复合材料中热传导反问题的理论及算法研究

摘要

本文主要研究双层复合材料中稳态热传导方程内部热源识别反问题，所考虑的热源线性依赖于温度。通过极坐标以及球坐标变换，我们研究了二维径向、二维非径向以及三维非径向下的内部热源识别问题。关于如何反演内部热源，本文采用测量外部边界温度数据或者边界上的流量数据来重构内部热源。首先，由偏微分方程理论的知识，我们构造了正问题的解析解，根据解析解我们定义了Dirichlet-to-Neumman(DN)或者Neumman-to-Dirichlet(ND)映射，通过DN或者ND映射我们建立了源项与边界数据的联系。接着，我们分析了双层复合材料与单层材料的DN或者ND映射的收敛性。最后，作为论文的主要研究内容和特色，为了确保边界测量数据能够唯一识别源项，我们基于贝塞尔函数和修正贝塞尔函数理论建立了反问题的唯一性定理，证明方法简单直接；并且我们也讨论了当内部源项和双层结构的内半径满足特定条件时，通过DN或者ND映射不能唯一识别源项，即建立了非唯一性定理。本文按下面三个部分进行展开：第一部分，研究了正线性依赖于温度的热源(正热源)识别问题，建立了二维径向、二维非径向以及三维径向下的收敛性、唯一性以及非唯一性定理。第二部分，把第一部分的理论结果进一步推广到负线性依赖于温度的热源(负热源)识别问题，建立了与第一部分相同的收敛性、唯一性以及非唯一性定理。第三部分，对二维径向的内部热源识别进行了数值模拟。

目录

第1章 绪论

1.1 背景及研究现状

1.2 问题描述

1.3 本文结构安排

第2章 正热源识别

2.1 二维径向双层复合材料

2.1.1 Dirichlet边值问题的解析解及DN映射

2.1.2 DN映射的收敛性定理及源项系数反演的唯一性定理

2.1.3 反演的非唯一性定理

2.2 二维非径向结构

2.2.1 Neumman边值问题的解析解及ND映射

2.2.2 ND映射的收敛性及反演的唯一性

2.2.3 反演的非唯一性

2.3 三维非径向情形

2.3.1 解析解与ND映射

2.3.2 收敛性及唯一性

2.3.3 非唯一性

2.4 结论

第3章 负热源识别

3.1 二维径向双层复合材料

3.1.1 Dirichlet边值问题解的解析式及DN映射

3.1.2 DN映射的收敛性及重构源项系数的唯一性

3.1.3 重构源项系数的非唯一性

3.2 二维非径向结构

3.2.1 Neumman边值问题的解及ND映射

3.2.2 唯一性定理

3.2.3 非唯一性定理

3.3 三维非径向复合材料

3.3.1 ND映射

3.3.2 唯一性

3.3.3 非唯一性

3.4 结论

第4章 算法实现

4.1 源项系数反演

4.2 验证非唯一性结果

结论

参考文献

致谢

附录A 论文成果