階数1の対称空間における曲線と部分多様体

摘要

測地線を考察することにより発展してきたリーマン幾何学では，曲線に関してはもっばら測地線を研究対象にしてきたが，本論説では考察の対象になりうる'良い'曲線を測地線を含むあるクラスの曲線族に求める．ではどのような性質を持った曲線を良い曲線と考えれば良いのであろうか．当然，それは測地線が本来持っている性質でなければならない．ところですべての対称空間上の測地線は，対称空間の等長変換群の－径数部分群による軌道になっている.そこで一般にリーマン多様体?の等長変換群の一径数部分群による軌道になっている曲線を?のキリング螺旋（Killingbelix）と呼ぶことにする．この曲線はいうまでもなく，キリングベクトル場の積分曲線であることから単純曲線である．キリング螺旋は.一般にはたくさん存在するわけであるが，幾何的な議論の場に現れるようなキリング螺旋を研究することが筆者の目標である⊥　ところで，階数1の対称空間内には興味ある等質部分多様体がたくさんあるが，これらの等質部分多様体上の測地線を対称空間の曲線として眺めてみるとキリング螺旋になっていることが多い．本論説では，まず部分多様体論を道具にして，階数1?の対称空間上のキリング螺旋の梯子を複素射影空間における記述を中心にまとめ，その後観点を道にして，その結果を部分多様体論に反映させることにする．