛仑兹力推进的带电卫星：轨道运动和推进概念[C].中国空间科学学会空间探测专业委员会第二十二次学术会议,大连,2009)提出了利用星间洛伦兹力进行编队控制的概念，带电从星在带自旋人工磁场的主星附近运动，主星的磁场由高温超导体产生且主星绕地球做圆周运动，但是并未进行动力学分析和编队构型设计。

在先技术[2](C.Peng,Y.Gao.Formation-flying planar periodic orbits inthe presence of intersatellite Lorentz force[J].IEEE Transactions onAerospace and Electronic Systems,53(3):1412–1430,2017.)给出了人工磁场的方向垂直于主星的轨道面时，带电从星相对于主星运动的平衡点和部分周期轨道。然而，在周期轨道族中存在更多周期轨道，而且在周期轨道的中心流形中也存在无数的2D不变环面，也即拟周期轨道，这些拟周期是编队飞行参考轨道的更优选择。由于周期轨道的延拓以及拟周期轨道的计算难度比较大，在先技术[2]中没有完成周期轨道族的完整延拓，也未得到任何周期轨道附近的拟周期轨道，更未涉及到利用拟周期轨道实现编队构型的技术。

综上所述，在利用洛伦兹力实现编队构型的技术中，计算带电从星相对于主星运动的拟周期轨道的技术，以及基于拟周期轨道实现编队构型的技术还属于空白。

发明内容

本发明公开的一种基于拟周期轨道的洛伦兹力多星编队构型方法要解决的技术问题是：基于卫星间洛伦兹力实现多个带电从星在绕主星的拟周期轨道上运动，从而利用拟周期轨道在频闪映射下的不变曲线实现无工质消耗的多星洛伦兹力自然编队构型，使所述自然编队构型中卫星之间没有碰撞的风险，同时编队构型也不会发散，带电从星一直保持在同一条不变曲线上，且不需要额外的燃料来维持。本发明具有无需消耗燃料、无化学污染优点，适用于带有光敏设备载荷的任务，也在近距离空间编队、在轨操作和长时间的空间观测任务中有很大的应用前景，

本发明的目的是通过下述技术方案实现的。

本发明公开的一种基于拟周期轨道的洛伦兹力多星编队构型方法，通过建立带电从星在主星的人工磁场下的运动方程，并对运动方程进行无量纲简化处理，并确定无量纲化的运动方程的平衡点，利用微分修正法和数值延拓法得到平衡点附近的周期轨道，并计算周期轨道中心流形上的拟周期轨道，通过在拟周期轨道频闪映射下的不变曲线上部署多颗带电卫星，实现无工质消耗的洛伦兹力多星编队构型。所述方法无需消耗化学燃料、无化学污染，在近距离空间编队、在轨操作和长时间的空间观测任务中具有应用前景。

本发明公开的一种基于拟周期轨道的洛伦兹力多星编队构型方法，包括以下步骤：

步骤一：建立带电从星在主星的人工磁场下的运动方程，并对运动方程进行无量纲简化处理，得到无量纲简化处理的运动方程。

主星在地球高轨上运行，带电从星运动所需的洛伦兹力由主星上自旋的人工磁场产生。带电从星在以主星为原点的当地水平当地垂直坐标系内的运动方程表示为，

其中，r＝(x,y,z)和分别带电从星的位置向量和速度向量，n为主星绕地球运动的平均角速度。f_L＝(f_x,f_y,f_z)^T为带电从星所受的洛伦兹力，表示为，

其中，为带电从星的荷质比，v_r为带电从星相对于主星的速度，ω_c为主星上自旋磁场的角速度，B为人工磁场的强度。

对方程(1)进行无量纲化，并简化为，

步骤二：确定无量纲简化处理的运动方程的平衡点。

令X'＝Y'＝Z'＝0,X"＝Y"＝Z"＝0，得到平衡点的位置方程(4)，

平衡点为带电从星相对于主星静止的平衡点，也即带电从星相对于主星位置不变而速度为零的特解。在平衡点处，带电从星所受的地球引力与洛伦兹力相抵消。

步骤三：确定量纲简化处理的运动方程的平衡点附近的周期轨道。

平衡点附近的线性化方程可表示以下形式：

其中，v_i,i＝1,2,...,6为特征向量，c_i,i＝1,2,...,6为任意常数。中心流形对应的特征根为令c₂＝c₅＝c₃＝c＝₆＝0得中心流形上特征根λ_1,4对应的周期解为：

