一个不等式的种种巧证

摘要

问题已知x、y、z∈R,且x+y+z=a(a0)和x~2+y~2+z~2=a~2/2。求证:0≤x、y、z≤(2/3)a。此题散见于许多资料上的常规证法是:将条件x=a-(y+z)代入x~2+y~2+z~2=a~2/2整理后得到关于y的一元二次方程2y~2+2(2-a)y+2z~2-2az+a~2/2=0,因此y∈R,于是从考虑△≥0入手,可得0≤z≤2a/3等。本文对所给问题进行多角度观察、联想