求解变系数Korteweg-de Vries(KdV)方程的两种方法的研究

摘要

近年来，作为非线性科学重要分支的孤子理论获得了快速发展，并广泛应用于流体力学、等离子体物理、非线性光学、凝聚态物理、生物学等领域。其中很多模型可以用非线性偏微分方程来很好地描述。所以对非线性偏微分方程的求解析解（精确解）成为孤子理论的一个重要组成部分.对非线性偏微分方程的求解，常用的方法有逆散射法、Backlund变换、齐次平衡法、Hirota直接法、Wronskian方法和Exp-函数法等。本文在介绍几种方法的基础上，主要运用Hirota直接法和Exp-函数法，研究了两类变系数Kdv方程。 本文章节安排如下： 第一章绪论介绍孤子研究的发展历程以及当前几种各种研究方法。并通过求解一些经典的波方程和非线性偏微分方程说明孤子解的传统求解方法，如行波法、齐次平衡法、Painlevé分析法、Backlund变换法。 第二章关于Hirota直接法。它的基本思想是运用合适的变换将非线性方程转变成齐次形式。对于其中的可积系统，往往是双线性形式。本章以Kdv方程和修正KdV方程（MKdV）等为例，作简单介绍非线性方程的双线性化、求解、Backlund变换、Wronskian技术。最后，本人运用Hirota直接法，在给出Backlund变换和一类变系数Kdv方程的类孤子解后，用Wronskian行列式给予证明。 第三章关于Exp-函数法。该法以多数非线性发展方程的孤立波解都具有e指数函数为基础，对解作先验假设，利用强大的计算机符号计算，这样就将求解问题转换到超定方程组的求解问题。然后我们通过对Exp-函数法的改进，求得另一类变系数Kdv方程的类孤子解、周期波解，并结合图形进行分析。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章 绪论

1.1孤立子历史及其发展现状

1.2研究非线性发展方程的常用方法

第二章 Hirota方法

2.1关于双线性算子及其主要性质

2.2几种常见的双线性变换

2.3双线性方程的求解

2.4双线性形式的Backlund(BT)变换

2.5 Wronskian技术

2.6求解一类变系数KdV方程的类孤子解

第三章Exp-函数方法

3.1 Exp-函数法简介

3.2用Exp-函数法解一类变系数KdV方程

3.3解的物理意义的讨论

总结

参考文献

致谢

作者攻读学位期间发表的学术论文