基于计算机符号计算的若干变系数非线性模型可积性质的研究

摘要

随着计算机符号计算的迅猛发展，在非线性科学中，基于符号计算的变系数模型的解析研究已逐渐成为孤子理论的重要研究方向之一，特别是关于变系数模型可积性质的研究备受关注。计算机符号计算具有易于操作和实现的特点，能够以算法化的形式处理繁复冗长的表达式，可为变系数非线性发展方程的研究工作提供功能强大的辅助工具。 本文主要借助计算机符号计算将某些适用于常系数非线性发展方程的方法进行推广，并应用于若干变系数模型，解析地研究它们的可积性质，如变系数Korteweg-de Vries(KdV)模型、变系数高阶非线性Schr(o)dinger(NLS)模型、修正KdV-Sine-Gordon(mKdV-SG)模型、变系数Gardner模型、柱Kadomtsev-Petviashvili(KP)模型和谱可变修正KP(mKP)模型等等。这些变系数模型在物理学和工程技术领域的不同分支中都有着广泛的应用，如光纤通信、等离子体、超导体、流体力学和非线性晶格等，特别是可用于描述带有非均匀边界条件或非均匀介质的物理背景中的各种非线性波动现象的动力学机制。 在本文中，作者主要针对变系数可积模型的研究提出便于计算机符号计算实现的算法，并将其应用于若干变系数模型可积性质的研究之中。此外，借助数学计算软件着重探讨所得解析结果的物理机制和潜在的物理应用。本文的内容主要包括如下几个方面： (一)基于符号计算的变系数Ablowitz-Kaup-Newell-Segur(AKNS)方法：本文对常系数AKNS方法进行适当推广，并结合符号计算提出适用于构建变系数可积系统Lax对的算法，这样，可在很大程度上扩展该方法的适用范围。同时以在等离子体物理、非线性晶格、玻色爱因斯坦凝聚和海洋动力机制等领域中有着广泛应用的变系数模型为例，阐述了变系数AKNS算法的有效性和适用性。利用该变系数算法，可以更直接更有效地研究变系数非线性模型的某些性质，不仅可以获得常系数模型的线性系统，而且还可以构建变系数可积模型的Lax对。 (二)基于计算机符号计算的变系数非线性模型自-B(a)cklund变换和多孤子型解的研究：一方面，利用自-B(a)cklund变换与逆散射方法之间的等价关系，提出由变系数可积模型的Lax对推导自-B(a)cklund变换的系统算法，实现对变系数模型可积性质的直接有效的分析探讨，并获得相应的自-B(a)cklund变换和单孤子型解；另一方面，在一定的约束条件下，借助符号计算分别推出从变系数KdV模型和变系数Gardner模型到与它们相对应的常系数可积模型的坐标变换，进而基于此研究了变系数非线性发展方程的孤子解及某些可积性质，如自-B(a)cklund变换、非线性叠加公式和Lax对等。文中还以一类源于动脉机制和玻色爱因斯坦凝聚等物理领域的广义的变系数KdV模型为例，借助符号计算推出该模型的非线性叠加公式和无穷守恒律，并得到双孤波型解。借助Mathematica软件对解析解的潜在物理应用进行直观地分析讨论。 (三)符号计算与变系数非线性模型的Darboux变换：与经典B(a)cklund变换相比，Darboux变换的一个显著优势就是既含有势函数变换又存在波函数变换，可反复利用同一个算法迭代推出非线性发展方程的一系列解析解。文中主要结合符号计算、Darboux变换、变系数非线性模型的某些特点，提出构造变系数可积模型Darboux变换的算法，并得到相应模型Ⅳ次迭代的势函数变换公式及多孤子型解。特别地，将双奇异流形方法推广应用到具有双Painlevé分支的变系数谱可变mKP模型，借助符号计算得到该可积模型的自-B(a)cklund变换、Lax对、Darboux变换和Grammian形式的解析解。 (四)基于符号计算的柱KP模型的Darboux变换和多孤子型解的研究：主要利用非线性化方法和符号计算研究柱KP模型所描述的尘埃等离子体和玻色爱因斯坦凝聚中的抛物线型尘埃声波孤子结构。首先，从柱KP模型的Lax对及其共轭Lax对着手，构造两者之间合适的对称约束并提出两种可积分解，即单个Lax对的非线性化和两个对称Lax对的非线性化；其次，从考察柱KP模型与(1+1)维可积方程之间关系的角度直接构造可积分解。这三种可积分解分别将柱KP模型分解为同一梯队中的两组(1+1)维变系数可积系统，从而可降低模型的维数，达到利用低维方程研究高维复杂方程的目的。借助符号计算获得分解后的(1+1)维可积系统的几种Darboux变换，进而得到柱KP模型一系列的孤子型解。 借助Mathematica软件分析讨论了单抛物线型孤子、稀疏型和压缩型孤子的共振结构及离子声波孤子碰撞结构在尘埃等离子体和玻色爱因斯坦凝聚中的物理机制和潜在的物理应用。 (五)利用计算机符号计算重点研究在非线性光纤光学中有着重要应用的变系数高阶NLS模型的可积性质：通过Painlevé分析方法得到该模型存在脉冲孤子解的两种系数约束条件，在其中一种条件下，该模型的一些可积性质已被广泛研究。本文着重探讨变系数高阶NLS模型在另外一种约束条件下具有的可积性质，包括3×3矩阵Lax对、Darboux变换和多孤子型解。通过对解析解中物理参数(如自陡峭效应和光纤增益/损耗效应)的合理取值，并借助单孤子型解和双孤子型解的几组图形，直观详细地讨论了飞秒光孤子脉冲在非均匀光纤系统中的某些特性及其潜在应用。 综上所述，本论文针对变系数模型含有任意变系数函数的特点,基于符号计算提出了若干研究变系数模型可积性质的算法，并利用Mathematica计算软件对所得解析结果的潜在物理应用进行了深入分析。作者希望文中提出的用于研究变系数模型可积性质的方法，如变系数AKNS方法、推导自-Backlund变换的方法、构造Darboux变换的方法及得到变系数模型多孤子型解的方法，能够为其它类型的变系数非线性模型的研究工作提供一定的帮助。同时也希望本文获得的解析结果及关于孤子型解的分析讨论，有可能在未来的空间和实验室环境中被观察到，并有助于解释光纤通信、超导体、非线性晶格、流体力学、尘埃等离子体和玻色爱因斯坦凝聚等领域中非线性现象的物理机制。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章绪论