其中，为v₁的共轭。

利用公式(6)所表示的线性近似，得到周期轨道的初始值为：

其中，X_eq为平衡点的位置坐标，∈为中心流形方向上的小扰动参数，‖x(t)‖为x(t)的欧氏范数。

通过微分修正法对公式(7)中周期轨道的初始值进行迭代修正，获得连续的周期轨道的精确值X_f(t)，然后利用数值延拓法得到完整的周期轨道族。

步骤四：基于步骤三得到平衡点附近的周期轨道，确定周期轨道中心流形上的拟周期轨道。

选择步骤三中的周期轨道族中的一条椭圆型周期轨道，求解其附近的拟周期轨道。所述拟周期轨道为2D不变环面，2D不变环面用参数化表示成双参数函数ψ(ξ,η)，通过频闪映射固定(ξ,η)中的任一参数，将拟周期轨道的求解简化成单参数函数表示的不变曲线用截断傅里叶展开式表示不变曲线

其中，M为截断项数，且为需要求解的傅里叶系数。

不变曲线上的点经过一个周期的推演后，仍返回同一条不变曲线上，相位角发生一个旋转数ρ的变化，也即不变曲线满足以下不变方程，

其中，ρ为旋转数，返回时间T为周期轨道的周期。

通过公式(10)将获得的不变曲线全局化为不变环面ψ(ξ,η)，即为周期轨道中心流形上的拟周期轨道，

步骤四具体实现方法，包括如下步骤：

步骤4.1：确定拟周期轨道的不变曲线的初始值。

利用周期轨道的线性流作为拟周期轨道的不变曲线的初始值，表示为

其中，χ₀为周期轨道上任一点，为单值矩阵的单位特征值对应的特征向量，为不变曲线到周期轨道之间的距离，ξ∈[0，2π]。傅里叶系数的初始值则为：C₀＝χ₀,C₁＝∈v_r,S₁＝-∈v_i，当k＞2时，C_k＝S_k＝0。

步骤4.2：求解拟周期轨道的不变曲线的傅里叶系数。

在区间[0,2π]内对不变曲线进行离散化，令所有离散点上都满足不变方程(9)，得到以下方程组，

其中，不变曲线表示成方程(8)所示的傅里叶级数展开式，利用牛顿法对以上方程组(12)进行迭代直至误差小于给定精度，来确定傅里叶系数C_k和S_k。

在迭代过程中，根据所需精度的大小，调整截断傅里叶展开式的频率个数N_f，调整规则如下：保证后N_f/4个系数的最大范数比所需的精度小一个数量级。如果不满足以上调整规则，将频率个数增大为2N_f，并将k＝N_f+1,…,2N_f对应的项设为C_k＝S_k＝0。

步骤4.3：基于拟周期轨道在频闪映射下的不变曲线通过公式(10)将变曲线全局化为不变环面ψ(ξ,η)，即为周期轨道中心流形上的拟周期轨道。

步骤五：基于步骤四求解的周期轨道中心流形上的拟周期轨道，利用拟周期轨道在频闪映射下的不变曲线实现无工质消耗的洛伦兹力多星编队构型。

基于步骤四求解的中心流形上的拟周期轨道，在拟周期轨道频闪映射下的不变曲线上选择ξ＝iπ/N,i＝1,2,...,N的N个等分点各部署一颗带电从星，实现无工质消耗的多星洛伦兹力自然多星编队构型。

