一类有理样条插值曲线及其形状控制

摘要

本文研究了一类有理插值样条的逼近性质以及它们的形状控制问题。给出了 阶有理参数样条曲线的构造，表示和计算。引入的控制参数和连接参数增加了几何造型的自由度，尤其是有理参数样条曲线特别适用于大挠度插值场合，具有几何不变性。因此，比多项式样条更加灵活、有效，还能刻画被插函数的奇性等固有特性。
　　 首先，以Peano-kernel定理为工具，研究了 阶有理插值样条在被插函数为连续及连续时的逼近误差和 阶有理插值样条在被插函数为 连续时的逼近误差，估计了逼近误差中系数的界,得到了被插函数为 连续的有理插值函数的逼近误差阶为O(h2),而被插函数为 连续的逼近误差阶为O(h)。
　　 然后，讨论了插值曲线在给定区域的形状控制问题以及保正问题，提出了插值曲线约束于给定的折线、二次曲线之上、之下或之间及保正的充分条件。把这些问题都归之于形状参数的约束，推导出了相应的显式约束不等式,分析了其解的存在性.由此，通过适当选择形状参数，可达到保形和形状控制的目的，给出的数值例子进一步说明了方法的有效性。
　　 最后，构造一类包含极点和控制参数的 阶有理参数插值样条曲线。推导了它的两种表达式.这种插值曲线克服了有理样条函数缺乏几何不变性的问题。以 阶有理参数段作为零件拼接成了二阶视觉连续的有理样条插值曲线，并给出了大挠度有理样条插值曲线的许多实例。