定义在多重互素GCD封闭集上Smith矩阵行列式的整除性

摘要

设f为算术函数,S={x1,x2,…,xn}是由n个不同的正整数构成的集合.用(f(S))=(f(xi,xj))(1≤i,j≤n)表示一个n阶方阵,其i行j列处的元素为f在xi和xj的最大公因子(xi,xj)处的取值.用(f[S])=(f[xi,xj])(1≤i,j≤n)表示另一个n阶方阵,其i行j列处的元素为f在xi和xj的最小公倍数[xi,xj]处的取值.设h为正整数,如果S可划分为S=∪hi=1 Si,其中Si(1≤i≤h)为最大公因子封闭集,且满足1≤i≠j≤h,(lcm(Si),lcm(Sj))=1,则称S为多重互素最大公因子封闭集.给出定义在多重互素最大公因子封闭集上Smith矩阵(f(S))与Smith矩阵(f[S])行列式之间的关系.