应变能最小的有理样条插值曲线

摘要

插值是构造简单的连续函数，使得所构造的连续函数曲线能够通过全部给定的离散数据点。插值法是数值逼近中最基本的方法，包括多项式插值、有理插值、埃尔米特插值、样条插值和有理样条插值等。其中多项式插值的结构简单，便于进行计算和理论分析，所以被广泛用于函数逼近、数值微分和数值积分等问题。但是高次多项式插值，特别是等距节点的高次多项式插值容易出现Runge现象，这使得高次多项式插值的逼近效果不佳。有理插值比多项式插值的逼近效果好，在节点处近似导数的求取问题上引起许多学者的研究兴趣。但是有理插值方法，如连分式插值方法会出现极点、不可达点以及逆差商不存在等问题。有理样条插值有很好的逼近效果，不仅能避免出现极点、不可达点等，而且可以通过选择适当的参数来保持插值数据的单调性、凹凸性等。
　　本文引入了曲线的应变能。插值曲线的应变能越小，曲线则越光顺。因此要使有理样条插值曲线满足保形性要求，可以用最优化理论，建立优化模型来解最优形状参数和节点导数值。文章是以形状参数和插值函数在节点处的导数为决策变量，以插值曲线应变能最小为目标函数，以插值函数保形以及形状控制参数和节点处的导数大于零作为约束条件，建立优化模型，求解获得在曲线应变能最小的情况下的最优形状参数。由于给定的插值数据可能具有单调性、凹凸性等性质，所以就有不同决策变量，目标函数和约束条件，构造出不同性质的有理样条插值曲线，通过计算选择出适当的参数来保持插值数据的单调性、凹凸性等。给出的数值例子表明新方法能获得光顺的插值曲线。

目录

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摘要

插图清单

表清单

1．1 理论背景

1．2 选题背景

1．3 选题思路

1．4 本文的组织

2 有理三次样条插值

2．1 3／1型有理样条插值函数

2．2 有理样条插值函数的保单调性

2．3 有理样条插值函数的保正性

2．4 有理样条插值保凸性

3 有理四次样条插值

3．1 4／1型有理样条插值

3．2 保单调有理四次样条插值

3．3 保正有理四次样条插值

3．4 有理四次样条插值函数二阶连续性

4 插值曲线的保形性研究

4．1 3／1型插值曲线的应变能

4．2 应变能最小的保单调有理三次样条插值曲线

4．3 应变能最小的保正有理三次样条插值曲线

4．4 应变能最小的保凸有理三次样条插值曲线

4．5 4／1型插值曲线的应变能

4．6 应变能最小的保单调有理四次样条插值曲线

4．7 应变能最小的保正有理四次样条插值曲线

4．8 医学数据分析

5 总结与展望

参考文献

致谢

作者简介及读研期间主要科研成果