ÉTUDE NUMÉRIQUE DES PÔLES DE RÉSONANCE ASSOCIÉS À LA DIFFRACTION D'ONDES ACOUSTIQUES ET ÉLASTIQUES PAR UN OBSTACLE EN DIMENSION 2

摘要

L'article présente une approche originale du concept de pôle de résonance, introduit par Lax et Phillips, pour l'étude de la matrice de scattering associée à la propagation d'ondes dans un milieu acoustique Ω, non borné dans le plan ou l'espace. Cette approche est basée sur des équations intégrales obtenues dans le cadre stationnaire du problème de diffraction : les résonances sont caractérisées ainsi, comme pôles dans C d'une famille S d'opérateurs dont on connaît explicitement les inverses, qui forment une famille analytique T, définie dans C. Grâce aux éléments finis adaptés à la frontière bornée Γ de Ω, on passe immédiatement à l'élaboration d'un code de calcul des résonances. Le problème de la convergence numérique est résolu, ce qui justifie la méthode présentée. A partir des résultats numériques obtenus, on propose des conjectures qui s'additionnent aux connaissances déjà acquises quant à la répartition des résonances dans C. Enfin, le cas des ondes élastiques est abordé brièvement. On montre, sur l'exemple de la diffraction par le disque, le changement fondamental d'une telle situation, qu'on étaye de résultats numériques pour la fissure rectiligne.%This article presents a new approach regarding the resonance poles in the theory of Lax and Phillips, who studied the scattering matrix associated with the wave propagation in an acoustical and unbounded domain Ω, in 2D or 3D. Our approach is based on integral equations, developed from the stationary equations of diffraction: we characterize the resonances as poles in C of a family S of operators. The family T of inverses is explicitly determined, and is analytic. Adapting the finite element method to the bounded boundary Γ of Ω, we develope a way of computing resonances. We also show the numerical convergence, justifying the interest of our approach. From these numerical results, we propose additional theorems on resonancy repartition in C. Finally, the case of elastic waves is discussed briefly. We observe fundamental changes for the disk reflexion, compared to the previous situation. In this setting, we give some numerical results for the rectilinear slit.