1.1背景综述

1.1.1基于计算机符号计算的孤子理论的研究

1.1.2计算机符号计算的特点

1.1.3Mathernatiea符号计算系统介绍

1.2 孤子理论起源和发展

1.2.1孤立波概念介绍

1.2.2孤子理论发展的两个阶段

1.2.3计算机技术在孤子理论发展中的作用

1.2.4孤立波形成的物理机制

1.2.5孤立波与孤子的区别

1.2.6孤子的类型与性质

1.3 基于计算机符号计算的孤子理论的研究方法

1.3.1 逆散射方法

1.3.2Painleve分析

1.3.3AKNS方法

1.3.4Backlund变换

1.3.5Darboux变换

1.3.6非线性化方法

1.4本文的立论背景、研究工作及安排

1.4.1立论背景

1.4.2论文中涉及到的变系数非线性发展模型

1.4.3本文的主要工作及论文结构

参考文献

第二章符号计算与变系数Ablowitz-Kaup-Newell-Segur系统

2.1变系数AKNS系统

2.2推导变系数可积模型Lax对的算法

2.3变系数AKNS系统应用(一)

2.3.1变系数KdV方程的Lax对

2.3.2变系数Gardner方程的Lax对

2.3.3广义的变系数高阶NLS方程的Lax对

2.4变系数AKNS系统应用(二)

2.5变系数AKNS系统应用(三)

2.6本章小结

参考文献

第三章变系数非线性模型的自-Backlund变换与多孤子型解

3.1推导变系数非线性模型自-Backlund变换的算法

3.1.1 变系数KdV模型的自-Backlund变换与单孤子型解

3.1.2 变系数Gardner方程的自-Backlund变换与单孤子型解

3.1.3 变系数SG方程的自-Backlund变换与单孤子型解

3.1.4 变系数mKdV-SG方程的自-Backlund变换与单孤子型解

3.2广义变系数KdV模型的非线性叠加公式与多孤子解

3.3广义变系数KdV模型的无穷守恒律

3.4由变系数非线性模型到常系数同类可积模型的变换

3.4.1变系数Miura变换

3.4.2由变系数Garnder方程到常系数同类可积方程的变换

3.5变系数非线性模型孤子型解的物理意义讨论

3.5.1变系数KdV方程的孤子型解及其物理意义讨论

3.5.2变系数Gardner方程的孤子型解及其物理意义讨论

3.6 本章小结

参考文献

第四章符号计算与变系数非线性发展方程的Darboux变换

4.1 Darboux变换

4.1.1无约化的(1+1)维AKNS系统的Darboux变换

4.1.2存在约化的(1+1)维AKNS系统的Darboux变换

4.2广义的变系数KdV模型的Darboux变换

4.3(2+1)维可积系统的Darboux变换

4.4变系数谱可变mKP方程的Darboux变换

4.4.1双奇异流形方法

4.4.2谱可变mKP方程的自-Backlund变换和Lax对

4.4.3基于符号计算的二元Darboux变换

4.4.4谱可变mKP方程的Grammian形式的解

4.5本章小节

参考文献

第五章基于符号计算的柱KP模型的可积分解研究

5.1非线性化方法

5.2高维AKNS系统的Darboux变换

5.3柱KP模型介绍

5.4柱KP模型的第一种可积分解

5.4.1柱KP模型的单个Lax对的非线性化

5.4.2由第一种可积分解构造柱KP模型的多孤子型解

5.5柱KP模型的第二种可积分解

5.5.1Lax对及其共轭Lax对的双非线性化与可积分解

5.5.2基于计算机符号计算的Darboux变换

5.5.3由两种可积分解构造柱KP模型的多孤子型解

5.6柱KP方程(5-6)的第三种可积分解与多孤子解

5.6.1柱KP方程(5-6)的可积分解

5.6.2方程(5-57)-(5-60)的Darboux变换

5.6.3由第三种可积分解构造柱KP模型的多孤子型解

5.7本章小结

参考文献

第六章变系数高阶NLS方程脉冲孤波的研究

6.1光孤子通信的概述

6.2光孤子形成的物理机制

6.3变系数高阶NLS方程

6.4变系数高阶NLS方程(6-2)的Painleve分析

6.4.1第一种情形下，方程(6-2)的Painleve分析

6.4.2第二种情形下，方程(6-2)的Painleve分析

6.5变系数高阶NLS方程(6.2)在不同约束条件下的Lax对

6.5.1在约束条件(6-16)下，方程(6-2)的Lax对

6.5.2在约束条件(6-17)下，方程(6-2)的Lax对

6.6基于符号计算构造方程(6-2)的Darboux变换

6.7变系数高阶NLS方程的脉冲孤子解的物理分析

6.8本章小结

参考文献

第七章总结与展望

7.1论文总结

7.2未来研究展望

致谢

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