三角域上Bernstein多项式的Lipschitz常数(英文)

摘要

设T是平面上以T_1,T_2,T_3为顶点的三角形,f(p)为定义在T上的函数,称B^n(f,P):=sum from (i+j+k=n)f(i/n,j/n,k/n)B_(i,j,k)~n(P),为f的n次Bernstein多项式,这儿B_(i,j,k)~n(P):(n!/i!j!k!)u^v~jω~k是Bernstein基函数,(u,v,w)是P关于T的重心坐标。 B.M.Brown等人对单变量的Bernstein多项式证明了如果f∈Lip_Aλ,0<λ≤1,则对所有的n,都有B~α(f,x)∈Lip_Aλ。本文的目的是对定义在三角域T:{(x,y):x≥0,y≥0,x+y≤1}上的Bernstein多项式证明了类似的结果: 设f(P)∈Lip_Aλ,0<λ≤1,则对所有的n,B^n(f,P)∈Lip(2^(1/2)~λA)λ,并且,在一定意义上,常数2^(1/2)~λA是最好的。 上述结果对于任意的锐角或直角三角形T,也是成立的。 最后还指出,当T可为钝角三角形时,则不存在同一常数C,使对所有的n和任意三角形T,有B^n(f,P)∈Lip_cλ。