一道美国数学奥林匹克题的八种证法

摘要

＜正＞题目如图1,BE、CF分别是锐角△ABC的两条高,以AB为直径的圆与直线CF相交于点M、N,以AC为直径的圆与直线BE相交于点P、Q.证明:M、N、P、Q四点共圆.（第19届美国数学奥林匹克第5题）从图形结构来看,此题条件精炼,结构优美,解法丰富.文[1]利用线段间的数量关系结合相交弦定理对此赛题进行了证明,文[2]分别运用三角法和解析法给出两种证法,笔者在文[3]中利用反演变换给出这一赛题的新证法,并在文[4]中通过类比和改造图形结构演绎出一些新结论.