求解Helmholtz方程外问题拟最优Schwarz算法研究

摘要

Helmholtz方程外问题在科学与工程领域有着广泛的应用前景,尤其是在电磁学、声学等领域.对Helmholtz方程外问题数值解法的研究有利于促进许多重要物理现象的仿真。　　区域分解方法是求解偏微分方程的有效方法,该方法是偏微分方程数值解法新兴领域.其集快速算法和并行算法之大成,能够将大问题化为小问题,复杂问题化为简单问题,达到缩小规模,简化计算的目的。　　本文主要讨论了Helmholtz方程外问题快速求解方法和拟最优Schwarz方法。首先,本文针对二维Helmholtz方程外Dirichlet问题,使用有限差分格式离散,通过快速Fourier变换和LU分解技术将离散方程简化为维数较小的界面方程,对界面方程给出一个有效的预处理共轭梯度法,并分析该算法有效性.其次,本文针对极坐标下Helmholtz方程外问题提出一个重叠拟最优的Schwarz方法,通过构造拟最优传输条件,以及对拟最优传输条件在Fourier空间下参数的选择,获得拟最优收敛速度.理论分析表明该方法收敛速度比非重叠情况下更快,取得了较好的收敛效果。

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第一章 绪论

§1.1 区域分解算法的发展

§1.2区域分解方法求解 Helmholtz 方程的研究现状

§1.3本文的创新点与结构

第二章 预备知识

§2.1 基本方程

§2.2 Bessel函数

§2.3 快速Fourier变换

§2.4重叠Schwarz算法

第三章 Helmholtz方程外问题快速算法研究

§3.1 引言

§3.2 近似边值问题

§3.3 快速求解算法

§3.4 数值实验

§3.5 本章小结

第四章 Helmholtz方程外问题拟最优Schwarz算法

§4.1 引言

§4.2 Helmholtz方程外问题区域分解算法

§4.3 拟最优传输条件

§4.4 本章小结

第五章 总结与展望

§5.1 本文研究工作的总结

§5.2对今后研究工作的展望

参考文献

致谢

作者在攻读硕士期间的科研论文