还包括步骤六：利用步骤五求得多星洛伦兹力编队构型进行多星编队飞行，编队构型中的带电从星位于运动方程(3)的自然拟周期轨道上，不需要额外的燃料来维持，且所有带电从星一直保持在同一条不变曲线上，所述编队构型不会发散。

还包括步骤七：通过对步骤五得到的多星编队构型中带电从星之间相对距离进行分析，确定编队构型的演化性质，编队构型中的带电从星彼此之间没有碰撞的风险。

有益效果：

1、本发明公开的一种基于拟周期轨道的洛伦兹力多星编队构型方法，基于卫星间洛伦兹力实现多个带电从星在绕主星的拟周期轨道上运动，进而利用中心流形上的拟周期轨道在频闪映射下的不变曲线实现无工质消耗的洛伦兹力多星编队构型，使所述编队构型不需要额外的燃料来维持，且带电从星一直在同一条不变曲线上，所述编队构型也不会发散。

2、本发明公开的一种基于拟周期轨道的洛伦兹力多星编队构型方法，利用星间洛伦兹力来实现编队构型，即通过洛伦兹力维持主星和带电从星之间的相对运动，因此无需传统的化学燃料消耗，也不会产生化学污染，适用于带有光敏设备载荷的卫星。

3、本发明公开的一种基于拟周期轨道的洛伦兹力多星编队构型方法，还对步骤五得到的多星编队构型中带电从星之间相对距离进行分析，确定带电卫星之间没有相撞的风险。

4、本发明公开的一种基于拟周期轨道的洛伦兹力多星编队构型方法，由于具有上述有益效果，因此，在在近距离空间编队、在轨操作和长时间的空间观测任务中有很大的应用前景。

附图说明

图1是本发明的一种拟周期轨道的洛伦兹力多星编队构型方法的流程图；

图2是本发明的平衡点3_N附近的周期轨道族；

图3是本发明的旋转数为ρ＝0.6625849644和返回时间为T＝2.1505284937的拟周期轨道及其不变曲线，其中细线表示的复杂管道为拟周期轨道，黑色粗线为不变曲线；

图4是本发明的位于拟周期轨道频闪映射下的不变曲线上的洛伦兹力三星编队构型，其中实心三角形表示三颗带电从星，黑色粗线为相邻两颗带电从星之间的连线；

图5是本发明的洛伦兹力三星编队构型在一个返回时间T内的演化过程，其中：图5a)～h)分别为所述编队构型在时刻T/8，T/4，…，T时的示意图；

图6是本发明的洛伦兹力三星编队构型中带电从星之间相对距离的演化规律。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式对本发明做进一步说明。

实施例1：

本实施例公开的一种基于拟周期轨道的洛伦兹力多星编队构型设计方法，具体步骤如下：

步骤一：建立带电从星在主星的人工磁场下的运动方程。主星在地球高轨上运行，带电从星运动所需的洛伦兹力由主星上的自旋人工磁场产生，带电从星在以主星为原点的当地水平当地垂直坐标系内的运动方程表示为，

其中，为带电从星的荷质比，v_r为带电从星相对于主星的速度，ω_c为主星上自旋磁场的角速度，B为人工磁场的强度。

对方程(1)进行无量纲化，并简化为，

步骤二：确定无量纲简化处理的运动方程的平衡点。

令X'＝Y'＝Z'＝0,X"＝Y"＝Z"＝0，得到平衡点的位置方程(4)，

平衡点为带电从星相对于主星静止的平衡点，也即带电从星相对于主星位置不变而速度为零的特解。在平衡点处，带电从星所受的地球引力与洛伦兹力相抵消。平衡点的位置为：

步骤三：确定量纲简化处理的运动方程的平衡点附近的周期轨道，本发明以平衡点3_N为例进行说明。

平衡点附近的线性化方程可表示以下形式：

其中，v_i,i＝1,2,...,6为特征向量，c_i,i＝1,2,...,6为任意常数。中心流形对应的特征根为令c₂＝c₅＝c₃＝c₆＝0可得中心流形上特征根λ_1,4对应的周期解为：

