自然数数列求和的相关习题探讨

摘要

在代数（必修本）下册封面上有一自然数平方和12+22…+n2=1/6（n+1）（2n+1）,该结论在P₁₁₉,例1中用数学归纳法给以证明,P₁₂₄练习题中用数学归纳法证明:1·2+2·3+3·4+…n（n+1）=（1/3）n（n+ 1）（n+2）,P₁₂₄习题二十三又用数学归纳法证明13+23+33+…+n3=（1/4）n2（n+1）2;12+32+52+…+（2n-1）2=（1/3）n（4n2-1）,P₁₃₂复习参考六用数学归纳法证明:1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=（1/4）n（n+1）（n+2）（n+3）,诸如此类的有关自然数数列求和都是给出了结论,然后用数学归纳法进行证明,不少同学会提出它们作为书皮封面说明是很重要的,那么其结论是怎么来得呢?这是有关自然数数列求和一类公式性的结论,在高考中也曾出现过.例:89年理科第23题是否存在常数a、b、c使得等式:1×22+2×32+…+n（n+1）2=（1/12）n（n+1）（an2+bn+c）,对于一切自然数都成立,并证明你的结论.以上所举自然数数列是一类相关习题,下面给出它们结论的证明.（1）1×2+2×3+3×4+n（n+1）=（1/3）n（n+1）（n+2）（2）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=（1/4）n（n+1）（n+2）（n+3）证1:设S=1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）利用课本错位减法S=1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）-S=-〔1×2×3+2×3×4+…（n-1）n（n+1）+n