可用积分表示的线性泛函

摘要

用M表示集Z上某些有界(实值)函数组成的线性空间,Φ为M上的线性泛函。要讨论Φ是否可表示成积分,本文给出一个充要条件。有关这方面的结果:当Z为紧拓璞空间时有Riesz定理(〔l〕,p.184),当M为格时有下面的Daniell定理(〔1〕,p.175)。 Daniell定理 设M为集Z上某些函数组成的线性空间,包含常数函数1。又设M为格,即当f∈M时必有|f|∈M,对M上的 Daniell积分Φ:即Φ为M上的线性泛函,f≥0时必有Φf≥0,f_n↓0时必有Φf_n↓0,必存在σ(M)上的测度μ使Φf=∫fdμ。这里,σ(M)表示使M中每个f为可测的最小σ环。