其中，为v₁的共轭。

利用公式(6)所表示的线性近似，得到周期轨道的初始值为：

其中，X_eq为平衡点的位置坐标，∈为中心流形方向上的小扰动参数，‖x(t)‖为x(t)的欧氏范数。

通过微分修正法对公式(7)中周期轨道的初始值进行迭代修正，获得连续的周期轨道的精确值X_f(t)，然后利用数值延拓法得到完整的周期轨道族，如图2所示。

步骤四：基于步骤三得到平衡点附近的周期轨道，确定周期轨道中心流形上的拟周期轨道。

选择步骤三中的周期轨道族中的一条椭圆型周期轨道，来求解其附近的拟周期轨道。所述拟周期轨道为2D不变环面，2D不变环面用参数化表示成双参数函数ψ(ξ,η)，通过频闪映射固定(ξ,η)中的任一参数，将拟周期轨道的求解简化成单参数函数表示的不变曲线用截断傅里叶展开式表示不变曲线

其中，M为截断项数，且为需要求解的傅里叶系数。

不变曲线上的点经过一个周期的推演后，仍返回同一条不变曲线上，相位角发生一个旋转数ρ的变化，也即不变曲线满足以下不变方程，

其中，ρ为旋转数，返回时间T为周期轨道的周期。

通过公式(10)将获得的不变曲线全局化为不变环面ψ(ξ,η)，即为周期轨道附近的拟周期轨道，

步骤四具体实现步骤如下：

步骤4.1：确定拟周期轨道的不变曲线的初始值。

利用周期轨道的线性流作为拟周期轨道的不变曲线的初始值，表示为

其中，χ₀为周期轨道上任一点，v＝v_r±iv_i为单值矩阵的单位特征值对应的特征向量，为不变曲线到周期轨道之间的距离，ξ∈[0,2π]。傅里叶系数的初始值则为：当k＞2时,C_k＝S_k＝0。

步骤4.2：求解拟周期轨道的不变曲线的傅里叶系数。

在区间[0,2π]内对不变曲线进行离散化，令所有离散点上都满足不变方程(9)，得到方程组，

其中，不变曲线表示成方程(8)所示的傅里叶级数展开式，利用牛顿法对以上方程组(12)进行迭代直至误差小于给定精度，确定了傅里叶系数C_k,S_k。在迭代过程中，根据所需精度的大小，调整截断傅里叶展开式(19)的频率个数N_f，调整规则如下：保证后N_f/4个系数的最大范数比所需的精度小一个数量级。如果不满足以上调整规则，将频率个数增大为2N_f，并将k＝N_f+1,…,2N_f对应的项设为C_k＝S_k＝0。本发明取初始值N_f＝16，并设N_f上限为128。

步骤4.3：基于拟周期轨道在频闪映射下的不变曲线通过公式(10)将不变曲线全局化为不变环面即为周期轨道中心流形上的拟周期轨道。图3给出了旋转数为ρ＝0.6625849644，返回时间为T＝2.1505284937的拟周期轨道以及其在频闪映射下的不变曲线。

步骤五：基于步骤四求解的周期轨道中心流形上的拟周期轨道，利用拟周期轨道在频闪映射下的不变曲线实现无工质消耗的多星洛伦兹力自然编队构型。

基于步骤四求解的中心流形上的拟周期轨道，在拟周期轨道频闪映射下的不变曲线上选择ξ＝iπ/4,i＝1,2,3的3个等分点各部署一颗带电从星，实现无工质消耗的多星洛伦兹力三星编队构型，结果如图4所示。

还包括步骤六：利用步骤五求得多星洛伦兹力编队构型进行多星编队飞行，编队构型中的带电从星位于运动方程(3)的自然拟周期轨道上，不需要额外的燃料来维持，且所有带电从星一直在同一条不变曲线上，所述编队构型不会发散，演化规律如图5所示。

还包括步骤七：通过对步骤五得到的多星编队构型中带电从星之间相对距离进行分析，结果如图6所示，编队构型中的带电从星彼此之间没有碰撞的风险。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。