幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的整除性

摘要

设S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素x_i和x_j的最大公因子的a次幂(x_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂GCD矩阵,用(S^a)表示.类似定义幂LCM矩阵[S^a].本文证明了:设S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且正整数a|b.如果n≤3,那么det(S^a)|det[S^b];如果,那么det(S^a)|det[S^b].