幾何学から物理学ヘ物理を圏論?微分幾何の言葉で語ろう外積代数

摘要

2つ以上の物理量に比例する量を表す概念として多重線形写像やテンソル積を導入した.力と変位に比例する仕事や,平行四辺形の2辺の長さに比例する面積などが多重線形写像の例である.しかし,力fと変位dに比例する仕事W(f,d)に比べると,べクトルv_1,v_2を2辺とする平行四辺形の面積∑(v_1,v_2)はたhなる多重線形写像以上の性質を持つ.仕事を表す関数W(f,d)の第1変数fは力の空間のべクトルで,第2変数dは変位空間のべクトルであり,これらを入れ換えてWに入力することは意味をなさない.また,W(f,f)やW(d,d) の値を問うことも意味がない.ところが,辺を表すベクトルv_1,v_2はどちらも同じ変位空間のべクトルなので,変数を入れ換えた∑(v_1,v_2)を考えることができる.同じベクトルを入力した∑(v_1,v_2)も考えられる.じつは,面積は∑(v_1,v_2)=-∑(v_1,v_2)という性質を持つことを以下に示す.