Let $pgeq 1$, $arepsilon >0$, $rgeq (1+arepsilon) p$, and $X$ be a $(-1/r)$-concave random vector in $mathbb{R}^n$ with Euclidean norm $|X|$. We prove that $$(mathbb{E} |X|^{p})^{1/{p}}leq c left( C(arepsilon) mathbb{E} |X|+sigma_{p}(X)ight), $$ where $$sigma_{p}(X) = sup_{|z|leq 1}(mathbb{E} |langle z,Xangle|^{p})^{1/p}, $$ $C(arepsilon)$ depends only on $arepsilon$ and $c$ is a universal constant. Moreover, if in addition $X$ is centered then $$(mathbb{E} |X|^{-p} )^{-1/{p}} geq c(arepsilon) left( mathbb{E} |X| - C sigma_{p}(X)ight) . $$
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机译：令$ p geq 1 $，$ varepsilon> 0 $，$ r geq（1+ varepsilon）p $和$ X $是$ mathbb中凹型随机向量{R} ^ n $，具有欧几里得范数$ | X | $。我们证明$$（ mathbb {E} | X | ^ {p}）^ {1 / {p}} leq c left（C（ varepsilon） mathbb {E} | X | + sigma_ { p}（X） right），$$，其中$$ sigma_ {p}（X）= sup_ {| z | leq 1}（ mathbb {E} | langle z，X rangle | ^ { p}）^ {1 / p}，$$ $ C（ varepsilon）$仅取决于$ varepsilon $，而$ c $是通用常数。而且，如果另外$ X $居中，则$$（ mathbb {E} | X | ^ {-p}）^ {-1 / {p}} geq c（ varepsilon） left（ mathbb { E} | X |-C sigma_ {p}（X） right）。 $$
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