连续纠缠态表象：构造及其在小波变换中的应用

摘要

量子纠缠(quantum entanglement)是量子力学特有的概念，反映了两体或多体系统各部分之间的量子关联(correlation)与不可分离性(nonseparability)，展现了量子力学神秘而不为人知的一面，它于1935年被Einstein，Podolsky和Rosen(EPR)提出。同时，Schrodinger对量子纠缠也作了进一步阐述。自从1993年Bennett等人第一次提出量子隐形传态(teleportation)方案以来，量子信息科学得到了飞速的发展。在量子信息绝大多数方案中，例如：量子传输，量子克隆，稠密编码，量子纠错，量子算法等等，量子纠缠都是其中关键性的特性。因此，纠缠是量子信息理论中的一个基础性的问题。量子纠缠现象是在量子纠缠态中得以具体体现的，因此纠缠态也就成为一个研究量子信息不可或缺的课题。 另外，很多的纠缠问题只有在纠缠态表象中才能被很清楚的解释，而且有些动力学问题只有在纠缠态表象才得以解决，针对不同的问题选取适当的表象进行求解往往可以达到事半功倍的效果，因此寻找更多的有用表象变得更为必要。但是，我们应该怎样去构造这些表象？我们能否给出一个一般的方法？在本文中都将给出肯定的回答。本文主要做了以下两个方面的工作： 一、利用有序算符内的积分技术(the Technique of Integration Within anOrdered Product(IWOP) of Operators)和正规排序的量子力学高斯型完备性关系，我们给出了一种从理论上构造连续纠缠态表象的方法。这样，具有不同物理意义的表象就可以方便地构造出来，从而丰富和发展Dirac的表象和变换理论。另外，进一步介绍这种方法在构造多粒子纠缠Wigner算符中的应用，发展Wigner函数相空间分布理论。 二、把量子力学表象和变换论应用于小波变换理论的研究中，利用新近建立的纠缠相干态表象｜α，x＞构造出新的幺正算符，而这类新的幺正算符可以通过纠缠态表象与经典光学中的混合lens—Fresnel变换相对应。在此基础之上我们想通过压缩平移变换及辛变换的结合来构造新的小波母函数，提出新的小波变换。丰富和发展小波分析的理论和应用研究。 本文主要内容安排如下： 第一章，我们将简单介绍有序算符内的积分(Integration Within an Ordered Product)技术(简称IWOP技术)，介绍坐标与动量本征态在Fock空间下的表示形式，回顾相干态表象及其性质，然后给出正规乘积的性质与IWOP技术一些应用。 第二章，我们将具体介绍如何从正规排序的量子力学高斯型完备性关系出发，并利用IWOP技术，来从理论上构造各种纠缠态表象，并介绍其在构造多粒子纠缠Wigner算符中的应用。 第三章，我们将简单介绍小波分析的基本理论，连续小波变换的定义与性质并列举了一些常用的小波函数。 第四章，我们将Dirac符号法应用到小波变换的研究中，构造与小波变换对应的量子力学算符和表象的表示。利用已有的表象与变换理论，由母小波的资格条件推导出寻找母小波的一般方法。其次，简单介绍如果利用这种对应关系，通过算符的方式提出小波变换和其他光学变换的组合形式。 第五章，我们将介绍如何通过量子力学表象和变换论将经典Fresnel变换及Lens—Fresnel变换引入到小波变换理论中，提出一系列新的小波变换，证明它们的一些基本性质。

目录

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第一章绪论

§1.1 Dirac的期望

§1.2坐标、动量表象和粒子数表象

§1.3相干态的定义与若干性质

§1.4有序算符内积分技术

参考文献

第二章连续纠缠态表象的构造与应用

§2.1量子力学坐标表象，动量表象和相干态表象完备式的纯高斯型积分形式

§2.2量子力学两体连续纠缠态表象的构造

§2.3量子力学三体纠缠态表象的构造

§2.4量子力学多体纠缠态表象的构造

§2.5三模相干—纠缠态表象

§2.5.1三模相干—纠缠态表象

§2.5.2 |β，γ，x>态的产生

§2.6多粒子相干—纠缠态及其制备

§2.7多粒子Wigner算符的构造

§2.7.1两粒子纠缠系统Wigner算符的推导

§2.7.2多粒子纠缠系统的Wigner算符的构造

参考文献

第三章小波分析的基本理论

§3.1小波分析的基本性质

§3.2连续小波变换的定义和性质

§3.2.1一维连续小波变换

§3.2.2高维连续小波变换

§3.3小波变换与傅里叶变换的比较

§3.4常用小波函数

参考文献

第四章小波变换的量子力学对应及母小波的资格条件

§4.1小波变换的Dirac符号表示

§4.2母小波的资格条件

§4.3菲涅尔—小波变换

参考文献

第五章新小波变换的建立

§5.1辛变换和相应的小波变换

§5.2纠缠辛变换和相应的小波变换

§5.3辛—平移小波变换和它的量子光学对应

参考文献

总结

致谢

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