Hlawka不等式的一个证明及应用

摘要

Hlawka不等式是处理向量模论的一个重要的初等不等式.它可表述为定理　设z1、z2、z3是三个复数,则　|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z1+z3|+|z2+z3|.这个不等式的证明有较大的难度,一般要求构造一个恒等式.[1]本文给出这个不等式的一个简洁的新证明并应用它解决一道征解题.证明　由模的基本不等式有　　|z1(z1+z2+z3)+z2z3|　≤|z1||z1+z2+z3|+|z2z3|,类似还有两式,将此三式左右两边分别相加并化简,得　|(z1+z2)(z1+z3)|+|(z1+z2)(z2+z3)|+　　|(z1+z3)(z2+z3)|≤(|z1|+|z2|+|z3|)|z1+z2+z3|+|z1z2|+|z1z3|+|z2z3|.(1)又由恒等式　|z1+z2|2+|z1+z3|2+|z2+z3|2=|z1|2+|z2|2+|z3|2+|z1+z2+z3|2,(2)故2×(1)后与(2)式相加并化简,得　(|z1+z2|+|z1+z3|+|z2+z3|)2≤(|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|)2,从而两边开平方即可得Hlawka不等式.应...