一道高考题所引发的联想

摘要

@@　　2000年春季高考数学试题(北京、安徽卷)第22题：rn　　[=T(〗1[=〗如图1，设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB,OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.rn　　解　以原点为极点，x轴的正方向为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为ρ2sin2θ=4pρcosθ,设点B(ρ1,θ1),M(ρ,θ)，则Aρ2,(π)/(2)+θ1.rn　　∵　B,A在抛物线上，rn　　∴ρ21sin2θ1=4pρ1cosθ1,rnρ1sin2θ1=4pcosθ1,rn(1)rnρ22cos2θ1=-4pρ2sinθ1,rnρ2cos2θ1=-4psinθ1,rn(2)rn又rnOM⊥AB,rnrn　　∴rn|OM|=|OA|cos∠AOM,rnρ=ρ2cos(π)/(2)+θ1-θ=ρ2sin(θ-θ1),rn(3)rn|OM|=|OB|cos∠BOM,rnρ=ρ1cos(θ-θ1),rn(4)rn(1),(4)消去ρ1，得rnρsin2θ1=4pcosθ1cos(θ-θ1),rn(5)rn(2),(3)消去ρ2，得rnρcos2θ1=-4psinθ1sin(θ-θ1),rn(6)rn(5)+(6)得rnρ=4p［cosθ1cos(θ-θ1)-sinθ1sin(θ-θ1)］=4pcosθ,rn化为直角坐标方程为rnrnx2+y2-4px=0.rnrn　　因为A，B是原点以外的两点，所以x≠0，rn　　所以点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0)，它表示是以(2p,0)为圆心，2p为半径的圆，去掉原点.rn　　定理1　若点A和点B为抛物线y2=2px(p>0)上原点O以外的两个动点，且OA⊥OB,OM⊥AB，则点M的轨迹是以(p,0)为圆心，p为半径的圆，去掉原点.