Sobolev空间中非线性波动方程的局部解的探讨

摘要

对非线性偏微分方程的研究吸引着许多数学家,物理学家及工程学家.对于线性的波动方程,只要初值适当光滑,其Cauchy问题的解必具有适当的光滑性,同时在t≥0上是整体存在的,然而对于非线性波动方程,其Cauchy问题的整体经典解通常只能在时间t的一个局部范围内存在.目前对于在Sobolev空间中非线性波动方程解的渐近理论的研究,还是一个空白.现以非线性波动方程utt-Δu=f(t,x,u,Du)(t∈R+,x∈Rn)为研究对象,其在Sobolev空间中局部解存在的一个充分条件是 S＞n/2+1,通过引入该Cauchy问题的等价积分算子,运用Fourier变换,利用Banach不动点定理,论证了Sobolev空间中非线性波动方程的Cauchy问题的指数是n/2-1/(k-1).