科学与工程计算中的Fourier级数多尺度方法

摘要

近年来,科学与工程中的多尺度问题引起了计算科学工作者的重视。多尺度问题中区域几何参数或材料物理参数在多个量级上变化,导致求解区域中具有大梯度特性的边界层或间断层出现。对于多尺度问题而言,传统的计算分析方法逐步暴露出精度不高、计算量大的缺点,甚至由于求解模式的内在局限而难以应用。因此,如何改进传统分析方法,建立灵活、精确、高效的多尺度计算手段构成未来10年、乃至更长一段时期内计算科学的热点研究方向。
　　 其中,通过对传统的数值计算方法进行改进,已先后提出稳定化有限元方法、泡函数方法、小波有限元方法、无网格方法、基于有限增量微积分的多尺度方法、变分多尺度方法等一批多尺度方法,掀起了多尺度方法研究的一次小高潮。但由于研究工作仍局限在数值计算方法的理论框架内,相应的研究成果不可避免地具有数值计算方法的计算成本高、场变量高阶导数计算精度低、计算参数对计算结果影响分析困难等不足。为此,本文将从数值计算方法的理论框架中走出来,及时进入解析计算方法的理论框架中去,着力拓展多尺度方法理论研究与运用研究。
　　 本文在传统解析计算方法——Fourier级数方法已有研究成果的基础上,开展多尺度问题解析求解方法研究工作。通过推导函数高阶(偏)导数的Fourier级数的一般表达式奠定方法研究的理论基础；在统一的理论基础上,发展函数及其高阶(偏)导数联合逼近的复合Fourier级数方法理论体系；并结合新的理论体系,逐步形成多尺度计算中简明、高效的解析计算手段——Fourier级数多尺度方法。
　　 本文研究工作主要由以下三部分组成:
　　 第一部分为理论基础研究部分。其中,第2章运用Stokes变换技巧,获得了函数不同阶次(偏)导数的Fourier级数中Fourier系数之间的迭代关系以及关于函数高阶(偏)导数的Fourier级数的一般表述结果,构建出函数高阶(偏)导数以及函数常系数线性微分算子中系数集合,并进一步明确了函数Fourier级数逐项可导的充分条件。关于函数Fourier级数高阶求导过程中函数的Fourier系数、函数的边界Fourier系数、函数的边界(端点)值或函数的角点值等系数分布规律的理论分析深化了函数Fourier级数的高阶(偏)导数运算的复杂性认识,并纠正了Chaudhuri的理论错误。第3章基于Fourier级数逐项2r次(r为正整数)可导的技术要求,确立了函数的分解结构,构建了复合Fourier级数联合逼近方法框架体系,完成了基于代数多项式插值的复合Fourier级数联合逼近方法的完备代数多项式再生性理论分析以及逼近精度算例验证。复合Fourier级数方法是带补充项的Fourier级数方法理论体系的完善,不仅摆脱了函数边界条件的强烈依赖性,具备函数及其2r阶(偏)导数一致逼近、联合逼近的能力,而且全面实现了逼近函数序列中不同性质函数的均衡使用、有机融合。
　　 第二部分为计算方法研究部分。第4章针对具有一般边界条件的2r阶常系数线性微分方程中多尺度现象的解析求解问题,分析了基于代数多项式插值的复合Fourier级数联合逼近方法的局限性,发展了基于微分方程齐次解插值的复合Fourier级数方法的新型求解模式,确立了Fourier级数多尺度方法的理论框架,并在此基础上明确了微分方程解函数的分解结构,细化了Fourier级数多尺度方法中技术环节的实施方法。Fourier级数多尺度方法既充分利用已有Fourier级数方法的成就,又突出解函数结构分解的基础地位,实现了Fourier级数解形式的确定性、灵活性的完美结合。
　　 第三部分为应用案例研究部分。其中,第5章、第6章分别针对Fourier级数多尺度方法在一维、二维对流扩散反应方程以及双参数地基上厚板弹性弯曲问题中的运用问题,导出了具体的Fourier级数多尺度解形式,利用数值算例分析了Fourier级数多尺度解的收敛特性,完成了Fourier级数多尺度计算方案的优化设置,并揭示了对流扩散反应方程和双参数地基上厚板弹性弯曲问题的多尺度性态。第7章针对Fourier级数多尺度方法在矩形截面梁中波传播问题中的运用问题,导出了基于三维弹性动力学方程的矩形截面梁中波传播问题的Fourier级数多尺度解形式,明确了矩形截面梁中波型的对称性分解以及频率方程获取、求解的实施方法,并利用数值算例分析了矩形截面梁中Fourier级数多尺度解收敛特性、弹性波在方形截面梁中的传播特性及其多尺度表现形式。关于Fourier级数多尺度方法的算例验证规范了Fourier级数多尺度方法的运用过程,实现了Fourier级数多尺度解形式与离散系统导出技术的有效融合,充分体现出边界条件、乃至计算参数大范围变动情况下Fourier级数多尺度计算方案的稳定性、可靠性等优越性质。