刚体朝向轨迹中四元数样条曲线的研究

摘要

四元数理论是爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿爵士于19世纪40-60年代创立，是复数在四维实空间的不可交换延伸，是有限维的实数结合除法代数，是Clifford代数的一个子代数。20世纪60年代末四元数开始在经典力学中获得实际应用。1985年，Shoemake把四元数引入计算机图形学，从此四元数开始在计算机图形学中、计算机动画、计算机视觉和机器人等领域获得广泛应用。　　本文将四元数方法与CAGD中样条曲线尤其是B样条曲线理论相结合，以四元数球面线性插值、四元数旋转表示等理论为基础，辅以B样条、广义B样条以及三角参数样条等数学工具，对刚体朝向轨迹中四元数样条曲线若干问题进行了探究。主要工作及成果分为两个部分:　　第一部分是在B样条及广义B样条曲线理论基础上，构造了一类广义B样条四元数曲线，分析了该类四元数样条曲线的C2连续性、局部可控性等性质。该类广义B样条四元数曲线不仅是Kim经典B样条四元数曲线的推广，而且具有更高的连续性。同时，该类四元数样条曲线也保持了欧氏空间中样条曲线许多微分性质，并且可以选择不同的核函数来获得更多的形状。　　第二部分，由于生成光滑的刚体朝向插值曲线是计算机动画中最基础的问题，这一部分研究了单位四元数插值样条曲线。由于四元数B样条插值曲线和广义B样条插值曲线都要进行控制顶点反求，导致需要求解多变量非线性方程组。为避免刚体朝向插值曲线中控制顶点反求复杂计算，提出了一个带参数的C2连续四次三角插值样条四元数曲线，分析了该曲线的C2连续性、局部形状修改性等性质，讨论了形状参数对曲线形状的影响，改变其中一个形状参数仅会影响相邻两个曲线段。　　建立三维模型，在MATLAB上进行了仿真验证。仿真结果验证了本文提出的四元数样条曲线的可行性和有效性。

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致谢

摘要

第一章 绪论

1．1 本文的研究背景与现状

1．1．1 四元数理论发展历程

1．1．2 刚体朝向轨迹中四元数样条曲线研究现状

1．2 本文的主要工作和内容安排

1．2．1 本文的主要工作

1．2．2 本文的内容安排

第二章 四元数代数及四元数样条曲线

2．1 引言

2．2 四元数代数

2．2．1 四元数的定义

2．2．2 四元数表现形式

2．2．3 四元数的运算

2．3 四元数与旋转之间的关系

2．3．1 四元数与旋转

2．3．2 四元数与旋转矩阵

2．4 四元数样条曲线

第三章 一类广义B样条四元数曲线

3．1 广义B样条曲线

3．1．1 广义B样条曲线的定义

3．1．2 广义B样条曲线的连续性

3．2 累积形式的广义B样条单位四元数曲线

3．2．1 累积形式的广义B样条单位四元数曲线构造

3．2．2 累积形式的广义B样条单位四元数曲线性质

3．3 累积形式的广义B样条单位四元数曲线的应用

3．4 本章小结

第四章 基于C2连续的四次三角参数插值样条四元数曲线插值实方向

4．1 四次三角参数插值样条四元数曲线

4．2 四次三角参数插值样条四元数曲线性质

4．3 四次三角参数插值样条四元数曲线的应用

4．4 本章小结

第五章 总结与展望

5．1 论文工作总结

5．2 今后展望

参考文献

攻读硕士学位期间参加的学术活动及成果情况