Simple spatial prediction - least squares prediction, simple kriging, and conditional expectation of normal vector

摘要

Motywację dla niniejszego artykułu stanowił rozdział „Metody statystyczne w geodezji fizycznej" pochodzący z uznawanej obecnie za klasykę gatunku pozycji „Geodezja fizyczna" (Heiskanen I Moritz, 1967), jak również zainteresowanie autorów metodami predykcji geostatystycznej. Celem artykułu jest studium porównawcze predykcji metodą najmniejszych kwadratów w ujęciu Heiskanena I Moritza z metodą kri-gingu prostego a w przypadku gaussowskich pól losowych ich równoważność z warunkową wartością oczekiwaną. Artykuł zawiera również rozszerzenie krigingu prostego do krigingu zwyczajnego poprzez odrzucenie założenia o znajomości wartości oczekiwanej pola losowego oraz podstawowe informacje na temat pól losowych, funkcji kowariancji I semiwariogramu. W treści artykułu większy nacisk położony został na funkcję semiwariogramu z dwóch powodów. Po pierwsze, semiwariogram opisuje bogatszą klasę zjawisk, a dla procesów stacjonarnych rzędu drugiego mamy zależność między funkcją kowariancji a se-miwariogramem. Po drugie, analiza zjawisk za pomocą funkcji kowariancji jest powszechniejsza, zatem przedstawienie kolejnej funkcji wydaje się uzasadnione. Dla łatwości prezentacji wszystkie rozważania zostały ograniczone do przestrzeni euklidesowej (więc dla obszarów o ograniczonej powierzchni) jednakże z dodatkowym wysiłkiem rozważania mogą zostać uogólnione na przypadek rozmaitości takich jak sfera, elipsoida I inne.%The aim of the paper is the comparison of the least squares prediction presented by Heiskanen and Moritz (1967) in the classical handbook "Physical Geodesy" with the geostatistical method of simple kriging as well as in case of Gaussian random fields their equivalence to conditional expectation. The paper contains also short notes on the extension of simple kriging to ordinary kriging by dropping the assumption of known mean value of a random field as well as some necessary information on random fields, covariance function and semivariogram function. The semivariogram is emphasized in the paper, for two reasons. Firstly, the semivariogram describes broader class of phenomena, and for the second order stationary processes it is equivalent to the covariance function. Secondly, the analysis of different kinds of phenomena in terms of covariance is more common. Thus, it is worth introducing another function describing spatial continuity and variability. For the ease of presentation all the considerations were limited to the Euclidean space (thus, for limited areas) although with some extra effort they can be extended to manifolds like sphere, ellipsoid, etc.