抢渡长江的数学模型

摘要

选手在"抢渡长江"比赛中如何以最短的时间顺利到达终点建立了一个通用的约束性最优解模型。考虑一般的情况,即游泳者的速度U、游泳角度θ、水流速度V的变化规律都未知。用y表示游泳者离岸边的垂直距离,把U、θ均看作关于y的函数,分别记作U(y)、θ(y)。本文所给出的约束性最优化模型如下: 在模型的求解中,为了问题的简化,假设U一定,即游泳者始终保持游泳的速度恒定。将江面的宽度作细分,记每点为y1,y2,…,yn。设在任意的一段[yi,yi+1)中,游泳者的角度为θi,(i=1,2,…,n-1),水流速度为沿离岸边距离的线性连续函数:Vi(y)=piy+qi(i=1,2,…,n-1),y∈[yi,yi+1),其中, 模型的求解方法可以采用拉格朗日条件极值的求解方法和二分法来求解。本文中我们利用VC++编程实现。而且,对江面宽度所作的细分y1,y2,…,yn将大大影响到模型的最优解。当n取值越大时,即剖分越细时,模型得到的结果越优。对于问题4中描述的水流速度连续变化的条件下。