矩形域上Bernstein多项式的Lipschitz常数

摘要

设ｆ（ｘ，ｙ）是定义在矩形域Ｒ：｛（ｘ，ｙ）│０≤ｘ≤１，０≤ｙ≤１｝上的任一实值函数，Ｂｍｎ（ｆ；ｘ，ｙ）是与之相应的（ｍ，ｎ）次Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ多项式。本文证明了：若ｆ（ｘ，ｙ）是Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续的，即ｆ（ｘ，ｙ）∈ＬｉｐＡａ那么对所有正整数ｍ，ｎ都有Ｂｍｎ（ｆ；ｘ，ｙ）∈ＬｉｐＢａ。这里Ｂ＝Ａ√２＾ａ，且在一定意义下，常数Ｂ是最好的，上述结果被推广到了高维区域的情形。