浅议二次曲线的切线问题

摘要

(2012年全国高考广东文20题)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上. (1)求椭圆C1的方程. (2)设直线l同时与椭圆C1与抛物线C2∶y2 =4x相切,求直线l的方程. 解:(1)椭圆(1的方程:x2/2+y2 =1(过程略).对于(2)圆锥曲线的切线,可以把直线方程代入曲线方程,消去一个变量后得到一元二次方程,让二次项系数不等于零且判别式等于零来求解.但是这种办法计算量比较大,容易出错.我们可以想一想,椭圆与抛物线都属于二次曲线,我们能不能归纳出二次曲线统一的切线方程呢?引入我们要讨论的问题.中学教材引进导数以后,则给定切点,求曲线切线方程就比较容易多了,证明和总结如下: