谈谈向量中有关心的题目解法

摘要

三角形的外心、内心、重心、垂心,以及正三角形的中心与解析几何有关图形的性质有机地结合,可拓宽应用的范围,使很多解析几何问题能简单明快地解决,特别在向量中若记住一些关于心的有关性质,可大大简化解题过程.翻开近几年的高考题,从中不难发现有关三角形心的题目不少,如何处理这些题目呢?1有关“心”的性质性质1在△ABC中,PG=13(PA+PB+PC)G为△ABC的重心.特别地,PA+PB+PC=0 P为△ABC的重心;AB+12BC=AD,则AD过三角形的重心.性质2 P是△ABC所在平面上一点,PA·PB=PB·PC=PC·PA P为△ABC的垂心.证明由PA·PB=PB·PC,得PB·(PA-PC)=PB·CA=0,即PB⊥CA.同理PA⊥BC,PC⊥AB.所以P为△ABC的垂心.性质3向量λAB|AB|+AC|AC|(λ≠0)所在直线过△ABC的内心(∠BAC的平分线所在直线).证明由于AB|AB|表示AB方向上的单位向量,AC|AC|表示AC方向上的单位向量,λAB|AB|+AC|AC|,λ∈[0,+∞)表示∠BAC的平分线所在直线,故向量λAB|AB|+AC|AC|(λ≠0)所在直线过△ABC的内心.性质4...