二维量子多体系统的张量网络态算法

摘要

发展求解强关联系统的高效的数值方法是现代物理最为核心的任务之一。在强关联的相互作用体系中，由于传统微扰论不再适用，研究强关联系统的物理性质主要依靠数值求解办法，包括严格对角化方法，量子蒙特卡洛方法和密度矩阵重整化群方法。这些数值方法已被广泛应用于研究强关联系统，并且取得了巨大的成功。然而，上述方法都有其局限性:严格对角化方法会遇到所谓的“指数墙”问题;量子蒙特卡洛方法在处理费米子问题和阻挫磁性问题时会遇到符号问题;而密度矩阵重整化方法主要用于处理一维或准一维系统，难以处理更高维系统。因此，发展新的高效的数值方法仍然是解决强关联问题的当务之急。
　　近些年来，人们开始以量子信息理论的视角看待问题，通过对量子纠缠的深入理解，一种基于量子纠缠的张量网络态(TNS)理论，包括矩阵乘积态(MPS)理论和投影纠缠对态(PEPS)理论逐渐建立起来。MPS和PEPS分别描述一维和二维系统时都满足纠缠熵的面积定律和尺寸一致性，已经被证明是研究强关联系统的强有力的工具。基于MPS表示，人们建立起了描述一维量子多体系统的完善的理论。对于二维系统，基于PEPS的相关算法还处于非常初级的阶段。由于PEPS本身的复杂性和计算能力的限制，其在实际应用中受到了很大限制。我们希望能够发展一种高效地算法，使得PEPS可以能够真正解决一些长期以来难以求解的问题。
　　基于二维量子多体系统基态的张量网络态表示，本论文讲述了我们发展的求解二维量子多体系统基态的方法，主要内容包括两部分:
　　第一部分着重讲述了如何用副本交换的分子动力学方法来解决用TNS求解多体问题时遇到的局域极小值问题。用TNS做为变分波函数求解多体系统的基态的很关键一步是如何有效优化这个变分波函数，使得其尽量避免陷入局域极小值。我们发展了一种可以大规模并行的高效地副本交换分子动力学方法，用来解决这个问题。通过将TNS的元素看做广义坐标，我们把这个优化问题映射到一个经典力学问题。在优化时，我们首先设定一系列不同的温度，然后从随机态出发，根据这个经典系统的势能函数，采用分子动力学的方法对系统进行演化，最终会得到不同温度下的解，零温下的解就是这个优化问题的解。为了避免在分子动力学的演化过程中陷入局域极小值，可以采用副本交换的方法将不同温度下的构型进行充分交换来帮助其跳出局域极小值。
　　第二部分着重讲述了如何用PEPS的变分波函数来有效地求解二维量子自旋系统。PEPS可以很好地描述二维系统的基态，但是由于其计算复杂度很高，在用它来模拟二维体系时受到很大限制。我们提出了用梯度优化结合蒙特卡洛采样的方法来优化PEPS变分波函数。首先我们采用一种虚实演化的SU(simpleupdate)方法来得到一个粗糙的PEPS波函数做为出发点，然后通过梯度优化来进一步精确地优化这个波函数来得到基态。在计算梯度和能量时我们采用了蒙特卡洛采样的方法。与人们常用的方法相比，这种方法不仅大大地降低了计算复杂度，而且采用的梯度优化算法可以更加精确地优化变分波函数，使得用PEPS解决一些长期以来难以求解的多体系统成为可能。

目录

声明

摘要

表格索引

插图索引

算法索引

主要符号对照表

第一章 绪论

第二章 一维系统的MPS理论

2．1 AKLT模型

2．2 矩阵分解

2．2．1 奇异值分解(SVD)

2．2．2 量子态的施密特分解

2．2．3 QR(LQ)分解

2．3 MPS理论

2．3．1 一维量子态的MPS表示

2．3．2 MPS表示与纠缠熵的面积定律

2．4 可观测量的期望值的计算

2．4．1〈(φ)｜(φ)〉的计算

2．4．2〈(φ)｜(H)｜(φ)〉的计算

2．4．3 可观测量的MPO形式

2．5 变分法求基态

2．6 MPS的时间演化算法

2．6．1 tMPS的时间演化算法

2．6．2 MPS的低维近似

2．7 TEBD时间演化算法

2．7．1 MPS的Γ-A正则形式

2．7．2 TEBD算法

2．8 小结

第三章 二维系统的PEPS理论

3．1 二维系统的PEPS表示

3．2 可观测量的期望值的计算

3．2．1 张量网络的严格缩并

3．2．2 双层张量网络的近似缩并

3．3 求基态的变分方法

3．4 求基态的虚时演化方法

3．4．1 虚时演化的OU方法

3．4．2 虚时演化的FU方法

3．4．3 基于虚时演化的SU方法

3．5 小结

第四章 张量网络态的副本交换分子动力学优化方法

4．1 张量网络在实际应用中的困难

4．2 张量网络态的优化问题与分子动力学方法

4．3 副本交换方法

4．4 计算张量网络态物理量的蒙特卡洛采样算法

4．5 分子动力学方法的模拟结果

4．5．1 一维哈伯德模型

4．5．2 二维J1-J2模型

4．6 小结

第五章 PEPS的梯度优化方法

5．1 二维系统PEPS算法的难点

5．2 蒙特卡洛采样方法用于优化PEPS

5．3 GO优化算法的计算细节

5．4 GO方法的结果

5．4．1 能量关于截断维度Dc的收敛

5．4．2 有限尺寸体系时海森堡模型的能量

5．4．3 热力学极限下海森堡模型的能量和磁矩

5．4．4 J1-J2模型的能量

5．5 不同PEPS优化算法的比较

5．6 小结

第六章 结论与展望

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果