有限域上的绝对迹函数和原根

摘要

设p是一个素数,m>0整数,GF(p^m)是有p^m个元素的有限域,T(x)=x+x^p+…+x^(p^(m-1))为GF(p^m)上的绝对迹。R_(p^m)(h)表示T(x)=h(h∈GF(p))在GF(p^m)中的本原根解数。本文证明了如下结果: (ⅰ)R_(p^m)(o)≥φ(p^m—1)/p(p^m—1){p^m—(2^(ω(p-1/p-1))-1)(p-1)p^m(1/2)-p}, (ⅱ)R_(p^m)(h)≥φ(p^m-1)/p(p^m-1){p^m-(2^(ω(p-1/p-1))-1)p^m(1/2)-(2^(ω(p-1))-2^(ω(p-1/p-1))p^(m+1)},其中h≠0,ω(n)表示n的不同素因子个数,φ(n)表示通常的Euler函数。 (ⅲ)当m≥3时,对任给的p和h≠0,h∈GF(p)。除p^m=11~3外,总有R_(p^m)(h)>0。