Dénombrement des polyominos F-convexes sur le réseau triangulaire et bijection entre polyominos F-convexes hexagonaux et triangulaires

摘要

Les polyominos sur les réseaux carré et hexagonal ayant des propriétés de convexité ont été largement étudiés, et leurs classes de symétrie ont été dénombrées (par leurs séries génératrices selon divers paramètres: l'aire, le périmètre, la largeur, la hauteur, etc.). Les polyominos pouvant être considérés comme des objets dans l'espace, on les dénombre à translations, à rotations et à réflexions près. Un résultat classique de la théorie des groupes, le lemme de Burnside nous aidera à ce niveau. On s'intéresse donc au dénombrement des classes de polyominos convexes ayant des propriétés de symétries. Dans ce mémoire on s'intéresse aux polyominos sur le réseau triangulaire. Quelques travaux ont été faits sur ce réseau, notamment sur les polyominos parallélogrammes, les polyominos dirigés et les animaux. Ce mémoire porte entre autres sur le dénombrement des classes de symétrie des polyominos F-convexes (convexité forte) sur le réseau triangulaire. On présente aussi quelques résultats concernant les polyominos HV-convexes (l'équivalent des polyominos EG-convexes sur le réseau hexagonal, soit une convexité selon un axe horizontal et un axe vertical). Les formes de convexité vont êtres définies dans l'introduction. On introduira aussi une classe particulière de polyominos, soit les polyominos filiformes. Le premier chapitre porte sur le dénombrement des polyominos triangulaires F-convexes. On utilisera pour cela les méthodes de Fouad Hassani et de Mireille Bousquet-Mélou, qui ont fait leurs preuves sur le réseau hexagonal. On obtient ainsi des formes closes remarquables pour leurs séries génératrices selon plusieurs paramètres, dont la largeur, l'aire et le périmètre. Le deuxième chapitre porte sur les polyominos HV-convexes, dont on donne les équations fonctionnelles. Le troisième chapitre dénombre des polyominos convexes triangulaires particuliers, comme les polyominos partages, les polyominos tas et les polyominos parallélogrammes. Le quatrième chapitre dénombre les classes de symétries des polyominos F-convexes, soit leurs orbites. On fait aussi un rappel de quelques résultats de la théorie des groupes et de leur action, notamment sur les groupes diédraux D6 des isométries de l'hexagone et D2, sous-groupe de D4 des isométries du carré. En se basant sur la dualité des graphes plans, on présente dans le cinquième chapitre une bijection entre les polyominos C-convexes du réseau hexagonal et des structures "polyominomiales" sur le réseau triangulaire. Ces structures généralisent les polyominos triangulaires en admettant des parties filiformes tout en satisfaisant les conditions de C-convexité. De plus, nous donnons des formules simples de passage pour ce qui est des paramètres largeur, aire et périmètre selon cette bijection. On en déduit, par restriction, une bijection entre les polyominos F-convexes des réseaux hexagonal et triangulaire. Notons que tous les calculs sur les séries génératrices ont été faits sur le logiciel Maple. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Polyomino(s), Polyomino(s) convexe(s), Réseau triangulaire, Dénombrement.