MATHEMATICAL DERIVATION OF THE POWER LAW DESCRIBING POLYMER FLOW THROUGH A THIN SLAB

摘要

We consider the polymer flow through a slab of thickness E. The flow is described by 3D incompressible Navier-Stokes system with a nonlinear viscosity, being a power of a norm of the shear rate (power law). We consider the limit when ε → 0 and prove that the limit averaged velocity, averaged over the thickness, satisfies a nonlinear two-dimensional Poiseuille's law, with non-linear viscosity depending on the power of the length of the gradient of the pressure. It is found out that the powers in the starting law and in the limit law are conjugate. Furthermore, we prove a convergence theorem for velocity and pressure in appropriate functional spaces.%On considère l'écoulement en régime stationnaire, isotherme et incompressible, d'un polymère à l'intérieur d'un domaine de faible épaisseur ε. Cet écoulement est décrit par le système tridimensionnel de Navier-Stokes avec une viscosité non linéaire qui est une puissance du deuxième invariant du tenseur des taux de déformation (loi de puissance). Nous montrons un théorème de convergence quand ε tend vers zéro pour la vitesse et la pression dans des espaces fonctionnels appropriés. A la limite, la moyenne dans l'épaisseur de la vitesse satisfait une loi de Poiseuille bidimensionnelle non linéaire où la viscosité est fonction d'une puissance du gradient de la pression. Les puissances dans la loi de départ et dans la loi limite sont conjuguées.